27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　函数四大基本性质的综合应用

11函数四大基本性质的综合应用疑难点1.函数的奇偶性与单调性的综合应用(1)比较函数值或自变量的大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量或其函数值转化到同一

单调区间上,然后利用单调性比较大小.(2)解不等式:①奇函数解不等式:f(a)+f(b)>0

f(a)>-f(b)

f(a)>f(-b)

②偶函数解不等式:f(a)-f(b)>0

f(a)>f(b)

f(|a|)>f(|b|)

2.函数图象的轴对称和中心对称(1)若函数y=f(b+ax)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称;(2)若函数y=f(b+ax)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称;(3)若函数y=f(x+a)-b是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称;(4)若f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=

对称;(5)若f(a+x)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点

中心对称;(6)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)的图象关于原点对称.3.函数的周期性与图象的对称性(1)函数的周期性:①若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则y=f(x)的周期为|a-b|.②若f(x+a)+f(x)=k(k为定值,且a≠0),则y=f(x)的周期为2|a|.③若f(x+a)f(x)=k(k为定值,且k≠0,a≠0),则y=f(x)的周期为2|a|.④若f(x+a)=±

(a≠0),则y=f(x)的周期为2|a|.⑤若f(x+a)=

(a≠0),则y=f(x)的周期为4|a|.(2)函数图象的双对称和周期问题:①若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则f(x)的一个周期为2|a-b|;②若f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|a-b|;③若f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为4|a-b|.勘破疑难解不等式时要注意以下四点:(1)定义域优先:脱去“f”时,要保证自变量在定义域内.(2)奇同偶反:奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调

性相反.(3)奇化同号,偶化绝对值:处理不等式时,奇函数优先将自变量化到同号区间处理,偶函数优先将自变量

取绝对值后统一到非负区间处理.(4)增去“f”不变,减去“f”变号:若函数单调递增,脱去“f”后不等号方向不变;若函数单调递减,脱去

“f”后不等号方向改变.规律总结对于2中的(1)(2):不管a是几,只看常数b,偶轴x=b,奇心(b,0).对于2中的(4)(5)(6):值相等,取平均,对称轴上把家安;和为常,取平均,中心横纵对半分;正正y轴,正负原点,互对称记心间.特别提醒1.周期恒为正数,计算的结果若为负数不要忘记加绝对值符号.2.单一对称(只有轴或只有点)推不出周期,必须满足双对称才能推导出周期.轻巧记忆对于3中的(1),值等取差绝,和积为常两倍a,正负倒数两倍a,分式四倍a.对于3中的(2),双轴周期2倍差,双点周期2倍差,轴点混合4倍差.典例

(1)已知函数y=f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有

>0,若y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称,且f(1)=4,则不等式f(x)>

的解集为

()A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)+2为奇函数,y=f(2x+2)为偶函数,f(4)=0,则

(

)A.f(1)=-2

B.f(0)=0C.f(x)为奇函数

D.f(2026)=-4

ABD

B

解析

(1)因为y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,又f(x)的定义

域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x).令g(x)=xf(x),其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数.由已知得,∀x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有

>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.由f(1)=4得g(1)=4,所以g(-1)=4.当x>0时,由f(x)>

得xf(x)>4,即g(x)>g(1),解得x>1.当x<0时,由f(x)>

得xf(x)<4,即g(x)<g(-1),所以-1<x<0.综上,不等式f(x)>

的解集为(-1,0)∪(1,+∞).(2)因为y=f(x+1)+2为奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,-2)中心对称,所以f(x)+f(2-x)=-4,令x=1,得2f(1)=-4,所以f(1)=-2,故A正确.因为f(2x+2)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),所以f(0)=f(4)=0,故B正确.对于f(x)+f(2-x)=-4,令x=0,得f(0)+f(2)=-4,所以f(2)=-4,令x=-2,得f(-2)+f(4)=-4,所以f(-2)=-4=f(2),不满足奇函数的定义,故C错误.因为f(x)的图象关于点(1,-2)中心对称,且关于直线x=2对称,所以f(x)的一个周期