2026年陕西省湘教版高一数学第七十四章数列同步练习题试卷

2026年陕西省湘教版高一数学第七十四章数列同步练习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_{n+1}=3a_n-1（n∈N），则该数列的通项公式为（）A.a_n=3^n+1B.a_n=2•3^{n-1}C.a_n=3^n-1D.a_n=2•3^n-1解析：由a_{n+1}=3a_n-1，得a_{n+1}-1=3(a_n-1)，令b_n=a_n-1，则b_{n+1}=3b_n，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^{n-1}，所以a_n=b_n+1=3^{n-1}+1，故选B。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-2（n≥1），则数列{a_n}的第四项a_4的值为（）A.4B.8C.16D.32解析：由S_n=2a_{n+1}-2，得a_1=2a_2-2，即a_2=3/2，当n≥2时，S_{n-1}=2a_n-2，两式相减得a_n=2a_{n+1}-2a_n，即a_{n+1}=2a_n，故数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为2，所以a_4=a_2•2^2=3•4=12，故选A。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2n（n∈N），则a_5的值为（）A.15B.25C.35D.45解析：由a_{n+1}=a_n+2n，得a_2=a_1+2，a_3=a_2+4，…，a_n=a_{n-1}+2(n-1)，累加可得a_n=a_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+n(n-1)=n^2-n+1，所以a_5=5^2-5+1=21，故选B。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=nB.a_n=n(n-1)C.a_n=n^2D.a_n=n/(n+1)解析：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，故选A。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-1（n≥1），则数列{a_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.递推数列解析：由S_n=2a_{n+1}-1，得a_1=2a_2-1，即a_2=1，当n≥2时，S_{n-1}=2a_n-1，两式相减得a_n=2a_{n+1}-2a_n，即a_{n+1}=3/2a_n，故数列{a_n}是等比数列，公比为3/2，故选B。6.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2^{n-1}（n∈N），则a_5的值为（）A.63B.127C.255D.511解析：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，a_4=a_3+4，a_5=a_4+8，累加可得a_5=1+1+2+4+8=16，故选A。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=nB.a_n=n(n-1)C.a_n=n^2D.a_n=n/(n+1)解析：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，故选A。8.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=2^n-1B.a_n=2^n+1C.a_n=n•2^{n-1}D.a_n=2n-1解析：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1，故选A。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-1（n≥1），则数列{a_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.递推数列解析：由S_n=2a_{n+1}-1，得a_1=2a_2-1，即a_2=1，当n≥2时，S_{n-1}=2a_n-1，两式相减得a_n=2a_{n+1}-2a_n，即a_{n+1}=3/2a_n，故数列{a_n}是等比数列，公比为3/2，故选B。10.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2n（n∈N），则数列{a_n}的前5项和S_5的值为（）A.55B.65C.75D.85解析：由a_{n+1}=a_n+2n，得a_2=a_1+2，a_3=a_2+4，…，a_n=a_{n-1}+2(n-1)，累加可得a_n=1+n(n-1)，所以S_5=1+3+7+13+21=55，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2，则a_5+a_7的值为______。解：由等差数列性质，a_5+a_7=2a_6=2(a_1+5d)=2(3+10)=26。2.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），则数列{a_n}的通项公式为______。解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为______。解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），则数列{a_n}的第四项a_4的值为______。解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，公比为4/3，所以a_4=a_1(4/3)^3=2•64/27=128/27。5.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2^{n-1}（n∈N），则数列{a_n}的前3项和S_3的值为______。解：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，所以S_3=1+1+3=5。6.若数列{a_n}是等比数列，首项a_1=2，公比q=3，则a_4+a_6的值为______。解：由等比数列性质，a_4+a_6=2a_5=2•2•3^4=162。7.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），则数列{a_n}的通项公式为______。解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1。8.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为______。解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。9.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），则数列{a_n}的第四项a_4的值为______。解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，公比为4/3，所以a_4=a_1(4/3)^3=2•64/27=128/27。10.若数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2，则a_5+a_7的值为______。解：由等差数列性质，a_5+a_7=2a_6=2(a_1+5d)=2(3+10)=26。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），则数列{a_n}是等比数列。（）解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，不是等比数列，故错误。2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}是等比数列。（）解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a_n}是等比数列，故正确。3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），则数列{a_n}是等差数列。（）解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，不是等差数列，故错误。4.若数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2，则a_5+a_7=26。（）解：由等差数列性质，a_5+a_7=2a_6=2(a_1+5d)=2(3+10)=26，故正确。5.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2^{n-1}（n∈N），则数列{a_n}的前3项和S_3=5。（）解：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，所以S_3=1+1+3=5，故正确。6.若数列{a_n}是等比数列，首项a_1=2，公比q=3，则a_4+a_6=162。（）解：由等比数列性质，a_4+a_6=2a_5=2•2•3^4=162，故正确。7.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），则数列{a_n}的通项公式为a_n=1。（）解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，故正确。8.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1。（）解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1，故正确。9.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），则数列{a_n}的第四项a_4=128/27。（）解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，所以a_4=a_1(4/3)^3=2•64/27=128/27，故正确。10.若数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2，则a_5+a_7=26。（）解：由等差数列性质，a_5+a_7=2a_6=2(a_1+5d)=2(3+10)=26，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2，求该数列的前5项和S_5的值。解：由等差数列前n项和公式，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，所以S_5=5/2[2×3+(5-1)×2]=5/2[6+8]=5×7=35。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），求证数列{a_n}是常数列。证明：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1。3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），求该数列的通项公式。解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），求该数列的第四项a_4的值。解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，所以a_4=a_1(4/3)^3=2•64/27=128/27。5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2^{n-1}（n∈N），求该数列的前3项和S_3的值。解：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，所以S_3=1+1+3=5。6.已知数列{a_n}是等比数列，首项a_1=2，公比q=3，求该数列的前4项和S_4的值。解：由等比数列前n项和公式，S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，所以S_4=2(1-3^4)/(1-3)=2(1-81)/(-2)=80。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），求证数列{a_n}是常数列。证明：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1。8.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），求该数列的通项公式。解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为100件，计划以后每年比上一年增产20%，求该工厂第五年的产量。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_5=100×(1+20%)^4=100×1.2^4=100×2.0736=207.36，该工厂第五年的产量约为207件。2.某城市人口2000年有100万，若人口每年增长1.5%，求该城市2020年的人口。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_20=100×(1+1.5%)^{20}=100×1.015^20=100×1.3468=134.68，该城市2020年的人口约为135万。3.某人存款1000元，年利率为2%，求该存款三年后的本息和（按复利计算）。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_4=1000×(1+2%)^3=1000×1.02^3=1000×1.0612=1061.2，该存款三年后的本息和为1061.2元。4.某工厂第一年利润为100万元，计划以后每年比上一年增长10%，求该工厂第五年的利润。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_5=100×(1+10%)^4=100×1.1^4=100×1.4641=146.41，该工厂第五年的利润约为146万元。5.某城市人口2000年有100万，若人口每年增长1.5%，求该城市2020年的人口。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_20=100×(1+1.5%)^{20}=100×1.015^20=100×1.3468=134.68，该城市2020年的人口约为135万。6.某人存款1000元，年利率为2%，求该存款三年后的本息和（按复利计算）。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_4=1000×(1+2%)^3=1000×1.02^3=1000×1.0612=1061.2，该存款三年后的本息和为1061.2元。7.某工厂第一年产量为100件，计划以后每年比上一年增产20%，求该工厂第五年的产量。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_5=100×(1+20%)^4=100×1.2^4=100×2.0736=207.36，该工厂第五年的产量约为207件。8.某城市人口2000年有100万，若人口每年增长1.5%，求该城市2020年的人口。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^{n-1}，所以a_20=100×(1+1.5%)^{20}=100×1.015^20=100×1.3468=134.68，该城市2020年的人口约为135万。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解：由a_{n+1}=3a_n-1，得a_{n+1}-1=3(a_n-1)，令b_n=a_n-1，则b_{n+1}=3b_n，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^{n-1}，所以a_n=b_n+1=3^{n-1}+1，故选B。2.A解：由S_n=2a_{n+1}-2，得a_1=2a_2-2，即a_2=3/2，当n≥2时，S_{n-1}=2a_n-2，两式相减得a_n=2a_{n+1}-2a_n，即a_{n+1}=2a_n，故数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为2，所以a_4=a_2•2^2=3•4=12，故选A。3.A解：由a_{n+1}=a_n+2n，得a_2=a_1+2，a_3=a_2+4，…，a_n=a_{n-1}+2(n-1)，累加可得a_n=a_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+n(n-1)=n^2-n+1，所以a_5=5^2-5+1=21，故选A。4.A解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，故选A。5.B解：由S_n=2a_{n+1}-2，得a_1=2a_2-2，即a_2=1，当n≥2时，S_{n-1}=2a_n-2，两式相减得a_n=2a_{n+1}-2a_n，即a_{n+1}=3/2a_n，故数列{a_n}是等比数列，公比为3/2，故选B。6.A解：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，a_4=a_3+4，a_5=a_4+8，累加可得a_5=1+1+2+4+8=16，故选A。7.A解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，故选A。8.A解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1，故选A。9.B解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，公比为4/3，故选B。10.A解：由a_{n+1}=a_n+2n，得a_2=a_1+2，a_3=a_2+4，…，a_n=a_{n-1}+2(n-1)，累加可得a_n=a_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+n(n-1)=n^2-n+1，所以S_5=1+3+7+13+21=55，故选A。二、填空题1.26解：由等差数列性质，a_5+a_7=2a_6=2(a_1+5d)=2(3+10)=26。2.a_n=1解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1。3.a_n=2^n-1解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。4.128/27解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，所以a_4=a_1(4/3)^3=2•64/27=128/27。5.5解：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，所以S_3=1+1+3=5。6.162解：由等比数列性质，a_4+a_6=2a_5=2•2•3^4=162。7.a_n=1解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1。8.a_n=2^n-1解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。9.128/27解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，所以a_4=a_1(4/3)^3=2•64/27=128/27。10.26解：由等差数列性质，a_5+a_7=2a_6=2(a_1+5d)=2(3+10)=26。三、判断题1.错误解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，不是等比数列，故错误。2.正确解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a_n}是等比数列，故正确。3.错误解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，不是等差数列，故错误。4.正确解：由等差数列性质，a_5+a_7=2a_6=2(a_1+5d)=2(3+10)=26，故正确。5.正确解：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，所以S_3=1+1+3=5，故正确。6.正确解：由等比数列性质，a_4+a_6=2a_5=2•2•3^4=162，故正确。7.正确解：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1，故正确。8.正确解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1，故正确。四、简答题1.已知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2，求该数列的前5项和S_5的值。解：由等差数列前n项和公式，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，所以S_5=5/2[2×3+(5-1)×2]=5/2[6+8]=5×7=35。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），求证数列{a_n}是常数列。证明：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_4=1，得a_n=1。3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），求该数列的通项公式。解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），求该数列的第四项a_4的值。解：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_1=3a_2-3，即a_2=5/3，当n≥2时，S_{n-1}=3a_n-3，两式相减得a_n=3a_{n+1}-3a_n，即a_{n+1}=4/3a_n，故数列{a_n}是等比数列，所以a_4=a_1(4/3)^3=2•64/27=128/27。5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2^{n-1}（n∈N），求该数列的前3项和S_3的值。解：由a_{n+1}=a_n+2^{n-1}，得a_2=a_1+1，a_3=a_2+2，所以S_3=1+1+3=5。6.已知数列{a_n}是等比数列，首项a_1=2，公比q=3，求该数列的前4项和S_4的值。解：由等比数列前n项和公式，S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，所以S_4=2(1-3^4)/(1-3)=2(1-81)/(-2)=80。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），求证数列{a_n}是常数列。证明：由S_n=na_n，得a_1=1a_1，a_2=2a_2，…，a_n=na_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-(n-1)a_{n-1}，整理得(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是常数列，由a_1=1，得a_n=1。8.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），求该数列的通项公式。解：由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n，所以a_n=2^n-1。五、应用题1.某工厂第一年产量为100件，计划以后每年比上一年增产20%，求该工厂第五年的产量。