高中数学 第1章 三角函数 7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质教案 北师大版必修4

高中数学第1章三角函数77.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质教案北师大版必修4学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时教学内容分析1.本节课的主要教学内容：正切函数的定义、图像与性质。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与课本第一章“三角函数”紧密相关，特别是与正弦函数、余弦函数的定义和性质相联系。通过对比学习，学生可以更好地理解正切函数的特点和规律。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过正切函数的定义和性质的学习，学生能够抽象出三角函数的一般规律，提高逻辑推理能力；通过构建正切函数的图像，培养学生的直观想象能力；同时，通过计算和证明，提升数学运算能力和数学建模能力。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了正弦函数和余弦函数的定义、图像和性质，掌握了基本的三角恒等变换和三角函数的周期性。这些知识为学习正切函数奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学普遍存在一定的好奇心和探索欲，尤其是对于三角函数这类具有图形美和规律性的内容。学生的数学能力差异较大，部分学生具有较强的逻辑思维和抽象能力，能够快速理解并应用新知识；而部分学生可能在理解和记忆三角函数性质时遇到困难。学习风格上，有的学生偏好直观学习，通过图形和实例来理解概念；有的学生则更倾向于通过公式和证明来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习正切函数的定义时，学生可能会对坐标轴上的象限划分和角的旋转方向感到困惑；在分析正切函数的图像和性质时，学生可能难以把握函数的增减性和奇偶性，以及在特定象限内的图像特点。此外，学生可能在应用正切函数解决实际问题时，缺乏有效的数学建模和问题解决策略。因此，教师需要通过多样化的教学方法和实例，帮助学生克服这些困难和挑战。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，首先通过讲解正切函数的定义和基本性质，引导学生理解概念；接着，组织学生讨论不同象限内正切函数图像的特点，促进思维活跃。

2.设计角色扮演活动，让学生扮演坐标系中的点，通过旋转角度来体验正切函数的变化，增强直观感受。

3.利用多媒体展示正切函数的图像，对比正弦、余弦函数，帮助学生建立知识间的联系。同时，通过动态演示，揭示正切函数的周期性和奇偶性。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-教师通过提问：“我们已经学习了正弦函数和余弦函数，那么如何定义正切函数呢？”来引起学生的兴趣和思考。

-展示一个直角三角形，提问学生：“如果已知直角三角形的两条直角边长度，我们如何找到斜边与其中一条直角边的比值？”

-引导学生回顾正弦和余弦的定义，提出正切函数的定义：“正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)。”

-通过动画演示直角三角形旋转到坐标系中的过程，让学生直观理解正切函数的定义。

2.新课讲授（用时15分钟）

-详细内容1：讲解正切函数的定义，强调它与正弦函数和余弦函数的关系，以及tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)这一基本公式。

-详细内容2：通过实例分析，展示正切函数在不同象限内的符号，以及正切函数的周期性。

-详细内容3：介绍正切函数的图像，强调图像的渐近线和周期性，并与正弦函数和余弦函数的图像进行比较。

3.实践活动（用时10分钟）

-活动一：学生独立完成正切函数图像的绘制，注意渐近线和周期的绘制。

-活动二：分组讨论，每组选取一个角度，计算并绘制该角度的正切函数图像。

-活动三：展示各组绘制的图像，教师引导学生总结正切函数图像的特点。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-方面一：讨论正切函数在各个象限内的符号，举例回答：“在第二象限，正弦值为正，余弦值为负，因此正切值为负。”

-方面二：讨论正切函数的周期性，举例回答：“正切函数的周期为π，因此在每个周期内，函数值会重复出现。”

-方面三：讨论正切函数在解决实际问题中的应用，举例回答：“在物理学习中，我们可以用正切函数来计算斜坡的倾斜角度。”

5.总结回顾（用时5分钟）

-教师总结本节课的主要内容，强调正切函数的定义、图像和性质。

-回顾本节课的重难点，如正切函数在不同象限内的符号和周期性。

-提问学生：“如何应用正切函数解决实际问题？”鼓励学生分享自己的理解和经验。

-鼓励学生在课后继续练习，通过绘制更多正切函数图像来加深理解。

总用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握方面：

-学生能够准确理解和掌握正切函数的定义，包括其与正弦函数和余弦函数的关系。

-学生能够描述正切函数在各个象限内的符号特征，以及正切函数的周期性。

-学生能够绘制正切函数的图像，并识别图像中的关键特征，如渐近线。

2.技能提升方面：

-学生在解决与正切函数相关的问题时，能够运用三角恒等变换和三角函数的性质。

-学生能够将正切函数应用于实际问题中，如计算直角三角形的未知角度或边长。

-学生在数学建模方面有所提高，能够将实际问题转化为数学模型，并使用正切函数进行求解。

3.思维发展方面：

-学生通过学习正切函数，提高了逻辑推理能力，能够从已知条件推导出未知结论。

-学生在直观想象方面有所进步，能够通过图像直观地理解函数的性质和变化。

-学生在数学抽象能力上得到锻炼，能够从具体的几何图形中抽象出数学概念和性质。

4.学习态度与习惯方面：

-学生对三角函数的学习兴趣得到提升，愿意主动探索和解决问题。

-学生养成了良好的学习习惯，如课前预习、课后复习和及时巩固所学知识。

-学生在团队合作中表现出积极的态度，能够与同伴共同讨论和解决学习中的难题。

5.评价与反思方面：

-学生能够对自己的学习效果进行评价，认识到自己在正切函数学习中的优点和不足。

-学生能够通过反思，找出学习中的问题，并采取相应的措施进行改进。

-学生在评价过程中，学会了如何运用数学知识解决实际问题，提高了评价的实用性和有效性。板书设计①正切函数的定义

-定义：正切函数tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)

-θ的取值范围：θ∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k为整数)

-符号：第一象限（+）、第二象限（-）、第三象限（-）、第四象限（+）

②正切函数的图像与性质

-图像：随着θ的增大，图像在第一和第三象限单调递增，在第二和第四象限单调递减

-周期性：周期T=π

-渐近线：垂直渐近线x=kπ+π/2(k为整数)

-奇偶性：奇函数，即tan(-θ)=-tan(θ)

③正切函数的性质

-正切函数的值域：(-∞,+∞)

-正切函数的单调性：在(2kπ-π/2,2kπ+π/2)内单调递增

-正切函数的连续性：在整个定义域内连续教学反思与改进教学反思是每一位老师成长的重要环节，通过反思我们可以更好地了解自己的教学效果，发现不足，从而不断改进教学方法。在上一节课的教学中，我有以下几点反思和改进计划：

1.对于正切函数的定义，我发现有些学生对于θ的取值范围和符号的理解不够清晰。在未来的教学中，我计划通过更多的实例和图示来帮助学生直观地理解这些概念。比如，可以让学生通过实际操作来体验不同象限内角度的变化，以及对应的正切函数值的符号。

2.在讲解正切函数的图像与性质时，我发现学生对于周期性和渐近线的理解存在困难。为了改进这一点，我打算在课堂上增加互动环节，比如让学生分组讨论周期性的意义，并通过绘制不同周期的正切函数图像来加深理解。同时，我会准备一些具体的例子，让学生看到渐近线在实际问题中的应用。

3.在实践活动环节，我发现部分学生对于如何将实际问题转化为数学模型感到困惑。为了帮助学生更好地应用所学知识，我计划在未来的教学中提供更多实际案例，让学生在解决问题的过程中逐步学会建模。

4.在学生小组讨论环节，我注意到有些学生参与度不高，可能是由于对某些概念的不理解或者缺乏自信。为了提高学生的参与度，我打算在课堂上鼓励更多的提问和回答，并适时给予正面反馈，增强学生的自信心。

5.最后，我意识到自己在课堂上的语言表达有时过于生硬，可能会影响学生的学习兴趣。因此，我计划在未来的教学中更加注重语言表达的生动性和亲和力，尽量用简单易懂的语言来讲解复杂的概念。课堂课堂评价是确保教学效果的重要环节，以下是我对课堂评价的具体实施方法：

1.提问环节：通过课堂提问，我可以即时了解学生对正切函数定义、图像与性质的理解程度。我会设计一些基础性问题，如“正切函数在哪些象限内为正？”以及一些拓展性问题，如“如何通过正切函数求解直角三角形的未知边长？”通过这些问题，我可以观察学生的反应，判断他们对知识的掌握情况。

2.观察学生参与度：在课堂上，我会注意观察学生的参与情况，包括他们是否积极参与讨论、是否能够独立完成练习题等。例如，在绘制正切函数图像的活动中，我会观察学生是否能够准确地画出渐近线和周期性。

3.课堂测试：为了更全面地评估学生的学习效果，我会定期进行小测验。测试内容会涵盖正切函数的定义、图像、性质以及应用等方面。通过测试，我可以了解学生在不同知识点上的掌握程度，并及时调整教学策略。

4.学生反馈：鼓励学生在课后提供反馈，包括他们对课程内容的理解、学习过程中的困难和需要改进的地方。这些反馈对于我调整教学方法和提高教学质量至关重要。

5.作业评价：对于学生的作业，我会进行详细的批改和点评。在批改过程中，我会注意以下几个方面：

-是否正确理解并应用了正切函数的定义和性质。

-作业中的计算是否准确无误。

-学生是否能够将正切函数应用于实际问题中。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《三角函数的实际应用》选自《数学与应用数学》期刊，这篇文章详细介绍了三角函数在建筑、物理、天文等领域的应用实例。

-视频资源：《三角函数的奥秘》科普视频，通过动画和实际案例，生动地展示了三角函数的起源和它在现代科学中的重要性。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间阅读上述材料，了解三角函数