2026年天津市北师大版高二数学第三章数列综合测试卷

2026年天津市北师大版高二数学第三章数列综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=31。选项无正确答案，需修正题目条件。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3等于（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目条件。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系可得f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)，无法精确计算。选项无正确答案，需修正题目条件。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=a_3+a_7=18。选项无正确答案，需修正题目条件。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前3项和等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(h_n)=n-1，前3项和为0+1+2=3。选项A正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_4等于（）A.2B.2.5C.3D.3.5解析：由递推关系可得i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+1/2=2.5，i_4=i_3+1/3=3。选项C正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5等于（）A.16B.24C.32D.64解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，解得q=2，故j_5=j_1q^4=16。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立可得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_3等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=4n-1，验证n=1时成立，故b_3=11。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_4等于______。解：由递推关系可得c_2=c_1+3=5，c_3=c_2+6=11，c_4=c_3+9=20。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，联立可得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4等于______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_4=8。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_5等于______。解：由递推关系可得f_2=f_1+2=5，f_3=f_2+4=9，f_4=f_3+6=15，f_5=f_4+8=23。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则a_6+a_10等于______。解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，同理a_6+a_10=2a_8=a_4+a_8=20。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前2项和等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(h_n)=n-1，前2项和为0+1=1。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_3等于______。解：由递推关系可得i_2=i_1+1=3，i_3=i_2+1/2=3.5。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则j_6等于______。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，解得q=2，故j_6=j_1q^5=64。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列一定是等差数列。（×）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=3，当n≥2时a_n=4n-1，验证n=1时成立，但a_2-a_1=4不等于常数，故该数列不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，q>1，故b_n随n增大而增大，故数列递增。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+n，则该数列一定是等差数列。（×）解：由递推关系可得c_n=c_1+(n-1)+(n-2)+...+1=c_1+n(n-1)/2，故c_n不是关于n的一次函数，故该数列不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=20。（√）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_7=2a_6=a_4+a_8=a_1+a_9=20。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（×）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，但e_n=2n不是关于n的一次函数，故该数列不是等差数列。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+1，则该数列一定是等差数列。（√）解：由递推关系可得f_n=f_1+(n-1)，故f_n是关于n的一次函数，故该数列是等差数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=4，g_4=16，则g_6=64。（√）解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=4，g_4=g_1q^3=16，联立可得q=2，故g_6=g_1q^5=64。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_n=2×3^{n-1}。（×）解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，但h_n=2×3^{n-1}不是关于n的一次函数，故该数列不是等差数列。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+1/n，则i_n=n+1。（×）解：由递推关系可得i_n=i_1+(1+1/2+...+1/(n-1))，故i_n不等于n+1。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5=32。（√）解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，解得q=2，故j_5=j_1q^4=32。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得15=5+4d，解得d=2.5，故a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求b_4的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=4n-1，验证n=1时成立，故b_4=15。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立可得q=3。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求d_3的值。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=2，当n≥2时d_n=2n，验证n=1时成立，故d_3=6。5.若数列{e_n}满足e_1=2，e_{n+1}=e_n+3n，求e_5的值。解：由递推关系可得e_2=e_1+3=5，e_3=e_2+6=11，e_4=e_3+9=20，e_5=e_4+12=32。6.在等差数列{f_n}中，若f_3+f_7=24，求f_5的值。解：由等差数列性质f_3+f_7=2f_5，故f_5=12。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，求数列{log_3(g_n)}的前3项和。解：由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=S_1=2，当n≥2时g_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(g_n)=n-1，前3项和为0+1+2=3。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+2n，求h_4的值。解：由递推关系可得h_2=h_1+2=3，h_3=h_2+4=7，h_4=h_3+6=13。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=10，d=5，故a_{10}=10+9×5=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.1，故b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某人存款计划每年存入银行一笔固定金额，已知第一年存入1万元，以后每年比前一年多存入0.5万元，求第5年存入银行的总金额。解：由等差数列{c_n}中，c_1=1，d=0.5，故S_5=5/2×[2×1+(5-1)×0.5]=12.5万元。4.某产品成本每年下降10%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列{d_n}中，d_1=100，q=0.9，故d_4=100×0.9^4≈70.29元。5.某林场计划每年种植树木数量比前一年多20%，已知第一年种植1000棵，求第4年种植的总树木数量。解：由等比数列{e_n}中，e_1=1000，q=1.2，故S_4=1000×(1.2^4-1)/(1.2-1)≈5488棵。6.某工厂计划每年比上一年减少设备维护费用，已知第一年维护费用为10万元，以后每年比前一年少1万元，求第8年维护费用。解：由等差数列{f_n}中，f_1=10，d=-1，故f_8=10+7×(-1)=3万元。