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文档简介
03基本不等式的拓展拓展点1.基本不等式链(1)内容:若a>0,b>0,则
≤
≤
≤
,当且仅当a=b时取等号,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.(2)作用:用于比较不同平均数之间的大小、不能利用配凑定值直接求最值的问题.(3)拓展:若a1,a2,…,an>0,则
≥
≥
≥
,当且仅当a1=a2=…=an时取等号.2.柯西不等式(1)内容:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时取等号.(2)作用:常用于求含有根式的最值、平方和或乘积和的最值.3.权方和不等式(1)内容:若a,b,x,y>0,则
+
≥
,当且仅当
=
时取等号.(2)作用:常用于速求一些分式和的最值.易错警示在利用拓展不等式时,要注意变量的范围,式子的结构以及等号成立的条件,注意不要混淆.勘破疑难1.(1)当变量为正数时,已知a2+b2,a+b,ab,
+
中的一个为定值,求其余各式的最值时,考虑选用基本不等式链求解.(2)当出现“平方和”与“和平方”结构或“根式”结构的最值问题时,考虑选用柯西不等式求解.(3)当式子是多个正项分式的和,且分子次数比分母次数高1时,考虑选用权方和不等式求解.2.使用时,可以先列出相关公式,再结合公式对比着进行变形和拼凑.典例设正实数x,y满足x+y=1,则
()A.xy的最大值为
B.x2+y2的最小值为
C.
+
的最小值为3D.
+
的最大值为2
B
解析对于A,1=x+y≥2
,所以xy≤
,当且仅当x=y=
时,等号成立,故A错误.对于B,解法一:已知x+y为定值,求x2+y2的最值,考虑利用基本不等式链求解.由基本不等式链知
≥
=
,所以x2+y2≥
,当且仅当x=y=
时取等号,故B正确.解法二:所求代数式满足“平方和”的形式,考虑配凑使用柯西不等式求解.x2+y2=(x2+y2)×(12+12)×
≥
(x+y)2=
,当且仅当x=y=
时取等号,故B正确.对于C,解法一:
+
=
(2x+2y+1)=
2+2+
+
≥
4+2
=
,当且仅当
=
且x+y=1,即x=
,y=
时取等号,故C错误.解法二:所求代数式是“分式和”的形式,考虑使用权方和不等式求解.
+
=
+
=2
≥2×
=
,当且仅当
=
且x+y=1,即x=
,y=
时取等号,故C错误.对于D,解法一:待求式含根号且无法通过配凑得到积为定值,所以将待求式与算术平均数联系起来,考
虑用基本不等式链求解.
≤
=
=2,所以
+
≤2
,当且仅当
=
且x+y=1,即x=1,y=0时等号成立,又y>0,所以等号取不到,所以
+
<2
,故D错误.解法二:待求式含根号,考虑用柯西不等式求解.(
+
)2≤(12+12)[(x+1)+(y+2)]=8,所以
+
≤2
,当且仅当
=
且x+y=1,即x=1,y=0时等号成立,又y>0,所以等号取不到,所以
+
<2
,故D错误.解后反思
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