27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　指数幂的化简与求值

01指数幂的化简与求值方法技巧1.根式的性质(n∈N*,且n>1)(1)0的任何次方根都是0,记作

=0.(2)(

)n=a.(3)

=

2.分数指数幂

=

,

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.实数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R);(4)拓展:

=ar-s(a>0,r,s∈R).知识辨析

是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶决定,当n>1且n为奇数时,a∈R;当n>1且n为偶数时,a≥0,但结果恒等于a.

是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,a∈R,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制,不一定等于a.运算口诀

同底乘加除减,幂方指数相乘.积商分别乘方,负指倒转正算.零指为1(底非0),根幂互化.无理指数,逼近计算.1.根式与指数幂的运算(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号时,先进行指数的乘方、开方运算,再进行乘除运算,最后进行

加减运算,底数是负数的先确定符号,再整体按照单项式乘除的方法进行运算.(2)运算基本原则:①负指数幂化为正指数幂的倒数,即

=

;②根式化为分数指数幂的形式,即

=

;③小数指数幂化为分数指数幂,如a0.5=

;④底数是小数的,要先化成分数,底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于

利用指数幂的运算性质.

注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数.2.指数幂的条件求值问题指数幂的条件求值问题即给出一个或几个代数式的值,求指定代数式的值,解决此类问题一般用整体代

换法,即分析已知代数式和待求代数式的结构特点,运用恒等变形(如幂的乘方、积的乘方、同底数幂

的乘除等)将已知代数式或待求代数式进行变换,变出一些相同的整体,从而将复杂的求值问题转化为

简单的整体代换计算.勘破疑难1.根式与分数指数幂的互化:底数还是底数,根指数

分数指数的分母,被开方数(式)的指数

分数指数的分子.2.把

化成分数指数幂的形式时,不要轻易对

进行约分,否则会因改变a的取值范围而致错,如

,a∈R,化成分数指数幂应为

,a∈R,而

中a的取值范围为a≥0.名师点拨条件求值问题中的常用公式:(1)a2±2ab+b2=(a±b)2;(2)(a+b)(a-b)=a2-b2;(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).典例1

(1)已知2m=4n=3,则43n-m=___________.(2)已知x>0,

-

=

,则

=___________.(3)已知x+y=12,xy=9,则

=____________.

±

3

思路点拨

(1)倒推:观察所求43n-m

结果.(2)已知式平方

x+x-1的值

+

的值

(

+

)(

-

)

x-x-1的值

代入得结果.(3)所求式分母有理化

得到含x+y,xy,x-y的代数式

由(x-y)2=(x+y)2-4xy求x-y

结果.解析

(1)43n-m=

=

=

=3.(2)对

-

=

的两边平方,得x-2+x-1=3,所以x+x-1=5.易知

>0,

>0,所以

+

>0,所以

+

=

=

=

.结合平方差公式易得x-x-1=(

+

)(

-

)=

×

=

,所以

=

=

.(3)

=

=

.因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,所以x-y=±6

,所以

=

=±

.解后反思

(1)在进行根式的计算时要注意当n为偶数时,a(a>0)的n次方根有两个值±

,在解题时很容易遗漏负数的情况,如本题(3)中(x-y)2=108,开方后很容易遗漏-6

.(2)在用整体代换法求分数指数幂相关代数式的值时,常用的公式有:①a±2

+b=(

±

)2;②(

+

)(

-

)=a-b;③

+

=(

+

)(a-

+b);④

-

=(

-

)(a+

+b).熟记这些公式有助于找到解题思路.典例2计算:(1)(a-π

)(-4ab-1)÷[12

](其中a,b>0);(2)

+(0.002

-10×(

-2)-1+(

-

)0;(3)

÷

·

(a>0).解析

(1)原式=

=-

a4-πb-1.(2)原式=(-1

×

+

-

+1=

+(500

-10×(

+2)+1=

+10

-10

-20+1=-

.(3)原式=

÷

·

=

÷

·

=

·

·