河北省石家庄市2026届九年级下学期初中学业水平质量监测数学试卷（含解析）

2026年河北石家庄市初中学业水平质量监测数学试卷一、单选题1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（

）．A．元 B．元 C．元 D．元2．已知是关于x的方程的解，则m的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（

）A． B． C． D．4．如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（

）A． B．C． D．5．已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（

）A． B． C． D．6．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，已知，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接；②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，．下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．垂直平分8．已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（

）A． B． C．2 D．89．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（

）A．（1）处可填 B．（2）处可填C．（3）处可填 D．（4）处可填10．如图，直线，正六边形的顶点A，C分别在直线a，b上，若，则下列错误的是（

）A． B． C． D．11．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（

）A．5 B． C． D．1212．将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，，则①的大小为；②点E到的距离为；③若连接，则；④若连接，则．以上说法正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题13．因式分解：______．14．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______．15．如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为________．16．如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________．三、解答题17．计算与化简求值(1)计算：；(2)化简求值：，其中．18．如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是．(1)求第个台阶上的数；(2)求第几个台阶上的数是．19．现代生活中，手机支架是解放双手的实用工具，用户无需手持即可固定手机．图1是一台手机支架，图2是其转到某一位置的侧面示意图，测得，，，．(1)在图2中，过点B作于点E．求的长；（结果保留根号）(2)求点C到的距离（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，）20．某校开展了“学雷锋”主题演讲比赛，将参加本校选拔赛的50名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分）分成五组，并汇总且绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率69.5～75.550.175.5～81.5m0.2281.5～87.5140.2887.5～93.516n93.5～99.540.08(1)表中________，________，并在图中补全频数分布直方图；(2)某同学的成绩是50位选手成绩的中位数，推测他的成绩落在________分数段内；(3)选拔赛中，成绩在93.5分以上的选手，男生2人，女生2人，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列表法求恰好是一名男生和一名女生的概率．21．如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P．(1)求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由；(2)求的面积．22．如图1，的半径为4，线段经过圆心O，与交于点A，E，是的一条弦，于点F，连接．(1)如图1，连接，若平分．①求证：；②若，求证：是的切线；(2)如图2，延长交于点P，当时，求的长．23．2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳台长为6米，距离水面的高为5米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)直接写出起跳点A的坐标；(2)当时．①求这条抛物线的表达式；②求运动员落水点与起跳点的水平距离；(3)如图，米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．24．如图1，在平行四边形中，，，点F为的中点，过点F作于E，．(1)求的长；(2)如图2，以为直角边构造，，斜边交于点P，．①求的长；②的外心为O，求点O与点A之间的距离；③将向右平移，点E平移到点B时停止，当以为直径的圆与平行四边形的边相切时，直接写出平移的距离．题号12345678910答案DBACABBBDC题号1112答案AC1．D【详解】解：根据题意可得，亏损元应记作元．2．B将代入，即可求出m的值．【详解】解：将代入，则方程为解得．3．A根据左视图是从左边看到的图形进行解答．【详解】解：根据左视图的概念，从左向右看，该几何体有２列，第１列有２层，第２列有１层．∴左视图是，故选：A．4．C本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质即可得到结论．【详解】解：把△以点为中心顺时针旋转得到△，，，，故A，B，不符合题意．不一定等于，∴符合题意；故选：．5．A本题考查二次根式的性质，完全平方公式的性质．根据完全平方公式的性质即可求得答案．【详解】解：A．，则A符合题意；B．，则B不符合题意；C．，则C不符合题意；D．，则D不符合题意；故选：A．6．B将，代入求解比较即可．【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，∴，，∴．7．B由基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分；根据证明；根据直角三角形斜边大于直角边判断．【详解】解：设交于点，由作图步骤可得：是的角平分线，则，A正确；根据作图可知：，，∴点O、E在的垂直平分线上，∴垂直平分，D正确；∵，∴，C正确；在中，，且，则，故B错误，符合题意．8．B本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用关系得到两根和与两根积，代入已知等式即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根．∴，．又∵．∴代入，得．解得．验证得判别式，方程有两个实根，符合题意．9．D本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键．【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意；D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；故选：D．10．C先求出正六边形的内角，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理可判断选项A、B；延长交直线b于H，由平行线的性质得到可判断选项C、D，进而可得答案．【详解】解：∵正六边形，∴，，∵，∴，，故选项A、B正确，不符合题意；延长交直线b于H，如图，∵，，∴，故选项C错误，符合题意；∴，故选项D正确，不符合题意．11．A【详解】解：由对角线和最后一列可得，∴．12．C根据平行线的性质和周角定义可判断①；连接，过点作，先求得和到的距离，利用三角形的面积公式可判断③；连接，延长交于P，证明，则可求得，，利用正切定义可判断④；根据平行线间的距离处处相等可判断②，进而可得答案．【详解】解：由题意，，，，，∵，∴，∴，故①错误；∵，，∴，，连接，过点作，∵，，∴，∴，故③正确；连接，延长交于P，∵，，∴，∴，，∴，故④正确，∵，∴点E到的距离，故②正确，综上，说法正确的是②③④，共3个．13．【详解】解：．14．45本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值．已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值．【详解】对于二次函数，先对其进行配方：因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内，所以小球运动中的最大高度是45m．故答案为：45．15．连接，交于点，先证明平行四边形为菱形，再证明，，则可得图中阴影部分的面积等于扇形的面积．【详解】解：如图，连接，交于点，∵的半径为2，∴，∵四边形为平行四边形，∴平行四边形为菱形，∴，，∴，，∴是等边三角形，∴，又∵，∴图中阴影部分的面积为．16．或分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长．【详解】解：①如图，若，∴，∵，∴四边形是矩形，∵将沿着翻折，∴，∴四边形是正方形，∴，∴，∴；②如图，若，∵将沿着翻折，∴，，，∵，∴点，点，点三点共线，∵，∴．③若，∵，∴点不可能落在直线上，∴不存在，综上所述：或．17．(1)(2)，6（1）把异分母的分式转化为同分母分式相减即可；（2）先根据单项式乘以多项式法则、平方差公式、合并同类项法则化简，然后把x的值代入计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解∶原式，当时，原式18．(1)(2)（1）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，列式计算即可；（2）先得出第个台阶上的数是，根据台阶上的数是，列方程求出的值即可．【详解】（1）解：∵每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，第个台阶上的数是，∴第个台阶上的数是．（2）解：第个台阶上的数是，第个台阶上的数是，第个台阶上的数是，……，∴第个台阶上的数是，当台阶上的数是时，，解得：，∴第个台阶上的数是．19．(1)(2)点到的距离约为（1）直接解即可；（2）过点作于点，过点作，垂足为，解求出，再由求解即可．【详解】（1）解：在中，，，；（2）解：过点作于点，过点作，垂足为，则，，在中，，，，，，∴点到的距离约为．20．(1)11，0.32，图见解析(2)81.5～87.5(3)（1）根据频率=频数÷总数求出m、n的值，从而补全图形；（2）根据中位数的概念求解可得；（3）利用列表列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【详解】（1）解：，；补全频数分布直方图如图，（2）解：由于共有50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据都落在81.5～87.5内，∴推测他的成绩落在81.5～87.5分数段内；（3）解：选手有4人，2名是男生，2名是女生．男男女女男男男男女男女男男男男女男女女女男女男女女女女男女男女女共有12种等可能结果，恰好是一名男生和一名女生包含8种结果，∴P（恰好是一名男生和一名女生）．21．(1)，点不在直线上，理由见解析(2)（1）设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可；（2）设与轴交于点，则点，点，由题意得，求出，即可得到答案．【详解】（1）解：设直线的表达式为，将点，代入，得，解得直线的表达式为，当时，，点不在直线上；（2）解：设与轴交于点，则点，点，，由题意得，解得，点，．22．(1)①见解析；②见解析(2)4【详解】（1）解：①证明：平分，，∵，线段经过圆心O，，，．②连接，，，∴，∴，，，∴，∴，，点C在圆上，∴是的切线；（2）解：作于G，连接，则，，，∴，∴，则，∴，∵，．23．(1)(2)①；②运动员落水点与起跳点的水平距离为米(3)【详解】（1）解：∵跳台长为6米，高为5米，∴起跳点A的坐标为；（2）解：①根据题意，可得抛物线顶点坐标，，又∵，∴可设抛物线表达式为：，∵点，则，解得：，故抛物线表达式为：；②根据题意，抛物线表达式为：，令，则，解得：，（舍去）．∴，∴运动员落水点与起跳点的水平距离为米；（3）解：根据题意，抛物线表达式为：，将