27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性问题

02与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性问题疑难点指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质a的范围

a>10<a<1图象

性质定义域R

值域(0,+∞)

过定点(0,1)

单调性增函数减函数

函数值特征当x>0时,y>1;当x<0时,0

<y<1当x>0时,0<y<1;当x<0

时,y>1

对称性y=ax与y=

的图象关于y轴对称

特别提醒

画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象时要抓住三个关键点:(1,a),(0,1),

.记忆口诀

指数增减要看清,抓住底数不放松;底数总是大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增和减,图象都过(0,1)点.与指数函数有关的复合函数常见的有两种类型:y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1),解题时要先观察确定是

哪种类型.1.与指数函数有关的复合函数的定义域(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;(2)求函数y=f(ax)的定义域时,令u=ax,根据题意确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即ax的取值范围,由

此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,即y=f(ax)的定义域.2.与指数函数有关的复合函数的值域(1)求函数y=af(x)的值域时,令u=f(x),先求出u=f(x)的值域,再根据指数函数y=au的单调性确定函数y=af(x)的

值域.(2)求函数y=f(ax)的值域时,令u=ax,根据函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,再根据y=f(u)的单调性确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.3.与指数函数有关的复合函数的单调性(1)判断函数y=af(x)的单调性时,令u=f(x),当a>1时,函数y=af(x)的单调性与u=f(x)的单调性相同;当0<a<1时,

函数y=af(x)的单调性与u=f(x)的单调性相反.(2)判断函数y=f(ax)的单调性时,令u=ax,通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义

域内讨论外层函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的规律确定函数y=f(ax)的单调性.特别提醒指数函数y=ax对x没有限制,因此y=af(x)的定义域仅由内层函数y=f(x)决定,而y=f(ax)的定义域为u=ax中x的

范围,由内层函数u=ax决定.勘破疑难1.两种类型中都体现了整体换元的思想,均是以“元”换“式”.换元法是解决复合函数问题的核心方

法,要注意掌握.另外,换元后注意新元的取值范围.2.判断函数的单调性时,不要忘记“定义域优先”的原则,即要先确定复合函数的定义域,避免在无定义

区间讨论单调性.另外,无论哪种类型的复合函数,均是依据“同增异减”的规律进行求解的.典例

(1)已知函数f(x)=

(a>0且a≠1)在区间[4,7]上单调递增,则实数a的取值范围为

()A.

∪(1,4]

B.

∪(1,+∞)C.

∪

D.

∪(1,+∞)(2)若函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为

()A.3

B.

C.5

D.3或

D

D

思路点拨

(1)确定函数为y=af(x)型,先换元,再利用复合函数“同增异减”的规律列关系式求解.(2)确定函数为y=f(ax)型,根据内层定范围,外层定单调性确定函数的最值,进而列关系式求解.解析

(1)设u=ax2-2x,则y=au.当0<a<1时,y=au单调递减,易知函数u=ax2-2x的图象开口向上,对称轴方程为x=

,所以要使f(x)在区间[4,7]上单调递增,需满足

≥7,所以0<a≤

.当a>1时,y=au单调递增,则需满足

≤4,解得a<0或a≥

,所以a>1.综上,实数a的取值范围为

∪(1,+∞).(2)令t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈

,又因为y=(t+1)2-2在

上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(a=-5舍去).当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以t∈

,又因为y=(t+1)2-2在

上单调递增,所以ymax=

-2=14,解得a=

.综上,a=3或a=

.易错警示解决与指数函数有关的复合函数的单调