27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第五章 三角函数的性质及其应用

04三角函数的性质及其应用疑难点1.周期函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)

=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中

存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

注意:(1)如果T是函数f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(2)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不

存在最小正周期.(3)今后本书中涉及的周期,如果不加特殊说明,一般都是指函数的最小正周期.2.三角函数的图象与性质函数

y=sinx

y=cosxy=cosx

y=tanx图象

定义域

R

x

x∈R,且x≠

+kπ,k∈Z

值域

[-1,1]

R奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数周期性

最小正周期T=2π

最小正周

期T=π单调性递增区间

(k∈Z)

[2kπ-π,2kπ](k∈Z)

(k∈Z)

递减区间

(k∈Z)

[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)

无对称性对称轴直线x=kπ+

,k∈Z直线x=kπ,k∈Z无

对称中心(kπ,0),k∈Z

,k∈Z

,k∈Z最值最大值x=

+2kπ,k∈Z时,ymax=1x=2kπ,k∈Z时,ymax=1无

最小值x=-

+2kπ,k∈Z时,ymin=-1x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-1

特别提醒

正切函数在每一个区间

(k∈Z)上都单调递增,但在整个定义域上不具有单调性.1.三角函数的周期性(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.(2)公式法:形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的函数,T=

;形如y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的函数,T=

.特别地,对于函数y=|Asin(ωx+φ)|或y=|Acos(ωx+φ)|(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0),T=

;对于函数y=|Atan(ωx+φ)|(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0),T=

.(3)图象法:可画出函数的图象,借助图象判断函数的周期.求含绝对值的函数的周期时一般采用此法.勘破疑难

1.利用公式法求周期时,千万不要忽略绝对值符号.2.求由三角函数的代数和组成的三角函数式的周期时,可以先找出各个加函数的最小正周期,再求所有

最小正周期的最小公倍数,则此最小公倍数即待求函数的周期.注意:三角函数的差不能用此方法.2.三角函数的奇偶性(1)判断与正、余弦函数有关的函数的奇偶性时,先判断其定义域是否关于原点对称,再验证f(-x)是否等

于-f(x)或f(x).(2)函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的奇偶性:函数奇函数偶函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)φ=kπ(k∈Z)φ=kπ+

(k∈Z)y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)φ=kπ+

(k∈Z)φ=kπ(k∈Z)y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)φ=

(k∈Z)—深度剖析若函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)是偶函数,则需化成y=±Acosωx的形式,此时三角函数名称发生

变化,所以φ的值为

的奇数倍,即φ=kπ+

(k∈Z).函数求对称轴方程求对称中心的横坐标y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)令ωx+φ=

+kπ(k∈Z)令ωx+φ=kπ(k∈Z)y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)令ωx+φ=kπ(k∈Z)令ωx+φ=

+kπ(k∈Z)y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)无令ωx+φ=

(k∈Z)3.三角函数图象的对称性对于函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的图象的对称性问题,解题时一般将ω

x+φ看成一个整体,结合函数y=sinx,y=cosx,y=tanx图象的对称轴方程或对称中心的横坐标求解.4.三角函数的单调性求函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的单调区间时,一般将ωx+φ看成一个整

体,代入函数y=sinx,y=cosx,y=tanx相应的单调区间所对应的不等式求解即可.函数单调递增区间单调递减区间y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)令-

+2kπ≤ωx+φ≤

+2kπ(k∈Z)令

+2kπ≤ωx+φ≤

+2kπ(k∈Z)y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)令-π+2kπ≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z)令2kπ≤ωx+φ≤π+2kπ(k∈Z)y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)令-

+kπ<ωx+φ<

+kπ(k∈Z)无

注意:(1)当ω<0时,一般先利用诱导公式将x的系数化为正数,再求函数的单调区间,也可根据复合函

数“同增异减”的规律进行求解,如求y=sin(ωx+φ)(ω<0)的单调递增区间,令

+2kπ≤ωx+φ≤

+2kπ(k∈Z);(2)当A<0时,单调性与A>0时相反.5.与三角函数有关的函数的值域(最值)(1)形如y=asinx(或y=acosx)的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性求其值域(最值),要注意对a的

正负的讨论.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的函数,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后由对应的三

角函数图象求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).(3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sinx,转化为二次函数y=at2+bt+c求值域(最

值).注意t的范围需要根据定义域来确定.(4)形如y=

(ac≠0)的函数,可以用分离常量法化为只有分母含sinx(或cosx)的形式,结合有界性求出分母的范围再求值域;也可以利用正弦函数(或余弦函数)的有界性建立关于y的不

等式反解出y.(5)同时含sinx+cosx(或sinx-cosx)与sinxcosx的函数,利用换元法,设t=sinx+cosx(或t=sinx-cosx),然后

利用同角三角函数的基本关系将已知函数化为关于t的二次函数求值域(最值).注意t的取值范围.典例

(1)已知函数f(x)=2cos2x+2cosx-1,x∈

在x=θ处取得最小值,则sinθ+

sin

=()A.

B.1

C.3

D.2

(2)已知函数f(x)=cos

(ω>0)的最小正周期为

,若g(x)=f(x-φ)(φ>0)满足g(-x)+g(x)=0,则φ的最小值为

()A.

B.

C.

D.

C

A(3)(多选题)已知函数f(x)=cos

,g(x)=tan

,则下列说法正确的是

(

)A.f(x)与g(x)的最小正周期相同B.f(x)与g(x)在

上的单调性相同

AD

C.f(x)与g(x)的零点相同D.f(x)与g(x)的图象的对称中心相同解析

(1)f(x)=2cos2x+2cosx-1=2

-

.当x∈

时,cosx∈

,所以当cosx=-

,即x=

时,函数f(x)取得最小值,为-

,所以θ=

,因此sinθ=

,cosθ=-

,所以sinθ+

sin

=sinθ-

cosθ=

-

×

=

.(2)因为函数f(x)的最小正周期为

,ω>0,所以

=

,解得ω=4,所以f(x)=cos

,所以g(x)=f(x-φ)=cos

=cos

.因为g(-x)+g(x)=0,所以g(x)为奇函数,所以

-4φ=

+kπ(k∈Z),解得φ=-

-

(k∈Z),又φ>0,故当k=-1时,φ取得最小值,为

.(3)由已知得函数f(x)的最小正周期为

=π;函数g(x)的最小正周期为

=π,故A正确.当x∈

时,2x-

∈

,所以函数f(x)在区间

上单调递减;当x∈

时,x+

∈

,所以函数g(x)在区间

上单调递增,故B错误.令f(x)=cos

=0,得2x-

=

+kπ,k∈Z,得x=

+

,k∈Z;令g(x)=tan

=0,得x+

=kπ,k∈Z,得x=-

+kπ,k∈Z,所以两个函数的零点不同,故C错误.由C中分析可得f(x)图象的对称中心为

,k∈Z;对于函数g(x),令x+

=

,k∈Z,得x=-

+

,k∈Z,所以g(x)图象的对称中心为

,k∈Z,令k=t+1,t∈Z,则g(x)图象的对称中心为

,t∈Z,