小学五年级数学《循环小数：探寻数字的无限韵律》教学设计

小学五年级数学《循环小数：探寻数字的无限韵律》教学设计

  一、设计理念与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，深刻践行“促进学生深度学习和核心素养发展”的课程改革理念。设计跳出传统知识传授的窠臼，将“循环小数”这一知识点置于“数的认识”大单元乃至整个“数与运算”主题的宏观脉络中进行审视。我们认识到，循环小数的出现，是学生对“数”的概念认知的一次重要飞跃，它标志着从“有限”精确世界迈向“无限”逼近世界的思维跨越，是渗透极限思想、培养抽象能力、发展推理意识的绝佳载体。

  设计秉持“以学生为中心”的建构主义学习观，将学习过程设计为学生主动探索、合作交流、意义建构的旅程。通过创设富有挑战性且贴近真实的问题情境，引导学生亲历“产生疑问—操作计算—观察比较—发现规律—抽象概括—符号表达—拓展应用”的完整数学化过程。在此过程中，我们注重跨学科视野的融入，将数学的严谨与音乐、自然、文学中的“循环”、“周期”现象进行类比联结，帮助学生建立知识网络，感悟数学的广泛应用与文化价值，从而实现数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的协同发展。

  二、学情分析

  教学对象是小学五年级学生。在知识储备上，他们已经系统掌握了整数、小数的意义、小数的四则运算（包括除法），并且在小数除法的学习中，初步接触过“除不尽”的情况，对计算过程中数字重复出现的现象有模糊的感性认识，但尚未形成明确的概念。在认知心理层面，五年级学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，具备一定的观察、比较、归纳和概括能力，但对于“无限”这一抽象概念的理解存在困难，往往受限于“有限”的经验。在情感态度方面，他们对有规律、重复出现的现象普遍抱有好奇心，乐于探究隐藏的模式，但同时也可能因计算过程的冗长和结果的“不确定”而产生畏难或困惑情绪。

  因此，教学的起点应建立在学生已有的“除不尽”经验之上，通过精心设计的计算任务和引导性问题，将他们的模糊感知显性化、条理化，并借助直观模型（如竖式计算过程、循环节标记）和生动类比，架起通向“无限循环”抽象概念的桥梁，化解认知冲突，激发探究兴趣。

  三、教学目标

  1.知识与技能目标：

  （1）通过实际计算，理解循环小数产生的原因，并能正确判断什么样的小数是循环小数。

  （2）掌握循环小数的简便记法，能准确读写循环小数，理解循环节的含义。

  （3）能正确区分有限小数、无限小数和循环小数，理解它们之间的包含关系。

  （4）初步会根据需要，用“四舍五入”法对循环小数取近似值。

  2.过程与方法目标：

  （1）经历观察、计算、比较、归纳、概括等数学活动，自主发现并抽象出循环小数的特征，发展抽象概括能力和初步的归纳推理能力。

  （2）在尝试用简洁符号表示循环小数的过程中，体会数学符号的优越性，发展符号意识。

  （3）通过小组合作探究与交流，学会清晰表达自己的思考过程和发现，提升数学交流能力。

  3.情感、态度与价值观目标：

  （1）在探究循环小数的过程中，感受数学的奇妙与严谨，体验发现规律的乐趣，增强学习数学的自信心。

  （2）通过了解循环小数在现实生活和跨学科领域中的体现，体会数学与生活的密切联系，感悟数学的广泛应用价值和文化内涵。

  （3）在克服对“无限”概念的认知困难中，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。

  四、教学重难点

  教学重点：理解循环小数的意义，掌握循环小数的特征和简便记法。

  教学难点：理解“循环”与“无限”的抽象含义；厘清循环小数与无限小数、有限小数之间的逻辑关系。

  五、教学准备

  教师准备：多媒体课件（内含情境动画、计算器模拟演示、动态数轴、跨学科关联素材等）；课堂探究任务单（分组活动用）；实物投影仪；板书设计框架。

  学生准备：练习本、笔、直尺；预习小数除法的相关内容。

  六、教学实施过程

  （一）情境激疑，孕伏概念（预计用时：8分钟）

  1.故事化情境导入：

  师：（播放一段简短动画，或讲述故事）同学们，数学王国里住着一位勤奋的“除法师”。今天，他接到了两项特殊的任务。任务一：把一块精致的2米长绸带，平均分给3位好朋友做发饰，每人分得多少米？任务二：将一大桶7升的甘甜泉水，平均分给4个口渴的旅行者，每人能分到多少升？大家能帮“除法师”列式解决吗？

  生：任务一列式为2÷3，任务二列式为7÷4。

  师：很好！请大家担任“小小计算师”，在练习本上列竖式计算这两道题，看谁能又快又准地给出答案。

  2.计算对比，引发认知冲突：

  学生独立计算。教师巡视，选取具有代表性的竖式计算过程（一个除尽，一个除不尽）通过实物投影展示。

  生1展示7÷4=1.75（除尽）。

  生2展示2÷3=0.666…（在竖式中发现余数重复出现“2”，商的小数部分不断出现“6”）。

  师：同学们，对比这两次计算，你们发现了什么奇特的现象吗？

  生：第一题除完了，得到的是一个位数确定的小数。第二题好像永远也除不完，而且商的小数部分“6”一直在重复出现。

  师：你的观察非常敏锐！像2÷3这样，在除法计算中，有时会遇到“除不尽”，并且商的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的奇妙现象。今天，我们就一起来深入探究这种有着特殊规律的小数。（板书课题核心词：循环小数）

  设计意图：通过富有童趣的情境和对比鲜明的计算任务，迅速激活学生关于小数除法的已有经验。在“除得尽”与“除不尽”的强烈对比中，自然聚焦到“数字依次不断重复出现”这一核心现象，引发学生的认知冲突和探究欲望，为新课学习做好心理和认知上的铺垫。

  （二）操作探究，建构意义（预计用时：22分钟）

  1.探究活动一：发现循环现象，归纳初步特征

  师：刚才2÷3的计算中，我们看到了“6”的不断重复。这是一种偶然，还是隐藏着某种必然规律呢？让我们进行一组更系统的探究。

  任务一：分组计算以下各题，观察竖式计算过程，并将商的得数写在任务单上。（课件出示）

  （1）5÷6=? （2）70.7÷33=? （3）10÷9=? （4）400÷75=?

  学生以四人小组为单位进行计算、观察和记录。教师深入小组指导，重点关注学生在计算过程中对余数和商的变化观察。

  小组汇报，教师汇总结果并引导学生观察：

  （1）5÷6=0.8333…（从第二位起“3”不断重复）

  （2）70.7÷33=2.14242424…（从第二位起“42”这两个数字依次不断重复）

  （3）10÷9=1.111…（从小数第一位起“1”不断重复）

  （4）400÷75=5.333…（从小数第一位起“3”不断重复）

  师：请同学们横向比较这些除法算式和它们的商，你们能发现哪些共同特征？先独立思考，再小组讨论。

  生1：这些除法都除不尽。

  生2：商的小数部分，都有数字在不停地重复出现。

  生3：有的是一个数字重复，比如0.666…，1.111…；有的是几个数字一起重复，比如2.142424…中的“42”。

  师：同学们总结得非常到位！在数学上，我们把“一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现”这样的小数，叫作“循环小数”。（呈现完整定义，请学生齐读并圈画关键词：“小数部分”、“某一位起”、“依次不断重复”）

  2.探究活动二：认识循环节，学习简便记法

  师：像0.666…、2.142424…这样写下去，写得完吗？

  生：写不完，因为它们是无限的。

  师：是的，循环小数的位数是无限的。但数学追求简洁美，我们能不能创造一种简便的方法来表示这种“写不完”但又“有规律”的小数呢？请大家观察这几个循环小数重复出现的部分。

  生：0.666…重复的是“6”；1.111…重复的是“1”；2.142424…重复的是“42”；0.8333…重复的是“3”。

  师：在循环小数中，依次不断重复出现的数字，我们给它起一个专门的名字，叫作这个循环小数的“循环节”。（板书：循环节）例如，0.666…的循环节是“6”；2.142424…的循环节是“42”。

  师：为了书写简便，我们只写出循环小数的第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各点一个实心圆点。如果循环节只有一个数字，就只在这个数字上点一个点。这种记法叫作循环小数的简便记法。

  教师示范：0.666…写作0.6（在6上点一个点），读作：零点六，六循环。2.142424…写作2.142（在1和2上各点一个点，也可简写为在第一个4和2上点），读作：二点一四二，四二循环。0.8333…写作0.83（在3上点一个点），读作：零点八三，三循环。

  任务二：请你用简便记法表示刚才计算出的所有循环小数，并大声读出它们。

  学生练习，教师巡视纠正。重点辨析：10÷9=1.111…记作1.1（点在哪）；70.7÷33=2.142424…明确循环节是“42”，简便记法为2.142（点在4和2上）。

  设计意图：本环节是概念建构的核心。通过分组计算多组算式，从个例到普遍，引导学生自主发现、归纳循环小数的核心特征，完成概念的抽象概括。进而，针对“无限”书写的不便，自然引出“循环节”和“简便记法”的学习，让学生经历数学符号的创造与优化过程，深刻体会数学的简洁与高效。小组合作与自主探究相结合，确保学生深度参与知识形成过程。

  （三）辨析明理，深化理解（预计用时：12分钟）

  1.概念辨析：有限小数、无限小数与循环小数

  师：我们认识了循环小数。请大家回想一下，以前我们还学过什么样的小数？

  生：学过像1.75、0.5这样位数有限的小数。

  师：对，小数部分的位数是有限的小数，叫作有限小数。那么，循环小数的位数是有限的吗？

  生：不是，是无限的。

  师：所以，循环小数属于无限小数。但，是不是所有的无限小数都是循环小数呢？我们来看一个著名的例子：圆周率π，它是一个无限不循环小数。（课件展示π的前几十位，并说明其不循环的特性）

  师：现在，我们能厘清这三者的关系了吗？请大家试着在练习本上画一个关系图来表示有限小数、无限小数、循环小数以及无限不循环小数之间的关系。

  学生尝试绘制韦恩图或分类树状图。教师选取典型作品展示，并引导全班共同完善。

  最终明确：小数可以分为有限小数和无限小数。无限小数又包括循环小数和无限不循环小数（如π）。循环小数是无限小数的一种。

  2.巩固练习与判断

  课件出示判断练习：

  （1）0.888是循环小数。（）

  （2）5.171717…的循环节是“17”。（）

  （3）3.1415926…是一个循环小数。（）

  （4）循环小数一定是无限小数。（）

  （5）无限小数一定比有限小数大。（）

  学生独立判断并说明理由。重点辨析第（1）题（有限小数），第（3）题（π是无限不循环小数），第（5）题（举反例，如0.3（三循环）和0.4比较）。

  设计意图：本环节旨在通过对比、辨析和关系梳理，帮助学生突破“循环小数与无限小数关系”这一难点。引入圆周率π作为无限不循环小数的代表，拓宽了学生对数的认识视野。判断练习的设计具有针对性，旨在暴露和纠正学生可能存在的概念误解，深化对概念本质的理解，构建清晰、系统的知识结构。

  （四）拓展应用，联通世界（预计用时：10分钟）

  1.生活中的循环：

  师：循环，不仅仅是数学中的现象。你能在生活中、在其他学科中找到“循环”的影子吗？

  生：一天24小时的循环，一周七天的循环，四季的循环……

  师：（课件展示）音乐中的节奏节拍（如三拍子：强弱弱，强弱弱…），诗歌中的押韵与重复句式，自然中的日出日落、月相盈亏，计算机科学中的循环程序结构……这些都可以看作某种“循环”。而我们数学中的循环小数，就是用高度抽象和精确的数学模型，刻画了这种周而复始的规律。

  2.近似值的应用：

  师：在实际生活中，我们有时不需要循环小数的精确值。比如，刚才2米绸带分给3人，如果我们要用厘米为单位裁剪，每人分得的长度大约是多少厘米？（结果保留两位小数）

  引导学生计算：0.6（六循环）米≈0.67米=67厘米。讲解用“四舍五入”法取循环小数近似值的方法：根据需要多写出几位再进行取舍。

  小任务：计算5÷6，将结果分别保留一位、两位、三位小数。

  3.跨学科小链接（可选，时间允许时）：

  简单介绍分数与循环小数的关系：像1/3=0.3（三循环），5/6=0.83（三循环），一个最简分数，如果分母的质因数只含有2或5，则能化为有限小数；否则，就能化为循环小数。这为后续学习埋下伏笔，体现知识连贯性。

  设计意图：此环节将数学知识还原到广阔的生活与学科背景中，通过寻找“循环”的共通常见现象，打破学科壁垒，帮助学生建立跨学科联系，深刻感悟数学模型的普遍性与应用价值。学习取近似值，则体现了数学的实用性和灵活性，培养了学生的应用意识。

  （五）反思总结，升华认知（预计用时：8分钟）

  1.课堂总结：

  师：通过这节课的探索，你收获了哪些新的知识？你对“数”的认识有了怎样的变化？

  引导学生从知识（循环小数的意义、记法、与有限/无限小数的关系）、方法（观察、比较、归纳、用符号简洁表达）、感受（数学的奇妙、简洁、应用广泛）等多维度进行总结。

  教师提升：今天我们共同揭开了“循环小数”神秘的面纱。它让我们看到，在看似“除不尽”的运算背后，隐藏着一种优美的、无限的、有规律的秩序。从有限的精确到无限的逼近，这是人类认识世界的一次伟大飞跃。希望同学们继续保持这种探究的精神，去发现数学世界中更多的奥秘。

  2.布置分层作业：

  基础巩固题：完成练习册相关习题，重点练习循环小数的表示、读法及简单判断。

  实践探究题：（1）找一找生活中的“循环”现象，并用文字或图画记录下来。（2）用计算器探索：哪些分数可以化为循环小数？试着找出几个，并记录下来。

  思维挑战题：比较0.9（九循环）和1的大小。你能用几种方法说明你的结论？（为学有余力的学生提供深度思考空间，触及极限思想）

  七、板书设计

  （黑板左侧为概念区，中部为探究区，右侧为关系图区）

  课题：循环小数：探寻数字的无限韵律

  一、意义：一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

  关键词：小数部分、某一位起、依次不断重复

  二、循环节与简便记法：

  循环节：依次不断重复出现的数字。

  例：0.666…→循环节“6”→记作0.6（点在6上） 读作：零点六，六循环

     2.142424…→循环节“42”→记作2.142（点在4和2上）读作：二点一四二，四二循环

  三、关系网络：

  （用大括号图示）

           小数

         /      

        有限小数    无限小数

               /   

             循环小数 无限不循环小数（如π）

  四、核心思想：从有限到无限，从精确到逼近，发现秩序与规律。

  八、教学反思与特色说明

  本教学设计力图体现当前小学数学教育的先进理念与最高实践水准，其特色与预期反思点如下：

  1.深刻的学科本质把握与核心素养导向：设计没有将“循环小数”仅仅视为一个孤立的计算知识点，而是将其置于“数的认识”发展的逻辑链条中，视作学生数概念扩展的关键节点。整个教学过程以“理解数的意义”为核心，以“发展抽象能力、推理能力和模型思想”为暗线，引导学生亲历