2025-2026学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(−2,1)，b=(6,y)，且a⊥b，则A.−12 B.−3 C.3 D.122.在△ABC中，a=23,b=2,∠C=30°，则c=A.2 B.3 C.4 D.23.若复数z=−i1+i，则|z|=(

)A.14 B.12 C.24.已知α，β表示两个不同的平面，m，n，l表示三条不同的直线，则下列结论正确的是(

)A.若m//α，n⊂α，则m//n

B.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

C.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β

D.若m⊥α，m//n，则n⊥α5.为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：(单位：分)56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，则这10人成绩的第80百分位数是(

)A.83 B.83.5 C.84 D.706.玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力.如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成.已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm.高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为2：1，则这个陀螺的体积最大约为(

)A.18πcm3 B.28πcm3 C.7.设随机事件A，B满足P(AB−)=15，P(A∪B)=A.15 B.25 C.358.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12A.62

B.233

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(m,1),b=(2,m)，则下列结论正确的是A.若a与b方向相反，则m=−2

B.若(2a+b)⊥(a+b)，则m=−1

C.若m=2，则b在a方向上的投影向量坐标为(10.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是(

)A.事件B与事件C是互斥事件 B.事件A与事件B是相互独立事件

C.P(A)P(B)P(C)=18 11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1B1中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为α.当AA.正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为64

B.当AB的中点在α上时，截面图形的面积为25

C.记MP的中点为Q三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的内角A的对边为a，且a=2，sinA=23，则△ABC外接圆的面积为

．13.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5满足i=15xi14.已知点C是△OAB所在平面上一点，且满足OC=λOA+(1−λ)OB(0≤λ≤1),D为线段AB中点，且OA⊥OB,|AB|=4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在①z2z2−=4，②z2=2cosx+2isinx，③|z2|=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：

已知复数z1，z2，满足z1=1−i，_____．

(1)若z1z2为实数，求复数16.(本小题15分)

从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=2π3，E为棱PA的中点，PA=PB=4，PD=23，直线PA与BC所成的角的大小为π3．

(1)证明：PC//平面BDE；

(2)证明：PD⊥平面ABCD；

(3)求二面角E−BD−A18.(本小题17分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c．

(1)求角C的值

(2)若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．

(3)若△ABC为锐角三角形，且c=219.(本小题17分)

如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ(0<θ<π)角的两条轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系.若在θ仿射坐标系下，OM=ae1+be2，则把有序数对(a,b)叫作向量OM的仿射坐标，记为OM=(a,b)，若OM=(a,b)满足sin(θa)=sin(θb)=θπ，则称OM=(a,b)为θ仿射坐标系下的“完美向量”.已知在θ仿射坐标系下，OA=(1,3)，OB=(−1,1)．

(1)求|OA|以及OA⋅OB(用θ表示)

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】9π413.【答案】3.6

14.【答案】(115.【答案】z2=2−2i或z16.【答案】解：(1)根据题意可得第七组频率为：

1−5×(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.008)−450=0.06；

(2)根据题意可得平均数估计为：

157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.3+450×182.5+0.06×187.5+0.02×192.5=170.25，

因为前几组的频率依次为0.04，0.08，0.2，0.2，

所以中位数在[170,175)内，

所以中位数为170+0.5−0.04−0.08−0.20.04=174.5；

(3)由频率分布直方图知第六组有4人，第八组有2人，把它们分别编号为a，b，c，d，1，2，

从这6人中任选2人，所得样本空间为：

{ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12}有15个样本点，

其中两名男生在同一组的样本点为ab，ac，ad，bc，bd，cd，17.【答案】证明见解析；

证明见解析；

2518.【答案】C=π3

5+19.【答案】因为OA=(1,3)，所以|OA|=|e1+3e2|=1+6e1⋅e2+9=10+6cosθ；

因为OB=(−1,1)，所以OA⋅OB=(e1+3e2)⋅(−e1