上海市嘉定区嘉一实验高级中学2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市嘉定区嘉一实验高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x=cos75°的倾斜角为(

)A.0° B.90° C.75° D.25°2.已知关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且a≠0)在复数集中的两个根是α，β，下列结论中恒成立的是A.α和β互为共轭复数 B.α+β=−ba，αβ=ca

C.3.△ABC中，BC=3，D在边BC上，且CD=2DB，AD=1.当△ABC的面积最大时，则△ABC的外接圆半径为(

)A.2 B.153 C.4.已知数列{an}满足a1=1，an+1an∈{2,−2}(n=1,2,…)，SnA.存在{an}，使得S4=3成立

B.存在{an}，使得S2k+1>S2k且S2k+1>S2k+2对任意k∈N∗成立

C.二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知复数zi=1−3i，|z|=

．6.已知等差数列{an}中，a3=5，且2a1+7.角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点P(−4,3)，则sinα=

．8.已知平面向量a，b，满足a=(1,3)，b=(1,0)，a在b方向上的投影向量为9.直线3x+y=0与直线x=2的夹角为

．10.若直线l过原点，且点P(3,5)到l的距离等于3，则直线l的方程为

．11.已知数列{an}满足an+1=3an−1，12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线ax+ycosB+2025=0与直线bx+ycosA−2026=0平行，则△ABC是

．13.如图，已知三角形A1B1C1的面积为1，取线段A1C1的中点A2和线段B1C1的中点B2，得到三角形A2B1B2，再取线段A2C1的中点A14.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=40米，山坡对于地平面的坡度为θ，则θ=

(精确到0.1°)．

15.函数f(x)=sin(x+φ)，0<φ<π，若函数f(x)在[0,3π4)上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是16.已知|a|=9，|b|=8，若存在c满足|c|=5且(a−三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知a=(1,2)，b=(3,m)，

(1)当m=−4时，求〈a,b〉及|a+3b|；

18.(本小题14分)

已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)．

(1)讨论直线l与直线l1：4x+2y+6=0的位置关系．

(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．19.(本小题14分)

已知函数f(x)=23sinxcosx+sin2x−cos2x.

(1)求y=f(x)的最小正周期及y=f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间；

(2)在△ABC中，f(A)=2，b=3，c=2，若∠A20.(本小题18分)

已知数列{an}满足a1=12，bn=2nan，bn+1−bn=1，(n为正整数)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{cn}满足cn21.(本小题18分)

已知定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的x∈R，都有f(x+2π)=f(x)+f(2π)，则称函数f(x)具有性质P．

(1)设函数y=f(x)，y=g(x)的表达式分别为f(x)=sinx+x，g(x)=cosx，判断函数y=f(x)与y=g(x)是否具有性质P，(写出判断结果即可)．

(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(32<ω<52,|φ|<π2)具有性质P，求函数F(x)=|f(x)|+2sinx在[0,2026π]上零点的个数；

(3)在(2)的条件下，将函数f(x)向左移动π8，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数h(x)1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】106.【答案】2

7.【答案】358.【答案】(1,0)

9.【答案】π610.【答案】x=0或8x−15y=0

11.【答案】3n−112.【答案】等腰三角形或直角三角形

13.【答案】1314.【答案】23.8°

15.【答案】(π16.【答案】417.【答案】π−arccos55，18.【答案】直线l1：4x+2y+6=0，化为斜截式可得y=−2x−3，

直线l：kx−y+1+2k=0，化为斜截式可得y=kx+1+2k，

当k=−2时，直线l即为y=−2x−3，此时两直线重合；

当k≠−2时，直线l与直线l1斜率不相等，即两直线相交

若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，

直线l：kx−y+1+2k=0，

当k=0时，直线l：y=1，显然不满足题意，所以k≠0；

令x=0，得y=2k+1，令y=0，得x=−1+2kk，

即A(−1+2kk,0)，B(0,1+2k)，

依题意得−1+2kk<01+2k>0，解得k>0，

则根据基本不等式可得：

S=12|OA|⋅|OB|=119.【答案】最小正周期为π，单调递增区间为[0,π3]和[20.【答案】数列{an}满足a1=12，bn=2nan，bn+1−bn=1，(n为正整数)，

所以数列{bn}为首项为b1=2a1=2×12=1，公差为1的等差数列，bn=1+n−1=n，

所以an=bn2n=n2n

由数列{cn}满足cn=log2an+1an，an=n2n，an+1=n+1221.【答案】函数y=f(x)具有性质P，y=g(x)不具有性质P，说明如下：

f(x+2π)=sin(x+2π)+x+2π=sinx+x+2π，f(x+2π)=sin(x+2π)+x+2π=sinx+x+2π，

对任意x∈R，都有f(x+2π)=f(x)+f(2π)，所以y=f(x)具有性质P，

g(x+2π)=cosx，g(x)+g(2π)=cosx+1，

所以y=g(x)不具有性质P

由函数f(x)具有性质P，得sinφ=f(0)=0，

而|φ|<π2，因此φ=0，f(x)=sinωx，

由f(x+2π)=f(x)+f(2π)，

得f(2kπ)=f(0)+kf(2π)=kf(2π)(k∈Z)，只要k充分大时，kf(2π)将大于1，

而f(x)的值域为[−1,1]，因此上述等式不可能成立，因此必有f(2π)=0成立，即sin(2ωπ)=0，

又32<ω<52，即3π<2ωπ<5π，因此2ωπ=4π，解得ω=2，

此时f(x)=sin2x，因此f(x+2π)=sin2(x+2π)=sin2x，

而f(x)+f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x，即有f(x+2π)=sin(x+2π)+x+2π=sinx+x+2π成立，符合题意，

令F(x)=|f(x)|+2sinx=0，即|sin2x|+2sinx=0，

①当sin2x≥0时，sin2x+2sinx=0，即2sinx(cosx+1)=0，

得sinx=0或cosx=−1，得x=kπ，k∈Z或x=π+2kπ，k∈Z；

②当sin2x<0时，−sin2x+2sinx=0，即2sinx(1−cosx)=0，而sinx>0，无解，

因此f(x)=0的解为x=kπ，k∈Z，在[0,2026π]