2027山东专升本高数一 二元函数极值与条件极值巩固练习

山东专升本高数一二元函数极值与条件极值巩固练习考纲说明：山东专升本高数一掌握二元无条件极值（驻点、AC-B2判别法）；掌握拉格朗日乘数法求解条件极值；该考点常出计算题、应用题，每题严格按照专升本阅卷标准书写步骤，每题后紧跟答案+核心公式必背一、无条件极值判别步骤求一阶偏导，令fx=0求二阶偏导：

A判别ΔΔ>0,AΔ>0,AΔ<0Δ=0二、条件极值（拉格朗日乘数法）求z=f(x,y)在约束条件φ解出驻点；实际应用题，驻点即为所求最值点，不需要二阶判别。一、选择题（4道）题1二元函数z=f(x,y)在驻点(x0,y0)处满足AC-答案：C

详细解题步骤：

步骤1：二元函数驻点判别规则：Δ=AC-B2

步骤2：Δ<0，该驻点为鞍点，不是极值点。

步骤3题2函数z=x2+y2的极值为（）

A.极大值0

B.极小值答案：B

详细解题步骤：

步骤1：求一阶偏导：∂z∂x=2x,∂z∂y=2y

步骤2：令2x=02y=0，解得驻点(0,0)

步骤3：求二阶偏导：A=zxx=2,B=题3设f(x,y)=xy，则下面说法正确的是（）

A.(0,0)是极大值点

B.(0,0)是极小值点

C.答案：C

详细解题步骤：

步骤1：一阶偏导fx=y,fy=x；令y=0x=0，(0,0)是驻点。

步骤2：二阶偏导A=0,B题4在约束条件x+y=2下求z=x2+y2的最小值，使用拉格朗日乘数法，构造函数为（）

A.L答案：A

详细解题步骤：

步骤1：约束条件整理为φ(x,y)=x+y-2=0。二、填空题（4道）题1函数f(x,y答案：(0,0)

详细解题步骤：

步骤1：求一阶偏导：fx=2x-y,fy=-x+2y

步骤2题2f(x,y)=答案：2

详细解题步骤：

步骤1：一阶偏导fx=2x+y-3,f题3函数z=x2+答案：1

详细解题步骤：

步骤1：zx=2x=0zy=2y=0，驻点(0,0)。

步骤2题4拉格朗日乘数法，目标函数f(x,y)，约束条件答案：2x-y-1

详细解题步骤：

步骤1：约束条件移项，等式右边等于0：三、无条件极值计算题（4道，专升本高频大题）计算题1求函数f(x答案：极小值f(2,-1)=-3，无极大值

详细解题步骤：

步骤1：求一阶偏导数

fx=2x+由第二式x=-2y，代入第一式：

2(-2y)+y-步骤3：求二阶偏导数

A步骤4：计算判别式

Δ=AC-步骤5：计算极小值

f(2,-1)=22计算题2求f(x答案：极小值f(1,1)=-1；(0,0)不是极值点

详细解题步骤：

步骤1：一阶偏导

fx=3x2-3y,f步骤3：二阶偏导

A①驻点(0,0)：

A=0,B=-3,②驻点(1,1)：

A=6,B=-3,C=6

Δ=6×6-(-3计算题3求z=4(x答案：极大值z(2,-2)=8，无极小值

详细解题步骤：

步骤1：一阶偏导

zx=4-2x,zy步骤3：二阶偏导A=-2,B=0,C=-2

步骤4：Δ=(-2)(-2)-0=4>0，A=-2<0，极大值点。

计算题4求f(x答案：极小值f12,-1=-e2步骤2：e2x由第二式y=-1，代入第一式：2x+2-4+1=0⇒2x步骤3：二阶偏导代入12,-1：

A步骤4：计算函数值

f四、条件极值（拉格朗日乘数法）大题4道大题1求函数z=x2+y2答案：极小值12

详细解题步骤：

步骤1：目标函数f(x,y)=x2+y步骤3：求各变量偏导，令等于0步骤4：由第一式：λ=-2x；第二式：λ=-2y，得2x步骤5：得到驻点12,12；该问题存在最小值。

代入目标函数：大题2求z=xy在约束条件x答案：最大值4

详细解题步骤：

步骤1：f(x,y)=xy；约束条件φ(x步骤3：求偏导联立步骤4：λ=-y=-x⇒x=y；代入步骤5：代入：z=2×2=4，最大值为4大题3求原点(0,0)到直线x+2y=4的最短距离（即求f(x,答案：最短距离45

说明：距离平方最小等价距离最小，目标函数取距离平方f=x步骤1：构造拉格朗日函数

L步骤2：方程组步骤3：由①：λ=-2x；代入②：2y+2(-2x步骤4：距离平方：x2+y2=4大题4【应用题，专升本真题模型】要做一个容积为V的无盖长方体水箱，长、宽、高分别为x,y,目标：表面积S=xy+2xz+2yz；约束条件xyz=V。答案：x=y=32V,z=1232V

详细解题步骤：

步骤步骤3：求偏导等于0步骤4：对比第一、二式，得y+2z=x+2z⇒x=y。

把x=y代入步骤5：代入约束xyz=V：

x⋅五、易错点总结（专升本考场避坑）无条件极值：先求驻点，驻点不一定是极值点，必须用AC-B2条件极值拉格朗日乘数法：约束条件必须移项等于0再代入；实际应用题，解出驻点直接就是最值点，不要再做二阶判别。审