湖南省邵阳市邵东县第四中学2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省邵阳市邵东四中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.向量的相反向量为（）A.（-1，-1，0） B.（-1，1，0） C.（1，-1，0） D.（-2，-2，0）2.直线x+y-1=0的倾斜角为（）A.45° B.135° C.90° D.120°3.已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是(

)A.相离 B.相交 C.外切 D.内切4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+a6+a10=15，则S11=（）A.25 B.35 C.45 D.555.“a≥27”是“函数f（x）=x3-ax在区间（1，3）上单调递减”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a4=2，且a4与2a7的等差中项为，则S4=（）A.28 B.29 C.30 D.317.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x8.定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意实数x,有f（x）＞f′（x），且f（x）+2026为奇函数，则不等式f（x）+2026ex＞0的解集是（）A.（-∞，0） B.（-∞，ln2026）

C.（0，+∞） D.（2026，+∞）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.关于椭圆，下列结论正确的有（）A.长轴长为4 B.短轴长为4 C.焦距为4 D.离心率为10.已知数列{an}的前n项和，则（）A.{an}是等差数列 B.an=4n-6

C.数列是等差数列 D.|a1|+|a2|+…+|a10|=15511.已知空间向量，，则（）A.

B.在上的投影向量为

C.若向量，则点E在平面ABC内

D.向量是与平行的一个单位向量三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线y2=4x上与焦点距离等于4的点的坐标是

.13.直线l：（m+2）x+（2-2m）y-3=0过定点

.14.已知直线y=kx-2是曲线y=lnx的切线，则k的值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l：x-y+2=0和圆C：x2+y2-6y-7=0.

（1）直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|；

（2）求过点P（4，-5）的圆的切线方程.16.(本小题15分)

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，且6Sn=an（an+3）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：.17.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D1的中点，且AB=2AD=2AA1=2.

（1）求点B1到平面ACE的距离；

（2）求二面角A-CE-D的余弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=ax2+cx-xlnx.

（1）若a=0，c=2，求函数f（x）的单调区间及极值；

（2）若c=1，f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围.19.(本小题17分)

已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合

（I）求椭圆C的方程；

（II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值

（III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】ABC

11.【答案】BCD

12.【答案】（3，±2）

13.【答案】

14.【答案】e

15.【答案】由圆C：x2+y2-6y-7=0即x2+（y-3）2=16，则圆心C（0，3），半径r=4，

又直线l：x-y+2=0交圆C于A，B两点，

可得圆心到直线l的距离，

则

①当过点P（4，-5）的直线斜率不存在时，圆心C（0，3）到直线x=4的距离为4，

恰等于半径，所以直线x=4是圆的一条切线；

②当直线斜率存在时，设切线方程为：y+5=k（x-4）即kx-y-4k-5=0，

因直线与圆相切，则可得圆心C（0，3）到该直线的距离等于半径，

即，解得，此时切线方程为3x+4y+8=0．

故所求切线有两条：x=4与3x+4y+8=0

16.【答案】由各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，且6Sn=an（an+3），

当n≥2时，6Sn+1=an+1（an+1+3），

两式相减可得，

即（an+1+an）（an+1-an-3）=0，

由an＞0，可得an+1-an=3，

当n=1时，6S1=a1（a1+3），解得a1=3，

即{an}是首项为3，公差d=3的等差数列，

所以an=3+（n-1）×3=3n,

故an=3n.

证明：由（1）可得，

则，

于是，

即得证

17.【答案】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

则A（1，0，0），B1（1，2，1），，C（0，2，0），D（0，0，0）．

则，，．

设平面ACE的法向量，

则，则，

令y1=1，得，

则点B1到平面ACE的距离

，．

设平面CDE的法向量，

则，则，

令z2=1，得．

则，

由图可知，二面角A-CE-D为锐角，所以二面角A-CE-D的余弦值为

18.【答案】单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞），极大值为f（e）=e，无极小值

（-∞，0]

19.【答案】解：（Ⅰ）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，

∴，解得a=2，，，

∴椭圆C的方程为．…（2分）

证明：（Ⅱ）设D（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，

则kAD+kAB=

=，（*）

设直线BD的方程为，

联立，

∴△=-8b2+64＞0，解得-2