2027山东专升本高数二 闭区间连续函数性质（零点 介值定理）专项习题集（逐题详解）

山东专升本高数二闭区间连续函数性质（零点/介值定理）专项习题集一、专升本必考核心定理（满分背诵版）1.零点定理（根的存在性定理）【高频必考】条件：函数f(x)在闭区间[a,结论：至少存在一点ξ∈(a,b专升本答题模板：判连续→算端点值→证异号→下结论存在零点/方程有根。易错点：区间必须是闭区间连续，零点出现在开区间。2.介值定理条件：函数f(x)在闭区间[a,结论：对任意介于m与M之间的常数C，至少存在一点ξ∈[a,b特殊推论：若f(x)在[a,b]连续，且f(a3.专升本解题固定步骤①构造函数；②判定闭区间连续性；③计算端点函数值；④套用定理下结论。二、基础题型：零点定理判断根的存在性（8题）题型：证明方程在指定区间内至少存在一个实根，专升本解答题基础模板题1证明方程x3+x-1=0详细解题步骤：步骤1：构造辅助函数：令f(步骤2：判定连续性：f(x)为多项式函数，多项式在全体实数域连续，因此在闭区间步骤3：计算区间端点函数值：f(0)=f(1)=步骤4：端点值异号：f(0)⋅步骤5：由零点定理得：至少存在一点ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0，即方程在答案：方程在(0,1)内至少存在一个实根，得证题2证明方程x2-2=0在区间详细解题步骤：步骤1：构造函数：f(步骤2：f(x)为多项式，在步骤3：求端点值：f(1)=1-2=-1<0，f步骤4：f(1)⋅步骤5：存在ξ∈(1,2)，使f(答案：方程在(1,2)内至少存在一个实根，得证题3证明方程x3-4x2+1=0详细解题步骤：步骤1：构造函数f(步骤2：多项式函数，在[0,1]上连续；步骤3：端点求值：f(0)=1>0，f步骤4：f(0)⋅步骤5：存在ξ∈(0,1)，使得f答案：方程在(0,1)内至少存在一个实根，得证题4证明方程sin⁡x-x+1=0详细解题步骤：步骤1：构造函数f(步骤2：sin⁡x、-x+1均为连续函数，故f步骤3：计算端点：f-fπ步骤4：更换区间，取[-π,0]：f(-πf(-2)=步骤5：该方程在-π2答案：该区间内无实根易错总结：端点同号无法用零点定理，不一定无根，本题经判定区间内无零点题5证明方程ex-x-2=0详细解题步骤：步骤1：构造函数f(步骤2：初等函数，在[1,2]上连续；步骤3：端点求值：f(1)=e-步骤4：f(1)⋅步骤5：存在ξ∈(1,2)，使f答案：方程在(1,2)内至少存在一个实根，得证题6证明方程ln⁡x+x-3=0详细解题步骤：步骤1：构造f(步骤2：x∈[2,3]步骤3：f(2)=ln⁡步骤4：端点异号，由零点定理，区间内存在零点。答案：方程在(2,3)内至少存在一个实根，得证题7判定函数f(x)=x3-详细解题步骤：步骤1：f(x)在步骤2：f(0)=1>0，f步骤3：端点异号，满足零点定理；步骤4：区间内至少存在一个零点。答案：(0,1)内存在零点题8证明方程2x-4x=0详细解题步骤：步骤1：构造f(步骤2：指数+一次函数，在0,12步骤3：f(0)=1-0=1>0，f步骤4：端点异号，零点定理得区间内存在实根。答案：方程在(0,12三、进阶题型：唯一根证明（单调性+零点定理）（3题）专升本拔高考点：先证存在、再证单调，证明方程有唯一实根题9证明方程x3+x-1=0详细解题步骤：步骤1：【存在性】由题1可知：函数在[0,1]连续，端点异号，(0,1)内至少存在一个零点；步骤2：【唯一性】求导判断单调性：f'步骤3：对任意x∈R，3x2≥0步骤4：f(x)在步骤5：综上，方程在(0,1)内有唯一实根。答案：区间内存在唯一实根，得证题10证明方程ex=x+2在详细解题步骤：步骤1：构造f(x)=ex-x步骤2：求导：f'步骤3：x∈(1,2)时，ex>步骤4：严格单调函数零点唯一，故方程根唯一。答案：区间内存在唯一实根，得证题11证明ln⁡x=4-2x在详细解题步骤：步骤1：构造f(x)=ln⁡步骤2：端点值：f(1)=0+2-4=-2<0，f步骤3：求导：f'步骤4：零点唯一，方程有唯一实根。答案：区间内存在唯一实根，得证四、介值定理专项题型（4题）考点：证明函数可取到某定值、区间内存在点满足等式题12设f(x)在[0,2]上连续，f(0)=0,f(2)=4详细解题步骤：步骤1：f(x)在闭区间步骤2：f(0)=0,f(2)=4，常数2介于0和步骤3：由介值定理，至少存在一点ξ∈(0,2)，使得f答案：得证题13设f(x)在[1,3]连续，f(1)=1,f(3)=5详细解题步骤：步骤1：函数闭区间连续；步骤2：3介于1与5之间；步骤3：介值定理直接得结论，存在ξ满足等式。答案：得证题14证明：连续函数f(x)=x3在详细解题步骤：步骤1：f(x)=x3步骤2：f(1)=1,f(2)=8步骤3：由介值定理，区间内必存在一点使得函数值为3。答案：得证题15若f(x)在[a,b]连续，详细解题步骤：步骤1：满足介值定理全部条件：闭区间连续，C介于两端点函数值之间；步骤2：根据介值定理，存在ξ∈(a,b)答案：得证五、真题综合易错题（3题）规避专升本高频陷阱，强化定理使用条件题16判断正误：若f(a)f(详细解题步骤：步骤1：零点定理是充分条件而非必要条件；步骤2：反例：f(x)=(x-1)(步骤3：但函数在(0,3)内有x=1、步骤4：结论：命题错误。答案：错误题17判断正误：零点定理的零点出现在闭区间[详细解题步骤：步骤1：定理规定：端点异号时，零点ξ∈(步骤2：端点处函数值不为0，零点不可能在端点；步骤3：命题错误。答案：错误题18判断正误：不连续函数也可以使用零点定理详细解题步骤：步骤1：闭区间连续是零点定理的前提条件，缺一不可；步骤2：函数间断时，定理失效；步骤3：命题错误。答案：错误六、专升本满分答题模板+口诀1.零点定理