27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　判断或证明函数的单调性

05判断或证明函数的单调性重难点1.函数的单调性

单调递增单调递减定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时

都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)

在区间I上单调递增都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)

在区间I上单调递减图象描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区

间I叫做y=f(x)的单调区间.注意:(1)函数有两个或两个以上的单调递增(减)区间时,单调递增(减)区间之间用“,”或“和”连接,不

用“∪”“或”“且”连接.(2)函数在区间端点处无意义时要写成开区间,有意义时开闭均可.特别提醒

1.已知f(x)的定义域内存在两个自变量x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),不能判定f(x)单调递增,x1,x2必须是同一

区间上的任意变量.2.函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增时,在区间(1,3)上不一定单调递增.知识拓展

单调性定义的等价形式∀x1,x2∈[a,b],x1≠x2:(1)

>(<)0⇔f(x)在[a,b]上单调递增(减);(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>(<)0⇔f(x)在[a,b]上单调递增(减).1.判断或证明具体函数的单调性(1)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断.(2)定义法:

(3)性质法:①仅与f(x)有关的单调性:函数条件与f(x)的单调性的异同f(x)+C(C为非零常数)

相同af(x)a>0相同

a<0相反

a>0,f(x)恒正或恒负相反

a<0,f(x)恒正或恒负相同

f(x)≥0相同②f(x)±g(x)的单调性:在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减,“增-增,减-减,增+减”的单调性不能直接确

定,要根据具体函数分析判断.③f(x)·g(x)的单调性:当f(x),g(x)在公共定义域内都单调递增(减)时,若两者都恒大于零,则f(x)·g(x)单调递增(减);若两者都恒小

于零,则f(x)·g(x)单调递减(增).④由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成的函数y=f(g(x))的单调性的判断方法如表:

简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异时单调递减.注意函数的定义域.2.判断或证明抽象函数的单调性一般在定义域内任取x1,x2(x1<x2),通过赋值,利用已知条件求f(x1)-f(x2)(与0比较大小)或

(与1比较大小),进而判断f(x1)与f(x2)的大小关系,从而确定函数的单调性.常见的抽象函数的赋值规律如下:(1)形如f(x+y)=f(x)+f(y)的抽象函数,通常令x=x1,y=x2-x1,则将f(x+y)=f(x)+f(y)转化为f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).(2)形如f(x+y)=f(x)f(y)的抽象函数,通常令x=x1,y=x2-x1,则将f(x+y)=f(x)f(y)转化为

=f(x2-x1).(3)形如f(xy)=f(x)+f(y)的抽象函数,通常令x=x1,y=

,则将f(xy)=f(x)+f(y)转化为f(x2)-f(x1)=f

.(4)形如f(xy)=f(x)f(y)的抽象函数,通常令x=x1,y=

,则将f(xy)=f(x)f(y)转化为

=f

.名师点津1.判断函数的单调性时可根据具体情况灵活选用图象法、定义法、性质法,但证明函数的单调性时,必

须使用定义法,不能仅依赖图象观察或性质推断.2.判断复合函数的单调性时,一般要先求函数的定义域,再把所求函数正确地分解为两个简单的初等函

数,并分别判断它们的单调性,进而判断复合函数的单调性.3.对于分段函数,每段函数在相应区间上单调递增(减),且左边函数图象的最高(低)点不高于(不低于)右

边函数图象的最低(高)点,函数才在定义域上单调递增(减).勘破疑难1.对于f(x+y)=f(x)+f(y),赋值后,一般能根据题中条件直接判断出f(x2-x1)与0的大小,即判断出f(x2)-f(x1)与0

的大小,进而判断出f(x1)与f(x2)的大小.2.对于f(x+y)=f(x)f(y),赋值后,一般能根据题中条件直接判断出f(x2-x1)与1的大小,即判断出

与1的大小,进而判断出f(x1)与f(x2)的大小.3.对于f(xy)=f(x)+f(y),赋值后,一般能根据题中条件直接判断出f

与0的大小,即判断出f(x2)-f(x1)与0的大小,进而判断出f(x1)与f(x2)的大小.4.对于f(xy)=f(x)f(y),赋值后,一般能根据题中条件直接判断出f

与1的大小,即判断出

与1的大小,进而判断出f(x1)与f(x2)的大小.典例

(1)已知函数f(x)=

,判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对于任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)+1,当0<x<1时,f(x)>-1,判

断函数f(x)的单调性,并给出证明.解析

(1)f(x)=

在(1,+∞)上单调递减.证明:∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=

-

=

,因为x1,x2∈(1,+∞),所以

-1>0,

-1>0,x1+x2>0.又x1<x2,所以x2-x1>0,故

>0,即f(x1)>f(x2).因此,f(x)=

在(1,+∞)上单调递减.(2)f(x)在(0,+∞)上单调递减.证明:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,令y=

,x=x2,则f(xy)-f(x)=f(y)+1转