江苏省南通市2026届九年级下学期中考模拟数学试卷（含解析）

2026年南通市中考模拟数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．计算的结果是（

）A． B． C． D．7答案：A解析：解：，故选：A．2．南通市常住人口约775万．将数据775.0万用科学记数法表示为（

）A．775×104 B．77.5×1答案：D解析：解：将775万用科学记数法表示，775故选：C.3．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．答案：C解析：解：A、，故选项不符合题意；B、，故选项不符合题意；C、，故选项符合题意；D、，故选项不符合题意；4．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，点D恰好在上．若，则的度数为（

）A． B． C． D．答案：D解析：解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，∴，，，∴，∴，∴．5．将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（

）A．2 B．1 C． D．答案：A解析：解：将直线沿y轴向上平移m个单位长度，得到的新直线解析式为：∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、二、三象限时满足且，∴解得，∴只有A选项中的数符合题意．6．若，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．答案：A解析：解：∵两边平方得展开得整理得，等式两边同除以得∴=7．如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（

）A．1 B． C． D．答案：C解析：∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，∴设，∵平行轴，∴，∴，∵，∴，∴，即，只有符合题意．8．如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B解析：过E作于M．正方形中是对角线，，设，则，，正方形边长．由是等腰直角三角形，，．由，，，即F是中点．正方形中，故，相似比，．由，​，又，．在中，，，由勾股定理：．故选：B．9．如图，在平面直角坐标系中，原点，点A，点B均在x轴上．点C在y轴上，直线的解析式，直线的解析式．动点P从点A出发，沿着线段，线段，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点M，作于点N．若设P点运动时间为．有下列结论：①当时，；②四边形的面积的最大值为2；③t有两个不同的值满足四边形的面积为，其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D解析：解：由题可知，，则，故为等腰直角三角形，，，，又，，四边形为矩形，①当时，，又，，，又四边形为矩形，，故①正确；②当时，在上，，则，，，当时，四边形的面积的最大，最大值为；当时，在上，，又，，，当时，四边形的面积的最大，最大值为；综上，四边形的面积的最大值为2，故②正确；③当时，，即，解得或（舍去），当时，，解得或（舍去），综上，t有两个不同的值满足四边形的面积为，故③正确．10．已知两个多项式，，均为正整数，为实数．下列说法：①若，则存在实数使得；②若，关于的方程有唯一解，这个解为；③若，，，则满足条件的多项式共有4个．其中正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：B解析：解：①根据题意，得：当时，，若存在实数使，需判别式取正整数，得，此时不存在满足条件的，故①错误；②当时，整理方程得：若方程有唯一解，则，此时，仅当时，不是所有情况都满足，例如时，，故②错误；③对等式，变形因式分解得：均为正整数，，，即，21的正整数分解中符合条件的只有，：可得，为正整数，正整数解为，，，共4组，对应4个不同的多项式，故③正确；综上，正确的说法共1个，故选B．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．因式分解：____________．答案：解析：解：．12．写出一个使在实数范围内有意义的的值：______．答案：（答案不唯一）解析：解：∵在实数范围内有意义，∴，解得，∴的值为（答案不唯一）．13．如图，，以点O为圆心，以3为半径画弧，分别交，于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，连接．若，则的长为________．答案：解析：解：连接，由作图可得平分，过点C作，如图，则，，，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．14．植树节来临之际，学校组织320名学生进行植树活动，计划种植杨树和松树两种树苗，已知种植1棵杨树需要3名学生，种植1棵松树需要5名学生．若要种植的两种树苗总棵数不少于100棵，则种植杨树的学生至少______人．答案：270解析：解：设种植杨树的学生有人，则种植松树的学生有人．由题意可知，杨树总棵数为，松树总棵数为，根据两种树苗总棵数不少于棵，列一元一次不等式：不等式两边同乘去分母得：去括号得：合并同类项得：系数化为得：故种植杨树的学生至少为人．15．魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若（其中a为正整数，整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为____．（结果保留两位小数）答案：9.85解析：解：由题意得，．，．将表示为，此时．若取，则，．因此取，，代入近似公式，得：．16．七巧板是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图2是由图1拼成的风车形状，则的值为______．答案：解析：解：标注点F，P，Q如解图，设题图1中正方形的边长为，根据七巧板的性质可得，，∴，∴．17．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________．答案：a或解析：解：如图，∵等边的边长为，∴，∴，∵为“反直角三角形”，∴，∴，∴当点落在点上时，，∵为“反直角三角形”，∴，∴，∴，连接与交于，∵，，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，综上可知，或．18．如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____．答案：7解析：解：四边形是正方形，面积为，，是的中点，是斜边的中点，即在和中，．三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题12分）（1）解方程组： （2）计算：．答案：（1）；（2）1解析：（1）解：，得把代入，得这个方程组的解为（2）解：原式．20．（本题10分）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，．命题1：若四边形是菱形，则四边形是矩形；命题2：若四边形是矩形，则四边形是菱形．任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例．答案：见解析解析：解：命题1：真命题，证明如下：证明：∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，则，∴四边形是矩形；命题2：真命题，证明如下：证明：∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是菱形．21．（本题10分）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图；(2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）；(3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数．答案：(1)50，见解析(2)72，C(3)598人解析：（1）解：抽取的学生的人数是（人），∴B组人数为（人），补全频数分布直方图如下：（2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是；∵共有50个数据，∴中位数是第25个和第26个数据的平均数，∵A，B组的和为，C组人数为21，∴第25个数，第26个数都落在C组；（3）解：（人），答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人．22．（本题10分）南通市第六批市级非物质文化遗产，包括很多类别，其中传统美术类中有四个项目：A.南通绳结;B.南通虎头鞋;C.绢本造像;D.海门刻瓷.小林和小红两位同学想从这四个项目中随机选择一个进行学习和研究。(1)小红选择“C.绢本造像”的概率是_____；(2)用画树状图或列表等方法，求小林和小红选择不同项目的概率．答案：(1) (2)解析：（1）解：小红从四个项目中随机选择一个，小红选择“C.绢本造像”的概率为；（2）解：画树状图如下：共有种等可能结果，其中小林和小红选择不同实践项目的结果有种，小林和小红选择不同实践项目的概率为．23．（本题12分）如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为m．(1)的长为，的取值范围是；(2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？(3)当为何值时，矩形花园的面积取得最大值，并求出此时面积的最大值．答案：(1)；(2)当时，矩形花园的面积为(3)当时，面积取得最大值，此时解析：（1）解：，，，，；（2）解：根据题意得整理得解得（舍），答：当时，矩形花园的面积为（3）解：依题意，∵∴当时，面积取得最大值，此时24．（本题12分）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点D，E，且．(1)求证：．(2)若，，求阴影部分的面积．答案：(1)见解析(2)解析：（1）证明：连接，为的切线，，，，，，，，，，；（2）解：设，则，，，解得，，，，，，阴影部分的面积．25．（本题13分）如图1，已知：矩形纸片，（），点，分别是边，上的点，将纸片分别沿直线，折叠，点对应点落在矩形的内部，点对应点落在直线上．(1)的度数为________；(2)如图2，当时，点与重合，将矩形纸片再沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上，连接交于点．①的度数为________；②若，求线段的长；(3)若，求的值．答案：(1)(2)①；②(3)的值为或解析：（1）解：由折叠的性质得，，，矩形纸片，，点对应点落在直线上，即点，，三点共线，，，即，；（2）解：①由折叠的性质得，，，，，，即点，，三点共线，点在折痕上，即点，，三点共线，，，即，；解：②矩形纸片，，由①知，，在中，，，则，，，即，矩形是正方形，，由折叠得，，，，，，，在中，，即，则；（3）解：如图3，延长交于点，过点作，交、于点、，设，则，，矩形纸片，，，（），，，，则，，，，，即，在和中，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，即，，，，在中，，即，，，整理得，左右两边同时乘，得，解得或则的值为或．26．（本题13分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（m是常数，且），则称点A，B是“m一共倾移动点对”．(1)已知点A，B在反比例函数图像上，其中点A的坐标为，若点A，B是“1一共倾移动点对”，则点B的坐标是_________．(2)若机器人从直线与曲线的交点A移动到交点B，若A和B是“1一共倾移动点对”．且①求m的取值范围；②若，求m的值．(3)已知智能图形绘制器绘制的抛物线过点，点是抛物线对称轴上一点，且，点C为平面内一点，点B为抛物线上的动点．若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“一共倾移动点对”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)(2)①；②(3)或解析：（1）解：设，∵点A，B是“1一共倾移动点对”，∴，∴，，（舍去），∴；（2）解：①把，代入得，，∴，又∵点和是“一共倾移动点对”，∴，∴直线的解析式为，联立得，整理得，∵，∴．∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴；②∵，∴，∴，符合m的取值范围；（3）解：∵抛物线过点，∴．∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴抛物线的解析式为，如图，当点B在点A的上方时，过点D作轴于点H，过点B作轴于点E，则，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴点B的坐标为，由正方形的对角线互相平分，根据中点坐标可得：，，解得：，，∴点C的坐标为，当A，D两个顶点是“一共倾移动点对”，则，解得，当D，C两个顶点是“一共倾移动点对”，则，解得，不符合题意舍去；当B，C两个顶点是“一共倾移动点对”，则，解得，