27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版练习册第五章　单元整合练5　三角函数图象与性质的应用

专题专项练单元整合练5三角函数图象与性质的应用1.[2026山东济南名校联考]把函数f(x)=sinx的图象向左平移

个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的

(ω>0),纵坐标不变,得到g(x)的图象,若函数g(x)在

上没有零点,则实数ω的取值范围可以是

()A.

B.

C.

D.

B

解析把函数f(x)=sinx的图象向左平移

个单位长度,得到y=sin

的图象,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的

(ω>0),纵坐标不变,得到g(x)=sin

的图象,由x∈

,ω>0得ωx+

∈

.因为函数g(x)在

上没有零点,所以

k∈Z或

k∈Z,解得4k-

≤ω≤

+

,k∈Z或4k+

≤ω≤

+

,k∈Z.又ω>0,所以当k=0时,0<ω≤

或

≤ω≤

.分析选项知B正确.2.[多选题][2026江苏南通通州实验中学月考]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)

的部分图象如图所示,则

()A.f(x)的最小正周期为πB.当x∈

时,f(x)的值域为

C.将函数f(x)的图象向右平移

个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象

ACD

D.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的函数图象关于点

对称解析由题图可知A=1,函数f(x)的最小正周期T=4×

=π,因此A正确.由T=π,ω>0知ω=

=

=2,由题图知

是“五点作图”中的第二个点,所以2×

+φ=

,解得φ=

,所以f(x)=sin

.当x∈

时,2x+

∈

,所以sin

∈

,即f(x)的值域为

,因此B错误.

小题速解:由-

<

<

,结合题图可知f(x)max=1,因此B错误

将函数f(x)的图象向右平移

个单位长度,得到g(x)=sin

=sin2x的图象,因此C正确.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin

的图象,因为当x=

时,y=sin

=sinπ=0,所以该函数图象关于点

对称,因此D正确.3.[2026江苏百校联考]将函数f(x)=4cos

ωx+

(0<ω<4)的图象向右平移π个单位长度后,所得图象与原来的图象重合,当x1,x2∈

时,f(x1)+f(x2)=0,则f(x1+x2)=

()A.2

B.2

C.-2

D.-2

D

解析由函数f(x)=4cos

的图象向右平移π个单位长度后,所得图象与原来的图象重合,可知π是函数f(x)的一个周期,所以k·

=π,k∈Z,化简可得ω=2k,k∈Z,由0<ω<4,得ω=2,所以f(x)=4cos

,令2x+

=

+kπ,k∈Z,解得x=

+

π,k∈Z,所以函数f(x)的图象的对称中心为

,k∈Z,令-

<

+

π<

,k∈Z,得-

<k<

,k∈Z,则k=0,因此函数f(x)的图象在

上的对称中心为

,由-

<x<

,得0<2x+

<π,则函数f(x)在

上单调递减,由x1,x2∈

,且f(x1)+f(x2)=0,得

=

(点拨:条件f(x1)+f(x2)=0可化为f(x1)=-f(x2),结合函数的单调性可得出点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))关于对称中心对称),即x1+x2=

,所以f(x1+x2)=f

=4cos

2×

+

=-2.4.[多选题][2026山东泰安期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)

A>0,ω>0,|φ|<

的部分图象如图所示,则下列说法正确的是

()A.ω=

B.f(x)的图象关于直线x=

对称C.f(x)在区间[-π,π]上有且只有2个零点

BCD

D.若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2),则

=π解析根据题中图象可知A=2,又图象过点(0,

),所以f(0)=2sinφ=

,即sinφ=

,又|φ|<

,所以φ=

.由题图知f(x)的图象关于直线x=

=

对称,故B正确;由题图可知最小正周期T=

∈

,可得

<ω<

,又f

=2sin

=

,所以sin

=

,结合图象可得

+

=

+2kπ,k∈Z,解得ω=

+

k,k∈Z,由

<

+

k<

,k∈Z,得

<k<

,k∈Z,故k=1,此时ω=

+

=

=

,故A错误;由以上分析得f(x)=2sin

,令f(x)=0,可得

x+

=k0π,k0∈Z,即x=-

+

k0π,k0∈Z,由x∈[-π,π],可得-

+

k0π∈[-π,π],k0∈Z,故k0=0,1,此时x=-

,π,即f(x)在区间[-π,π]上有且只有2个零点,故C正确;若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2),则不妨取

x1+

=-

+2k1π,

x2+

=-

+2k2π,k1,k2∈Z,因此|x1-x2|=|π+3(k1-k2)π|,k1,k2∈Z,显然当k1-k2=0时,

=π,故D正确.考场速决对于A,根据题图,取满足y=sinx=

的x为

和

,按照同比例可列式

=

,解得T=3π,所以ω=

.5.[多选题][2026浙江Z20名校联盟开学考试]若函数f(cosx)=1-cosnx,n∈Z,则下列说法正确的是

()A.若n=1,则f(sinx)=1-sinxB.若n=1,则∀x∈R,f(cosx)≥0恒成立C.若n=1,则f(sinx)=

有8个不同的实数根D.若f(sinx)=f(cosx),则n=4k,k∈ZABD

解析对于A,当n=1时,f(cosx)=1-cosnx=1-cosx,令t=cosx,则f(t)=1-t,t∈[-1,1],所以f(sinx)=1-sinx,故A

正确;对于B,当n=1时,f(cosx)=1-cosx,因为∀x∈R,cosx∈[-1,1],所以f(cosx)=1-cosx≥0,故B正确;对于C,当n=1时,由f(sinx)=

得1-sinx=

,画出y=1-sinx,y=

的图象,如图所示:

由图可得两函数图象有7个交点,故方程f(sinx)=

有7个不同的实数根,故C错误;对于D,因为sinx=cos

,所以f(sinx)=f

=1-cos

n

-x

=1-cos

,又f(cosx)=1-cosnx,f(sinx)=f(cosx),所以cos

=cosnx,所以

=kπ(k∈Z),所以n=4k,k∈Z,故D正确.6.[2026河北部分重点中学月考]将函数f(x)=tan

ωx+

(ω>0)的图象向左平移

个单位长度后,所得函数的图象与曲线y=tan

重合,则ω的最小值为_________.解析将f(x)=tan

的图象向左平移

个单位长度后,得到y=tan

ω

x+

+

=tan

的图象,因为该图象与函数y=tan

的图象重合,所以

+

=kπ+

,k∈Z,解得ω=6k-

,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为

.7.[2026广东广州外国语学校期末]如图,要在一块半径为6,圆心角为45°的扇形铁皮POQ中截取两块矩

形铁皮ABCD和EFGC,使点A在弧PQ上,点B在半径OQ上,点G,C,D在半径OP上,点F为线段OB的中点.设

∠AOP=α,两块矩形铁皮的面积之和为S,则S的最大值为_________,此时tanα=_________.

9

解析由题意知0<α<

,且AD=6sinα,OD=6cosα,在Rt△BCO中,∠BOC=

,所以OC=BC=AD=6sinα,因此CD=6cosα-6sinα,则矩形ABCD的面积为AD·CD=36sinα·(cosα-sinα).因为F为OB的中点,所以EF=FG=

BC=3sinα,因此矩形EFGC的面积为EF·FG=9sin2α.故S=36sinα(cosα-sinα)+9sin2α=36sinαcosα-27sin2α=18sin2α+

cos2α-

=

sin(2α+θ)-

,其中0<α<

,且cosθ=

,sinθ=

,0<θ<

,所以当sin(2α+θ)=1时,S取得最大值,为9,此时2α+θ=

,即2α=

-θ,所以tan2α=tan

=

=

=

,又tan2α=

,所以

=

,即2tan2α+3tanα-2=0,解得tanα=

或tanα=-2(舍去).故当tanα=

时,S取得最大值9.8.[2026黑龙江大庆开学考试]已知函数f(x)=

cos42x+2sinxcos3x-2sin3xcosx-

sin42x+m在区间

上的最大值为2.(1)求实数m的值;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移

个单位长度,得到y=g(x)的图象.若对任意x1,x2∈[0,t],当x1<x2时,都有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2)成立,求实数t的最大值.解析

(1)f(x)=

cos42x+2sinxcos3x-2sin3xcosx-

sin42x+m=

(cos22x+sin22x)(cos22x-sin22x)+2sinxcosx·(cos2x-sin2x)+m=

(cos22x-sin22x)+sin2xcos2x+m=

cos4x+

sin4x+m=

sin

+m,当x∈

时,4x+

∈

-

,

,所以当4x+

=

,即x=0时,f(x)有最大值,为

×

+m=

+m=2,得m=

.(2)由(1)得f(x)=

sin

+

,故g(x)=f

=

sin

4

x+

+

+

=

cos

+

.对任意x1,x2∈[0,t],当x1<x2时,都有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2),即f(x1)-g(x1)<f(x2)-g(x2)(通过变形使x1,x2在同一侧,构造相同结构),记h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=

·sin

4x+

-

cos

4x+

=sin4x,且h(x1)<h(x2),所以h(x)在[0,t]上单调递增.令2kπ-

≤4x≤2kπ+

,k∈Z,得

-

≤x≤

+

,k∈Z,故h(x)的单调递增区间为

,k∈Z,所以[0,t]⊆

,k∈Z,当且仅当k=0时满足条件,所以0<t≤

,所以实数t的最大值为

.9.[2026湖北武汉十一中月考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-1(ω>0,0<φ<π)的图象的两条相邻对称轴之间的距

离是

,且图象过点

.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对任意x∈

,[f(x)]2-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,求实数m的取值范围;(3)若函数h(x)=2f(x)+3的图象在区间[a,b](a,b∈R且a<b)上至少含有30个零点,在所有满足条件的区间

[a,b]上,求b-a的最小值.解析

(1)由已知得

=2×

,得ω=2,则f(x)=sin(2x+φ)-1,又f(x)的图象过点

,所以f

=sin

-1=-1,则sin

=0,得

+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-

,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=

,故f(x)=sin

-1.(2)[f(x)]2-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,即[f(x)]2-2f(x)+2≤[f(x)-1]m恒成立,因为x∈

,所以2x+

∈

,sin

∈[