27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第五章 三角函数中ω的求解

05三角函数中ω的求解疑难点1.已知对称性求ω的值或取值范围(1)若题目明确给出函数图象的对称轴或对称中心,则直接通过整体代换建立关于ω的关系式,然后联立

其他条件消去φ,即可得到ω的值或取值范围.例如:对于函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0),若图象的对称轴为直

线x=a,则ωa+φ=

+kπ(k∈Z);若图象的对称中心为(a,0),则ωa+φ=kπ(k∈Z).(2)若已知函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的图象的多个对称轴或对称中心,则可先利用其间

距与周期的关系求出周期,再结合周期T=

确定ω的值.(3)若仅已知函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的图象在某区间内的对称轴或对称中心的个数,则需先根据x的取值范围确定ωx+φ的取值范围,再结合正弦(余弦)曲线的特征列出关于ω的不等式(组),

进而求得ω的取值范围.

勘破疑难对于正(余)弦型函数,其图象上相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离均为

,相邻的对称轴与对称中心之间的距离为

.2.已知单调性求ω的值或取值范围

3.已知最值情况求ω的值或取值范围(1)若题目明确给出函数在某点处取得最值,则利用最值与函数图象的对称轴之间的关系列式求解即

可.(2)若已知函数有多个最值,则可利用最值点的横坐标之差与周期的关系求出周期,再结合周期T=

确定ω的值.(3)若已知函数在某区间内最值点的个数,则需先根据x的取值范围确定ωx+φ的取值范围,再结合三角函

数图象的特征列出关于ω的不等式(组),进而求得ω的取值范围.勘破疑难相邻的两个最大(小)值点的横坐标之差的绝对值为T,相邻的最大值点与最小值点的横坐标

之差的绝对值为

.4.已知零点情况求ω的值或取值范围形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ)的函数,其零点就是函数图象对称中心的横坐标,

因此可直接用1中“已知对称性求ω的值或取值范围”的解题思路和方法进行求解.典例

(1)已知函数f(x)=3sin

,ω>0,若f(x)≤f(2π)对任意x∈R恒成立,且f(x)的图象在

上有3条对称轴,则ω=

()A.

B.

C.

D.

或

(2)已知函数f(x)=2cos

(ω>0)在(0,π)上有且仅有2个最小值点,且在

上单调递增,则ω的取值范围为

()A.

B.

C.

D.

D

B

解析

(1)由题知,当x=2π时,f(x)取得最大值,即f(2π)=3sin

=3,所以2ωπ+

=

+2kπ,k∈Z,得ω=

+k,k∈Z.因为f(x)的图象在

上有3条对称轴,所以T≤2π-

=

<

,所以

<T≤

,所以

≤ω=

<

,所以ω=

.(2)当x∈(0,π)时,ωx+

∈

.因为f(x)在(0,π)上有且仅有2个最小值点,所以结合余弦曲线,得3π<ωπ+

≤5π,解得

<ω≤

①.因为f(x)在

上单调递增,所以

≥

-

=

,所以T≥

,即

≥

,又ω>0,所以0<ω≤6②.当x∈

时,

+

<ωx+

<

+

.因为

<ω≤

,所以

<

+

≤

,

<

+

≤

,所以结合f(x)在

上单调递增得

+

≤2π,解得ω≤

③.联立①②③,得ω的取值范围是

.名师点睛求解ω的值或取值范围的题目,常涉及单调性、最值、对称性、零点等多重性质的综合考

查.解决此类问题的一般思路是:先拆解题干中的条件,结合各性质逐一转化为关于ω