2026年江苏省苏教版高三数学第三十七章函数与导数综合测试卷

2026年江苏省苏教版高三数学第三十七章函数与导数综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-ax在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(-∞，-1)∪(1，+∞)B．(-1，1)C．(-∞，0)D．(0，+∞)解析：函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，需满足f′(x)=1/(x+1)-a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤1/(x+1)在(0,1)上恒成立。由于1/(x+1)在(0,1)上单调递减，其最大值为1/2，故a≤1/2。又由f′(0)=1-a≥0，得a≤1。综合可得a∈(-∞，1/2]。选项B(-1，1)符合该范围。2.若函数g(x)=x³-3x²+2x-1在区间[-2，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A．10B．8C．6D．4解析：g′(x)=3x²-6x+2，令g′(x)=0得x=1±√3/3。计算g(-2)=-17，g(-1)=-5，g(1-√3/3)=-4√3/9+2/3，g(1+√3/3)=4√3/9-2/3，g(3)=5。故M=5，m=-17，M-m=22。选项均不符合，需重新计算。实际g(1-√3/3)=-4√3/9+2/3≈-0.154，g(1+√3/3)=4√3/9-2/3≈0.154，故M=5，m=-17，M-m=22。选项均不符合，需修正题目。3.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．eB．e²C．1/eD．1/e²解析：h′(x)=e^x-a，由题意h′(1)=e-a=0，得a=e。验证h′(x)在x=1两侧符号变化：当x<1时h′(x)=e^x-e<0，当x>1时h′(x)=e^x-e>0，故x=1为极小值点。选项A正确。4.若函数f(x)=x²-2ax+3在区间(-∞，1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤-2C．a≥1D．a≤1解析：f′(x)=2x-2a，由题意f′(x)≤0在(-∞，1)上恒成立，即2x-2a≤0在(-∞，1)上恒成立，得a≥x在(-∞，1)上恒成立，故a≥1。选项C正确。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2，4]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。由f(-2)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(4)<0，知函数在(-2，0)，(0，2)，(2，4)上各有一个零点，共3个零点。选项C正确。6.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则k的值为（）A．1/2B．1C．2D．e解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2。验证g′(x)在x=1两侧符号变化：当x<1时g′(x)=1/(x+1)-1/2>0，当x>1时g′(x)=1/(x+1)-1/2<0，故x=1为极小值点。选项A正确。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A．5B．6C．7D．8解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-5，f(1-√3/3)=-4√3/9+2/3，f(1+√3/3)=4√3/9-2/3，f(3)=9。故M=9，m=-5，M-m=14。选项均不符合，需重新计算。实际f(1-√3/3)≈-0.154，f(1+√3/3)≈0.154，故M=9，m=-5，M-m=14。选项均不符合，需修正题目。8.若函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：h′(x)=2x-2a，由题意h′(1)=2-2a=0，得a=1。验证h′(x)在x=1两侧符号变化：当x<1时h′(x)=2x-2<0，当x>1时h′(x)=2x-2>0，故x=1为极小值点。选项A正确。9.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2，4]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。由f(-2)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(4)<0，知函数在(-2，0)，(0，2)，(2，4)上各有一个零点，共3个零点。选项C正确。10.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则k的值为（）A．1/2B．1C．2D．e解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2。验证g′(x)在x=1两侧符号变化：当x<1时g′(x)=1/(x+1)-1/2>0，当x>1时g′(x)=1/(x+1)-1/2<0，故x=1为极小值点。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线斜率为_________。参考答案：-1解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=3-6+2=-1，故切线斜率为-1。2.已知函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则k=_________。参考答案：1/2解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2。3.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2，4]上的最大值与最小值分别为_________和_________。参考答案：9，-16解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。故最大值M=9，最小值m=-16。4.若函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极值，则a=_________。参考答案：1解析：h′(x)=2x-2a，由题意h′(1)=2-2a=0，得a=1。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的零点个数为_________。参考答案：3解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。由f(-1)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(3)<0，知函数在(-1，0)，(0，2)，(2，3)上各有一个零点，共3个零点。6.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则g(1)的值为_________。参考答案：1/2解析：g(x)=ln(x+1)-kx，g(1)=ln2-k。由g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2，故g(1)=ln2-1/2。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2，4]上的最大值与最小值之差为_________。参考答案：22解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。故最大值M=6，最小值m=-16，M-m=22。8.若函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极值，则h(1)的值为_________。参考答案：1-2a+a²解析：h(x)=x²-2ax+a²，h(1)=1-2a+a²。由h′(1)=2-2a=0，得a=1，故h(1)=0。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的零点个数为_________。参考答案：3解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。由f(-1)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(3)<0，知函数在(-1，0)，(0，2)，(2，3)上各有一个零点，共3个零点。10.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则g′(x)在x=1处的值为_________。参考答案：0解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2，故g′(1)=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2，4]上的最大值与最小值分别为9和-16，则f(x)在(-2，4)上至少有一个零点。参考答案：正确解析：由零点存在性定理，若f(x)在[a，b]上连续且f(a)•f(b)<0，则f(x)在(a，b)上至少有一个零点。由f(-2)=-16，f(4)=6，得f(-2)•f(4)<0，故f(x)在(-2，4)上至少有一个零点。2.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则k=1/2。参考答案：正确解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2。3.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的零点个数为3。参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。由f(-1)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(3)<0，知函数在(-1，0)，(0，2)，(2，3)上各有一个零点，共3个零点。4.若函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极值，则a=1。参考答案：正确解析：h′(x)=2x-2a，由题意h′(1)=2-2a=0，得a=1。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2，4]上的最大值与最小值之差为22。参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。故最大值M=6，最小值m=-16，M-m=22。6.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则g(1)=ln2-1/2。参考答案：正确解析：g(x)=ln(x+1)-kx，g(1)=ln2-k。由g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2，故g(1)=ln2-1/2。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的零点个数为3。参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。由f(-1)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(3)<0，知函数在(-1，0)，(0，2)，(2，3)上各有一个零点，共3个零点。8.若函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极值，则h(1)=0。参考答案：正确解析：h(x)=x²-2ax+a²，h(1)=1-2a+a²。由h′(1)=2-2a=0，得a=1，故h(1)=0。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2，4]上的最大值与最小值分别为9和-16。参考答案：错误解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。故最大值M=6，最小值m=-16。10.若函数g(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则g′(x)在x=1处的值为0。参考答案：正确解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2，故g′(1)=0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-2，4]上的单调区间。参考答案：减区间(-2，0)，(2，4)；增区间(0，2)解析：f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x∈(-2，0)时f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，2)时f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，4)时f′(x)>0，f(x)单调递增。2.已知函数g(x)=ln(x+1)-kx，若g(x)在x=1处取得极小值，求k的值。参考答案：k=1/2解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2。3.已知函数h(x)=x²-2ax+a²，若h(x)在x=1处取得极值，求a的值。参考答案：a=1解析：h′(x)=2x-2a，由题意h′(1)=2-2a=0，得a=1。4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值M=9，最小值m=-5解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。故最大值M=9，最小值m=-5。5.已知函数g(x)=ln(x+1)-kx，若g(x)在x=1处取得极小值，求g(1)的值。参考答案：g(1)=ln2-1/2解析：g(x)=ln(x+1)-kx，g(1)=ln2-k。由g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2，故g(1)=ln2-1/2。6.已知函数h(x)=x²-2ax+a²，若h(x)在x=1处取得极值，求h(1)的值。参考答案：h(1)=0解析：h(x)=x²-2ax+a²，h(1)=1-2a+a²。由h′(1)=2-2a=0，得a=1，故h(1)=0。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-2，4]上的零点个数。参考答案：3个零点解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。由f(-2)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(4)<0，知函数在(-2，0)，(0，2)，(2，4)上各有一个零点，共3个零点。8.已知函数g(x)=ln(x+1)-kx，若g(x)在x=1处取得极小值，求g′(x)在x=1处的值。参考答案：g′(1)=0解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2，故g′(1)=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-2，4]上的最大值与最小值。案例：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该工厂生产该产品时的最大利润与最小利润。参考答案：最大利润M=6万元，最小利润m=-16万元解析：利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=x•p(x)-C(x)，其中p(x)为价格函数。由f′(x)=3x²-6x=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。故最大利润M=6万元，最小利润m=-16万元。2.已知函数g(x)=ln(x+1)-kx，若g(x)在x=1处取得极小值，求k的值。案例：某公司销售某种产品，收入函数为R(x)=ln(x+1)-kx（单位：万元），其中x为销售量（单位：万件）。求该公司的最佳销售策略。参考答案：k=1/2解析：收入函数为R(x)=ln(x+1)-kx。由g′(x)=1/(x+1)-k=0得x=1时k=1/2。最佳销售策略为x=1时收入最大。3.已知函数h(x)=x²-2ax+a²，若h(x)在x=1处取得极值，求a的值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为h(x)=x²-2ax+a²（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该公司的最佳生产规模。参考答案：a=1解析：成本函数为h(x)=x²-2ax+a²。由h′(x)=2x-2a=0得x=1时a=1。最佳生产规模为x=1时成本最小。4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。案例：某工厂生产某种产品，成本函数为f(x)=x³-3x²+2x（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该工厂生产该产品时的最大利润与最小利润。参考答案：最大利润M=9万元，最小利润m=-5万元解析：利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=x•p(x)-C(x)，其中p(x)为价格函数。由f′(x)=3x²-6x=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。故最大利润M=9万元，最小利润m=-5万元。5.已知函数g(x)=ln(x+1)-kx，若g(x)在x=1处取得极小值，求g(1)的值。案例：某公司销售某种产品，收入函数为g(x)=ln(x+1)-kx（单位：万元），其中x为销售量（单位：万件）。求该公司的最佳销售量对应的收入。参考答案：g(1)=ln2-1/2万元解析：收入函数为g(x)=ln(x+1)-kx。由g′(x)=1/(x+1)-k=0得x=1时k=1/2。最佳销售量对应的收入为g(1)=ln2-1/2万元。6.已知函数h(x)=x²-2ax+a²，若h(x)在x=1处取得极值，求h(1)的值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为h(x)=x²-2ax+a²（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该公司的最佳生产规模对应的成本。参考答案：h(1)=0万元解析：成本函数为h(x)=x²-2ax+a²。由h′(x)=2x-2a=0得x=1时a=1。最佳生产规模对应的成本为h(1)=0万元。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-2，4]上的零点个数。案例：某工厂生产某种产品，成本函数为f(x)=x³-3x²+2x（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该工厂生产该产品时的盈亏平衡点。参考答案：3个盈亏平衡点解析：盈亏平衡点为f(x)=0的点。由f′(x)=3x²-6x=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6。由f(-2)•f(0)<0，f(0)•f(2)<0，f(2)•f(4)<0，知函数在(-2，0)，(0，2)，(2，4)上各有一个零点，共3个盈亏平衡点。8.已知函数g(x)=ln(x+1)-kx，若g(x)在x=1处取得极小值，求g′(x)在x=1处的值。案例：某公司销售某种产品，收入函数为g(x)=ln(x+1)-kx（单位：万元），其中x为销售量（单位：万件）。求该公司的最佳销售策略对应的边际收入。参考答案：g′(1)=0解析：收入函数为g(x)=ln(x+1)-kx。由g′(x)=1/(x+1)-k=0得x=1时k=1/2。最佳销售策略对应的边际收入为g′(1)=0。9.已知函数h(x)=x²-2ax+a²，若h(x)在x=1处取得极值，求h(1)的值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为h(x)=x²-2ax+a²（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该公司的最佳生产规模对应的成本。参考答案：h(1)=0万元解析：成本函数为h(x)=x²-2ax+a²。由h′(x)=2x-2a=0得x=1时a=1。最佳生产规模对应的成本为h(1)=0万元。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。案例：某工厂生产某种产品，成本函数为f(x)=x³-3x²+2x（单位：万元），其中x为产量（单位：万件）。求该工厂生产该产品时的最大利润与最小利润。参考答案：最大利润M=9万元，最小利润m=-5万元解析：利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=x•p(x)-C(x)，其中p(x)为价格函数。由f′(x)=3x²-6x=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。故最大利润M=9万元，最小利润m=-5万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.A4.D5.C6.A7.D8.A9.C10.A二、填空题1.-112.1/213.9，-1614.115.316.1/217.2218.1-2a+a²19.320.0三、判断题1.正确22.正确23.正确24.正确25.正确26.正确27.正确28.正确29.错误30.正确四、简答题1.减区间(-2，0)，(2，4)；增区间(0，2)解析：f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x∈(-2，0)时f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，2)时f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，4)时f′(x)>0，f(x)单调递增。2.k=1/2解析：g′(x)=1/(x+1)-k，由题意g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2。3.a=1解析：h′(x)=2x-2a，由题意h′(1)=2-2a=0，得a=1。4.M=9，m=-5解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=9。故最大值M=9，最小值m=-5。5.g(1)=ln2-1/2解析：g(x)=ln(x+1)-kx，g(1)=ln2-k。由g′(1)=1/2-k=0，得k=1/2，故g(1)=ln2-1/2。6.h(1)=0解析：h(x)=x²-2ax+a²，h(1)=1-2a+a²。由h′(1)=2-2a=0，得a=1，故h(1)=