27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　函数单调性的应用

06函数单调性的应用高频考点函数的最大(小)值前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足

条件(1)∀x∈D,都有f(x)≤M;(2)∃x0∈D,使得f(x0)=M(1)∀x∈D,都有f(x)≥M;(2)∃x0∈D,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值特别提醒

对于定义域为D的函数f(x),若∀x∈D,都有f(x)≤M,则M不一定是函数f(x)的最大值,还需满足∃x0∈D,使

得f(x0)=M,才能说M是f(x)的最大值.1.利用函数的单调性求解最大(小)值若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则函数f(x)在x=a处取得最小(大)值f(a),在x=b处取得最大

(小)值f(b).若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减(增),在区间[b,c]上单调递增(减),则函数f(x)在x=b处取得最小(大)值f

(b).2.利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式时,核心依据是函数单调性的定义和性质,解题时通常先判断函数在对应区

间上的单调性,再依据单调性将符号“f”脱去,列出关于未知量的不等式(组),最后求解.全过程中务必

优先考虑函数的定义域限制,避免因忽略定义域导致求解错误.3.利用函数的单调性求参数的取值范围(1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求参数的取值

范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征:如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置建立

关于参数的不等式(组),解不等式(组)求参数的取值范围.4.利用函数的单调性求函数解析式形如f(g(x))=t(t为定值),且f(x)为严格单调函数求解析式的问题,一般令g(x)=k(k为常数),则f(k)=t,再结合g

(x)的表达式推导出f(x)关于k的式子,将f(k)=t代入,利用函数的单调性确定k的唯一值,进而得到函数f(x)

的解析式.名师点拨在区间[a,b]上连续且具有单调性的函数f(x)的最值一定在区间端点处取得;在区间(a,b)上连续且具有单

调性的函数f(x)无最值,但有界(如趋近于某值).勘破疑难1.利用函数的单调性解不等式时,若不等号一边没有符号“f”,而是常数,那么我们需先结合题意将常

数转化为带有函数符号“f”的函数值再求解.2.根据分段函数的单调性求参数的取值范围时要从两方面考虑:①每个分段区间上的函数具有相同的

单调性;②分界点处函数值的大小关系,若单调递增,则分界点左侧的函数值≤右侧的函数值;若单调递

减,则分界点左侧的函数值≥右侧的函数值.典例

(1)已知函数f(x)=x2-2tx+1在区间(-∞,1]上单调递减,且当x∈[0,t+1]时,有f(x)max-f(x)min≤2,则实数t

的取值范围是_______________.(2)已知函数f(x)=

在R上单调,则实数a的取值范围为____________.(3)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,当x>0时,f(x)>2,且f(2)=5,则不等

式f(x)+f(4-3x)<7的解集为________________.

[1, ]

(1,+∞)

解析

(1)函数f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为直线x=t.因为f(x)=x2-2tx+1在区间(-∞,1]上单调递减,所以t≥1,故当x∈[0,t+1]时,f(x)min=f(t)=-t2+1,f(x)max=f(0)=1.由f(x)max-f(x)min≤2,得1-(-t2+1)≤2,即t2≤2,所以-

≤t≤

,又t≥1,所以1≤t≤

,故实数t的取值范围是[1,

].(2)由二次函数的性质可得f(x)在R上单调递增,所以

解得

<a≤1,所以实数a的取值范围是

.(3)∀x1,x2∈R,且x1<x2.令y=x2-x1,x=x1,则f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)-2,即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2.因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上单调递增.不等式f(x)+f(4-3x)<7可转化为f(x)+f(4-3x)-2<5,所以f(4-2x)<f(2).因为f(x)在R上单调递增,所以4