高考数学备考微专题15平面向量的基本运算及应用

微专题15平面向量的基本运算及应用高考定位1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算,难度中低档;2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义,难度中低档.【真题体验】1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1),b＝(2,x),若b⊥(b－4a),则x＝()A.－2 B.－1C.1 D.2答案D解析法一因为b⊥(b－4a),所以b·(b－4a)＝0,即b2＝4a·b.因为a＝(0,1),b＝(2,x),所以b2＝4＋x2,a·b＝x,得4＋x2＝4x,所以(x－2)2＝0,解得x＝2.法二因为a＝(0,1),b＝(2,x),所以b－4a＝(2,x)－4(0,1)＝(2,x)－(0,4)＝(2,x－4).因为b⊥(b－4a),所以b·(b－4a)＝0,所以2×2＋x(x－4)＝0,所以(x－2)2＝0,解得x＝2.2.(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1),b＝(2,2),则cos<a＋b,a－b>＝()A.117 B.C.55 D.答案B解析由题意知a＋b＝(5,3),a－b＝(1,－1),所以cos<a＋b,a－b>＝(a3.(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则真风为()等级风速大小(单位:m/s)名称21.1~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.1劲风A.轻风 B.微风C.和风 D.劲风答案A解析真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝AB,如图,|AB|＝22∈[1.1,3.3],故选A.4.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝.

答案2解析由题意得a－b＝(1,1－2x),又a⊥(a－b),所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0,解得x＝1,所以|a|＝2.5.(2025·天津卷)△ABC中,D为AB中点,CE＝13CD,AB＝a,AC＝b,则AE＝(用a,b表示);若|AE|＝5,AE⊥CB,则AE·CD答案16a＋23解析AE＝AC＋13(＝16a＋23∵|AE|＝5,∴25＝16即900＝a2＋16b2＋8a·b,①易得BC＝b－a,∵AE⊥BC,∴AE·BC＝0,即16a＋23b·得4b2－a2－3a·b＝0,②由①②得2700＝80b2－5a2,∴16b2－a2＝540,∴AE·CD＝1＝112(a2－8b2＋2a·b＝1＝136(a2－16b2＝136×【热点突破】热点一平面向量的线性运算1.平面向量加减运算求解的关键是:对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”;对平面向量减法抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化.2.在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作一个字母看待,其运算方法类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.例1(1)(2025·许昌质检)在平行四边形ABCD中,点E,F,G分别满足DE＝EC,BC＝2BG,AF＝2FE,则A.23AB－C.16AB－(2)(2025·福州段考)如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,点N在边AC上,且AN＝12NC,BN与CM交于点E,若AE＝λAB＋μAC,则A.λ＋μ＝45 B.λC.λ－μ＝25 D.答案(1)A(2)B解析(1)如图,FG＝AB－(2)由AN＝12NC因为M是AB的中点,所以AM＝由N,E,B三点共线知,存在实数m满足AE＝mAN＋(1－m)AB＝13mAC＋(1－m由C,E,M三点共线知,存在实数n满足AE＝nAM＋(1－n)AC＝12nAB＋(1－n所以13mAC＋(1－m)＝12nAB＋(1－n)AC又因为AC,AB为不共线的非零向量,所以1−所以AE＝即λ＝25,μ＝1λ＋μ＝25＋15＝λμ＝2515＝2,因此λ－μ＝25－15＝15易错提醒在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化.训练1(1)(2025·北京东城区质检)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EC＝()A.34AB－C.34AB＋(2)(多选)如图所示,已知四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD＝12AB,E为DC的中点,F为AE的中点,若AD＝λAB＋μBF,A.λ＝72 B.μC.λ＝74 D.μ答案(1)D(2)BC解析(1)由D为BC中点,得AD＝12(在△ABC中,EC＝AC－14＝34(2)因为CD∥AB,CD＝12AB,E为DC的中点,所以AD因为F为AE的中点,所以AE＝2AF＝2(AB＋BF)＝2AB＋2所以AD＝2AB＋2BF＝74AB＋2所以λ＝74,μ＝2.故选热点二平面向量的数量积1.数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.2.可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.例2(1)(2025·泰安模拟)已知非零向量a,b满足|a|＝223|b|,若(a＋b)⊥(3a－2b),则a与A.π4 B.C.3π4 (2)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,F为AB的中点,CE＝3,CB＝8,AB＝12,则EA·EB＝.

答案(1)C(2)13解析(1)因为(a＋b)⊥(3a－2b),所以(a＋b)·(3a－2b)＝0,即3a2＋a·b－2b2＝0,则a·b＝2|b|2－3|a|2,又|a|＝223|b则a·b＝2|b|2－3223b2＝－23所以cos<a,b>＝a·b＝−23b又0≤<a,b>≤π,所以a与b的夹角为3π4(2)法一(坐标法)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(12,0),B(0,0),C(0,8),F(6,0),易知CF＝CB2即CE＝310FC,FE＝710所以BE＝(6,0)＋710(－6,8)＝9所以EA＝BA－BE＝515而EB＝所以EA·EB＝法二(基底法)由法一知EF＝且CF＝CB2故EA·EB＝(EF＋FA)·(＝710CF＝49100CF2－14BA2＝法三(利用极化恒等式)由法一知|EF|＝7,由极化恒等式知EA·EB＝|EF|2－14|BA|2＝49－14易错提醒1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0,π].2.利用基底计算数量积时,要注意选择恰当的基底,常用已知的向量作基底.训练2(1)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量a,b满足|a＋2b|＝|a|,a·b＋a2＝0,且|a|＝2,则()A.|b|＝2 B.a＋b＝0C.|a－2b|＝6 D.a·b＝4(2)在矩形ABCD中,AB＝23,AD＝2,点E满足2DE＝3DC,则AE·BD＝.

答案(1)ABC(2)－14解析(1)因为|a＋2b|＝|a|,所以|a＋2b|2＝|a|2,即a2＋4a·b＋4b2＝a2,整理可得a·b＋b2＝0,再由a·b＋a2＝0,且|a|＝2,可得a2＝b2＝4,所以|b|＝2,a·b＝－4,A正确,D错误;cos<a,b>＝a·b|a||b|＝－1即向量a,b的夹角<a,b>＝π,故向量a,b共线且方向相反,所以a＋b＝0,B正确;|a－2b|＝(a−2b)2(2)由题意,以A为坐标原点,AB,AD的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(23,0),C(23,2),D(0,2),所以DC＝(23,0),BD＝(－23,2).因为2DE＝3DC,设E(x,y),则2(x,y－2)＝3(23,0),解得E(33,2),所以AE＝(33,2),所以AE·BD＝(33,2)·(－23,2)＝－14.热点三平面向量的综合应用三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.例3已知ω>0,a＝(3sinωx,－cosωx),b＝(cosωx,cosωx),f(x)＝a·b,x1,x2是y＝f(x)－12的两个零点,且|x1－x2|min(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α∈0,π2,fα2＝1解(1)f(x)＝3sinωxcosωx－cos2ωx＝32sin2ωx－＝32sin2ωx－12cos2ωx＝sin2ωx∵x1,x2是函数y＝f(x)－1＝sin2ωx−π即x1,x2是方程sin2ωx−π且|x1－x2|min＝π,∴T＝2π2ω＝π,∴∴f(x)＝sin2x由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ,k得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ,k∈∴f(x)的单调递增区间为−π6＋kπ(2)fα2＝sinα∴sinα−∵0<α<π2,∴－π6<α－π6∴cosα−∵sinα＝sinα＝sinα−π6cosπ6＋cos＝4＋33cosα＝cosα＝cosα−π6cosπ6－sin＝43∴sin2α＝2sinαcosα＝2×4＋3＝24＋73规律方法对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解.训练3(2025·宜昌调研)如图所示,A,B,C,D是正弦函数y＝sinx图象上四个点,且在A,C两点函数值最大,在B,D两点函数值最小,则(OA＋OB)·(OC＋OD答案12π2解析由题图知,Aπ2,1,B3π2,−1,所以OA＝π2,1,OB所以OA＋OB＝(2π,0),OC＋OD所以(OA＋OB)·(＝2π×6π＋0×0＝12π2.【精准强化练】一、单选题1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD＝2DA.记CA＝m,CD＝n,则CB＝()A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n答案B解析因为BD＝2DA,所以AB＝3AD,所以CB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.2.(2025·重庆部分学校联考)已知向量a＝(m,1),b＝(0,3),且a⊥(a－b),则m＝()A.2 B.2C.±2 D.±2答案C解析因为a＝(m,1),b＝(0,3),所以|a|＝m2＋1,a·b＝m×0＋1因为a⊥(a－b),所以a·(a－b)＝0,即a2－a·b＝m2＋1－3＝0,解得m＝±2.3.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知向量a＝(－1,1),b＝(2,0),向量a在向量b上的投影向量c＝()A.(－2,0) B.(2,0)C.(－1,0) D.(1,0)答案C解析因为向量a＝(－1,1),b＝(2,0),所以向量a在向量b上的投影向量c＝a·bb|2·b4.(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP＝12(AC＋AD),A.4 B.5C.6 D.8答案C解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,正方形ABCD的边长为2,则A(0,0),C(2,2),D(0,2),可得AC＝(2,2),AD＝(0,2),点P满足AP＝12(AC＋所以AP·AC＝1×2＋2×2＝6.5.(2025·西安质检)在△ABC中,点D在边AB上,且BD＝2DA,点E满足CD＝2CE,若AB＝AC＝6,AB·AC＝6,则|AE|＝()A.11 B.23C.12 D.11答案A解析因为BD＝2DA,所以AD＝因为CD＝2CE,所以E为CD的中点,则AE＝AD＝AD＋12＝1＝12故|AE|＝1＝1＝1＝9＋1＋1＝6.(2025·南京质检)在△ABC中,D是BC上一点,满足BD＝2DC,M是AD的中点,若BM＝λBA＋μBC,则λ＋μ＝()A.54 B.C.56 D.答案C解析BM＝12＝1＝12所以λ＝12,μ＝1则λ＋μ＝127.(2025·石家庄模拟)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是()A.AB·AC＝ABB.OA·OB＋OC·C.EG和HD是一对相反向量D.|AB－BC答案C解析A中,因为∠ABC＝∠BCD＝135°,AB⊥CD,所以AB·AC－AB·AD＝AB·DC＝0B中,因为每条边对应的中心角为45°,所以∠AOB＝45°,∠COF＝135°,所以OA·OB＋OC·OF＝|OA|·|OB|cos45°＋|OC|·|OF|cos135°＝22|OA|2－22|OA|2＝0C中,EG和HD方向相反,但长度不等,因此不是一对相反向量,CD中,因为AB＝－EF,BC＝－FG,所以|AB－BC＋CD＋EF－FG二、多选题8.已知向量a,b不共线,向量a＋b平分a与b的夹角,则下列结论一定正确的是()A.a·b＝0B.(a＋b)⊥(a－b)C.向量a,b在a＋b上的投影向量相等D.|a＋b|＝|a－b|答案BC解析作向量OA＝a,OB＝b,在▱OACB中,OC＝a＋b,BA＝a－b,由向量a＋b平分a与b的夹角,得▱OACB是菱形,即|a|＝|b|,对于A,a与b不一定垂直,A错误;对于B,(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0,即(a＋b)⊥(a－b),B正确;对于C,a在a＋b上的投影向量a·(a＋b)a＋b|2(ab在a＋b上的投影向量b·(a＋b)a＋b|2(a＋b)＝b2＋a·ba＋对于D,由选项A知,a·b不一定为0,则|a＋b|与|a－b|不一定相等,D错误.9.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且AE＝EB,AD＝2DC,BD与CE交于点OA.AB·CE＝－1B.OE＋OCC.|OA＋OBD.ED在BC方向上的投影向量的长度为7答案BCD解析因为AE＝△ABC是等边三角形,所以CE⊥AB,所以AB·CE＝0,A错误;以E为坐标原点,EA,EC的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,所以E(0,0),A(1,0),B(－1,0),C(0,3),D13设O(0,y),y∈(0,3),则BO＝(1,y),DO＝又BO∥DO,所以y－233＝－1解得y＝32即O是CE的中点,OE＋OC＝0,所以B|OA＋OB＋OC|＝|2OE＋OC|＝|OE|＝因为ED＝13,233ED在BC方向上的投影向量的长度为ED·三、填空题10.(2025·温州模拟)平面向量a,b满足a＝(2,1),a∥b,a·b＝－10,则|b|＝.

答案2解析设b＝λa＝λ(2,1)＝(2λ,λ).则a·b＝5λ＝－10,解得λ＝－105则b＝−2所以|b|＝−211.(2025·成都诊断)在△ABC中,AC＝4,AB＝2,若G为△ABC的重心,则AG·BC＝.

答案4解析设BC的中点为D.因为G为△ABC的重心,所以AG＝23＝13(AB＋BC＝所以AG·BC＝13(AB＋AC＝13(|AC|2－|AB|2)＝13(42－212.(2025·镇江调研)大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若D为BE的中点,则△DEF与△ABC的面积比为;设AD＝λAB＋μAC,则λ＋μ＝.

答案17解析如图,连接AE,由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF,且D,E,F分别为BE,CF,AD的中点.所以S△DEF＝S△AEF＝12S△AFCS△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF,得S△AD＝12＝12AB＋＝1＝12所以AD＝所以λ＋μ＝47四、解答题13.已知向量a＝(cosx,sinx),b＝(－6,2),x∈[0,π].(