高考数学备考提优点15非对称韦达定理

非对称韦达定理【知识拓展】在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中,我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程,消去x或y,得到一个一元二次方程,例如消去y,得到一个两根分别为x1,x2的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0),则由根与系数的关系,得x1＋x2＝－BA,x1x2＝CA,此即为韦达定理.对于诸如x12＋x22,x1x2＋x2x1,1x1＋1x2,|x1－x2|类的式子,它们的结构特点是:将但在某些问题中,我们会遇到两根不对称的结构,比如λx1＋μx2(λ≠μ),λx1y2＋μx2y1(λ≠μ),x1x2或ax1x2【类型突破】类型一两根之比型如例1(2025·银川调研)设椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°解设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1>0,y2<0,直线l的方程为y＝3(x＋c),其中c＝a2联立y＝3得(3a2＋b2)y2－23b2cy－3b4＝0,由韦达定理得y1＋y2＝23b2c3a2＋由AF＝2FB,得y1＝－2y2.法一由y1＝－2y2,即y1y则y2y1所以y1y2此时y12＋即(y1＋即−4c23a2＋b2＝－12,整理得8即8c2＝3a2＋a2－c2,9c2＝4a2,所以e＝23法二由y1＝－2y2得y得(y1＋将y代入上式得23b212b4c23a2＋b2法三将y1＝－2y2代入y消去y2得223整理得e＝23规律方法1.法一将y1y2＝－2取倒数相加得到－52＝2.法二利用条件y1＝－2y2得到y1＋y2与y1y2的关系,仍然是转化为对称式后利用韦达定理求解.3.法三则是利用y1＝－2y2,与y1＋y2,y1y2的表达式,代入消元求解.训练1(2025·郑州质检改编)已知椭圆E:x28＋y22＝1,过点P(0,1)的直线l交E于M,N两点,若NP解设M点坐标为(x1,y1),N点坐标为(x2,y2),(1)当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x＝0,代入椭圆方程可得y＝±2,设N(0,－2),M(0,2),则|NP|＝1＋2,|PM|＝2－1,不满足题意.(2)当直线l斜率存在时,设其方程为y＝kx＋1(k≠0),联立y消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kx－4＝0,则Δ＝128k2＋16>0,由韦达定理得x1＋x2＝－8kx1x2＝－41＋4若NP＝5PM,则－x2＝5x1,所以x1＝2k1＋4k2,化简得－20k2(1＋4解得k＝±1,所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.类型二系数不等型(如λx1＋μx2＝m(λ≠μ,m≠0))例2已知抛物线C:y2＝4x,过定点P(2,1)的直线l与抛物线交于A,B两点,且有AP＝17PB解法一设直线l:x－2＝m(y－1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立x消去x得y2－4my＋4m－8＝0,则y1＋y2＝4m,y1y2＝4m－8,由条件AP＝17PB可得7y1＋即y2＝－7y1＋8,存在系数λ,使得y2－1＝λ(y1－1),易得λ＝－7,即y2－1＝－7(y1－1),因为y1－1≠0,所以y2−1y1−1＝－7,得－7－1＝(＝(y1＝16m2解得m＝2或m＝－1,所以直线l的斜率为12或法二设直线l:x－2＝m(y－1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线C:y2＝4x与直线l的方程,消去x得y2－4my＋4m－8＝0,则y1＋y2＝4m,y1y2＝4m－8,由条件AP＝17PB可得y2＝－7代入上面两式,得y1＋y2＝－6y1＋8＝4m,得y1＝4−2m所以y1y2＝－7y12＋8y1＝4m所以－74−2m32＋8·4−2m解得m＝2或m＝－1,所以直线l的斜率为12或规律方法法一将7y1＋y2＝8利用待定系数法构造比例y2－1＝λ(y1－1)转化为y2−1y1−1＝训练2已知抛物线C:y2＝4x,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且AF＝3FB,求直线l的斜率.解易知抛物线C的焦点F(1,0).直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立y＝k(k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0,则x1＋x2＝2k2x1x2＝1,②由条件AF＝3FB,可得x1＋3x2＝4,即x1−1x2−1＝－3,得－3＋−13＝－10把①②式代入上式并化简得2k解得k＝±3,所以直线l的斜率为±3.类型三分式上下不对称型如例3(2025·合肥模拟改编)已知曲线E:x24－y25＝1(x≥2).设A1(－2,0),A2(2,0),过点(3,0)的直线l与曲线E交于A,B两点(点A在x轴上方),P为直线A1A,A2B的交点,当点P的纵坐标为解设l:x＝my＋3,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x化简得(5m2－4)y2＋30my＋25＝0,5m2－4≠0,则Δ＝900m2－100(5m2－4)>0,y1＋y2＝−30m5m2−4,y1直线AA1:y＝y1x1＋2直线BA2:y＝y2x2−2联立直线AA1与直线BA2的方程可得x＝y2法一(和积转化)因为my1y2＝－56(y1＋y2)所以my法二(配凑)因为my1y2＝－56(y1＋y2)所以m＝m＝m＝my由x＋2x−2＝－5,可得x故点P43直线AA1的斜率为510联立y消去x化简得y2－210y＝0,解得y1＝210,x1＝6,故A(6,210),则m＝6−32故直线l的方程为x＝31020y即210x－3y－610＝0.规律方法此类问题的解决方案有:方案一和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系;方案二配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换,剩下的部分进行配凑.训练3(2025·长沙模拟改编)已知椭圆E:x24＋y2＝1,设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点(1,0)的直线l与椭圆E交于C,D两点(不同于左右顶点),记直线AC的斜率为k1,直线BD的斜率为k2,问是否存在实常数λ,使得k1＝λk2,恒成立?若成立,求出λ的值,若不成立解依题意,可设直线l的方程为x＝ty＋1,联立方程x化简整理,得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0,易得Δ>0恒成立,设C(x1,y1),D(x2,y2),由韦达定理,得y法一可得ty1y2＝32(y1＋y2)于是k1k＝(＝3＝12故存在实数λ＝13,使得k1＝λk2恒成立法二k1k＝(＝t＝−t故存在实数λ＝13,使得k1＝λk2恒成立【精准强化练】1.已知椭圆E:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,(1)求椭圆E的方程;(2)若过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B,C两点,E的右顶点记为A,AB∥CF1,求直线l的方程.解(1)设焦距为2c,由椭圆对称性不妨设椭圆上一点P(x0,y0)(0≤x0≤a),易知F2(c,0),当点P位于右顶点时,到右焦点的距离最小,即|PF2|min＝a－c,由题意得c所以椭圆E的方程为x2(2)设C(x1,y1),B(x2,y2),因为AB∥CF1,所以|F1F2|∶|F2A|＝2∶1,此时y1＝－2y2,设直线l的方程为x＝my＋1,联立x整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0,由韦达定理得y法一因为y1y所以y1y2即−6m3m2＋42−所以直线l的方程为x＋255y－1＝0或x－2法二把y1＝－2y2代入得−得y2解得m＝±25所以直线l的方程为x＋255y－1＝0或x－22.(2025·广州模拟)椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为F(1)求椭圆C的标准方程和离心率;(2)若过点23,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M,N两点,点P在直线x＝6上,且NP与x轴平行,解(1)法一由题意c＝1,可得a则椭圆C的标准方程为x24离心率为e＝ca法二设椭圆的左焦点为F'(－1,0),则由椭圆的定义知2a＝|MF'|＋|MF|＝(1＋1)＝52＋所以a＝2,又c＝1,得b2＝a2－c2＝3,则椭圆C的标准方程为x24离心率为e＝ca(2)因为直线MN过点23,0所以设直线MN方程