27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第五章 任意角的周期性及其应用

01任意角的周期性及其应用重难点1.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边

相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.2.象限角和轴线角在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第

几象限,这个角就是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么这个角称为轴线角.(1)象限角的集合表示:象限角角的集合第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}(2)轴线角的集合表示:终边位置角的集合在x轴的非负半轴上{α|α=k·360°,k∈Z}在x轴的非正半轴上{α|α=180°+k·360°,k∈Z}在y轴的非负半轴上{α|α=90°+k·360°,k∈Z}在y轴的非正半轴上{α|α=270°+k·360°,k∈Z}在x轴上{α|α=k·180°,k∈Z}在y轴上{α|α=90°+k·180°,k∈Z}在坐标轴上{α|α=k·90°,k∈Z}易错警示

当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同;但终边相同的角不一定相等,它们相差360°

的整数倍.特别提醒

象限角只能反映角的终边所在的象限,不能反映角的大小,不能说第二象限角大于第一象限

角.另外,锐角一定是第一象限角,钝角一定是第二象限角,但反之均不成立.1.区域角的表示区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角,表示时可分为三步:(1)按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由小到大的顺序分别标出终边在起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,并将该

范围内的区域角表示为{x|α<x<β}(不含边界)或{x|α≤x≤β}(含边界),其中0°<β-α<360°.(3)角α,β分别加上360°的整数倍,即得区域角的范围.注意:当角的终边落在关于原点对称的两个区域内时,表示区域角时一般先按照步骤(1)和(2)表示其中

一个区域,再将两角分别加上180°的整数倍.2.象限角的判断(1)角α所在象限的判断:在0°~360°范围内,找出与角α的终边相同的角β,则角β的终边落在第几象限,角α就是第几象限角.(2)角nα所在象限的判断:由角α的范围求出角nα的范围,再利用终边相同的角所在象限的判断方法进行判断即可.(3)角

(n∈N*,n≥2)所在象限的判断方法:①分类讨论法:根据角α所在象限写出角α的范围(用含有k(k∈Z)的式子表示),由此求出角

的范围,然后对k(k∈Z)进行分类讨论,从而判断角

所在的象限.②几何法:先把各象限分为n等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向把这4n个区域依次循环标

上一、二、三、四.角α是第几象限角,则标号为几的区域即为角

的终边所在区域,从而判断角

所在的象限.勘破疑难1.注意区域的边界线是实线还是虚线,从而判断表示区域角时不等式能否取等号.2.写终边在起始边界和终止边界对应的角时,若区域含x轴的非负半轴,则起始边界对应的角用负角表

示,终止边界对应的角用正角表示;若区域不含x轴的非负半轴,则起始边界和终止边界对应的角都用正

角或都用负角表示.方法技巧对k分类讨论时,需按被n整除,被n除余1,被n除余2,……,被n除余(n-1)进行分类.如:求

所在象限时,分k=3m,k=3m+1,k=3m+2,m∈Z三种情况进行讨论.典例1已知角α的终边落在如图所示的阴影区域内,求角α的集合.

解析题图(1)中,在0°~360°范围内,终边落在y轴右侧射线(边界)上的角为45°,终边落在y轴左侧射线(边

界)上的角为150°,故角α的集合为{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}.题图(2)中,角的终边落在关于原点对称的两个区域内.当终边落在x轴上方阴影区域内(包括边界)时,在0°~360°范围内,终边落在y轴上的角为90°,终边落在y轴

左侧射线上的角为135°,所以角α的集合为{α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}.解后反思题图(2)的结果也可为{α|-90°+n·180°≤α≤-45°+n·180°,n∈Z}.典例2若α是第一象限角,则(1)-α;(2)2α;(3)

分别是第几象限角?解析∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z),∴-α是第四象限角.(2)2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),∴2α是第一或第二象限角,或终边在y轴非负半轴上的角.(3)k·120°<

<k·120°+30°(k∈Z).解法一(分类讨论法):当k=3n,n∈Z时,n·360°<

<n·360°+30°(n∈Z),故

是第一象限角;当k=3n+1,n∈Z时,n·360°+120°<

<n·360°+150°(n∈Z),故

是第二象限角;当k=3n+2,n∈Z时,n·360°+240°<

<n·360°+270°(n∈Z),故

是第三象限角.综上可知,

是第一或第二或第三象限角.解法二(几何法):如图,将各象限分成3等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向将各区域依次循环

标上一、二、三、四,