2027山东专升本高数二 函数连续性与间断点分类专项练习（逐题详解）

山东专升本高数二函数连续性与间断点分类专项练习一、专升本必考核心知识点1.函数在某点连续的充要条件（必考）函数f(x)在x①f(x0)有定义；②lim左右连续判定：limx2.间断点完整分类（专升本唯一考法）第一类间断点（左右极限均存在）✅可去间断点：左右极限存在且相等≠函数值（或无定义）✅跳跃间断点：左右极限存在但不相等第二类间断点（至少一侧极限不存在）✅无穷间断点：左右至少一侧极限为∞✅振荡间断点：极限无限振荡，无定值、无无穷大3.解题固定步骤（万能套路）1.找可疑间断点：分母为0的点、分段函数分段点、无定义点；2.分别计算左极限、右极限；3.对照分类标准判定类型；4.连续性题目：极限值=函数值，列方程求参数。二、基础题型：函数连续性判定（6题）题型特点：基础定义考察，判断函数在指定点是否连续题1判定f(x)=解题步骤：步骤1：判断定义：f(1)=步骤2：求极限：多项式函数处处连续，limx步骤3：比对：极限值=函数值，满足连续三条件。答案：在x=1处连续题2判定f(x)=解题步骤：步骤1：判断定义：x=2时分母为0，f步骤2：连续三条件不满足，直接判定不连续。答案：在x=2处不连续题3判定f(x)=解题步骤：步骤1：f(0)=步骤2：初等函数定义域内连续，limx步骤3：极限值=函数值，连续。答案：在x=0处连续题4判定分段函数在x=0连续性：解题步骤：步骤1：求左右极限：左极限limx→0步骤2：左右极限不相等，极限不存在；步骤3：不满足连续条件，不连续。答案：在x=0处不连续题5判定f(x)=解题步骤：步骤1：x=1步骤2：limx步骤3：函数不连续。答案：在x=1处不连续题6判定分段函数：f(x)=解题步骤：步骤1：f(0)=0步骤2：limx步骤3：极限值=函数值，连续。答案：在x=0处连续三、高频考点：分段函数连续求参数（5题）专升本选择/填空必考题型：利用limx题7设f(x)=x解题步骤：步骤1：计算左极限：limx步骤2：计算右极限与函数值：limx步骤3：连续条件：左右极限相等a=0答案：a=0题8设f(x)=2解题步骤：步骤1：左极限：limx步骤2：右极限：limx步骤3：连续则左右极限相等且等于f(1)=3，得2+步骤4：解得b=1答案：b=1题9若f(x)=sin解题步骤：步骤1：求极限：limx步骤2：连续条件：f(0)=步骤3：得k=2答案：k=2题10设f(x)=(1+解题步骤：步骤1：重要极限：limx步骤2：连续要求a=答案：a=e题11已知f(x)=x2解题步骤：步骤1：左极限：limx→1步骤2：右极限：limx步骤3：连续得m+答案：m+n=0四、第一类间断点专项：可去、跳跃间断点（6题）（1）可去间断点：左右极限相等，极限存在题12判定f(x)=解题步骤：步骤1：可疑点：x=1步骤2：求极限：limx步骤3：左右极限存在且相等，极限存在；步骤4：判定：可去间断点。答案：x=1为可去间断点题13判定f(x)=解题步骤：步骤1：x=0步骤2：limx步骤3：左右极限相等，可去间断点。答案：x=0为可去间断点（2）跳跃间断点：左右极限存在但不相等题14判定f(x)=解题步骤：步骤1：左极限：limx步骤2：右极限：limx步骤3：左右极限均存在但不相等；步骤4：判定：跳跃间断点。答案：x=0为跳跃间断点题15判定f(x)=解题步骤：步骤1：左极限：limx步骤2：右极限：limx步骤3：左右存在不相等，跳跃间断点。答案：x=1为跳跃间断点题16找出函数f(解题步骤：步骤1：可疑点x=0步骤2：去绝对值：x>0,步骤3：左极限-1，右极限1步骤4：跳跃间断点。答案：x=0跳跃间断点题17判定可去/跳跃综合题：f(x)=解题步骤：步骤1：极限：limx步骤2：函数值f(2)=5步骤3：极限存在但不等于函数值，可去间断点。答案：x=2可去间断点五、第二类间断点专项：无穷、振荡间断点（4题）（1）无穷间断点：一侧或双侧极限为无穷大题18判定f(x)=解题步骤：步骤1：x=2步骤2：limx步骤3：极限不存在（无穷），第二类无穷间断点。答案：x=2无穷间断点题19判定f(x)=解题步骤：步骤1：tan⁡x=sinx步骤2：limx步骤3：无穷间断点。答案：x=π（2）振荡间断点：专升本唯一考题形式题20判定f(x)=解题步骤：步骤1：x=0步骤2：x→0时，1x→∞，步骤3：无定值、无无穷大，极限不存在；步骤4：判定：振荡间断点（第二类）。答案：x=0振荡间断点题21判定f(x)=解题步骤：步骤1：x=0步骤2：无穷小×有界函数：limx步骤3：左右极限相等，可去间断点。答案：x=0可去间断点易错警示：切勿和sin⁡六、专升本真题综合压轴（4题）整合所有考点，模拟真题难度题22求f(解题步骤：步骤1：找间断点：分母x2-1=0步骤2：x→1，lim步骤3：x→-1，lim答案：x=1、题23找出f(解题步骤：步骤1：间断点x=1步骤2：limx步骤3：可去间断点。答案：x=1可去间断点题24已知f(x解题步骤：步骤1：等价无穷小：x→0,步骤2：极限：limx步骤3：连续得m=3答案：m=3题25判断正误：振荡间断点属于第一类间断点解题步骤：步骤1：第一类：左右极限均存在；步骤2：振荡间断点极限不存在，属于第二类；步骤3：命题错误。答案：错误七、专升本满分总结口诀