深圳市盐田高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．样本数据、、、、、、、、的分位数为（

）A． B． C． D．3．如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图中对应的点为，则下列说法中错误的是（

）A． B．轴C． D．4．已知平面向量，，且与共线，则（

）A．1 B．-1 C． D．5．已知平面及空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线使得（

）A． B．与相交 C．与是异面直线 D．6．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形7．已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（

）A．平均数不变 B．方差不变 C．极差变大 D．中位数不变8．如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币反面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．A与B互斥 D．A与B相互独立10．设O为内一点，已知，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（

）A．E，O，F三点共线 B．O为E，F的中点C． D．11．一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（

）A．该圆锥的体积为B．在扇形中，C．该圆锥内半径最大的球的表面积为D．该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为三、填空题12．从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______．13．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______.14．如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______；四、解答题15．已知向量与的夹角为，，．(1)求的值；(2)设向量与的夹角为，求的值．16．学校在组织选拔数学竞赛班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．(1)求m的值、并估计此次数学测试分数的平均数．(2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．17．在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若的平分线交于点，，的面积为，求的长度；(3)若，求周长的最大值.18．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．(1)求证：；(2)若，求三棱锥的体积．(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．(1)设函数，试求的互生向量；(2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；(3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．参考答案1．A解析：因为，因此复数的共轭复数是.故选：A.2．A解析：因为，故样本数据、、、、、、、、的分位数为.3．D解析：梯形ABCD的直观图如图：对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确；对于B、C，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，B、C正确；对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方，又，因此，D错误．4．C解析：由题意可得，，由与共线可得，解得，故选：C5．D解析：对于A：当直线与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故A错；对于B：当直线与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故B错；对于C：当直线在平面内时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错；对于D：不管直线与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确.故选：D6．B解析：因为，所以，即，所以，即，整理得，角为直角，为直角三角形.7．B解析：对于A，设新数据的平均数为，则，故A错误；对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为，则，故B正确；对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为；则新数据中最大的数为，最小的数为，则新数据的极差为，即极差不变，故C错误；对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2；则新数据为3，4，5，中位数为4，所以两组数据的中位数不等，故D错误.8．C解析：延长交的延长线于点，连接，如图所示.因为为的中点，且在正方体中，所以，所以.设正方体的棱长为1，则.因为为平面与棱的交点，且均在平面与平面的交线上，所以三点共线.在平面中，过点作于点，因为为的中点，所以为的中点，且，.因为，所以，所以，所以，所以.又，所以.因为，所以，解得.9．AD解析：对于A、C选项，，故A正确，C错误；对于B选项，因为，，所以，故B错误；对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确.故选：AD.10．AD解析：因为，并且E，F分别为AB，AC中点，所以，，则，所以，所以，又O为公共点，所以E，O，F三点共线但O不是E、F的中点，故A正确；B错误；对于C，由，得，，则，，所以，故C错误；对于D，由选项C得，故D正确．11．ACD解析：因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为，所以，解得，设圆锥底面圆的半径为，则，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故A正确；因为，为线段的中点，为弧中点，所以，故B错误；圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，设内切球半径为，由等体积可得，解得，所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确；设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，则，所以正四棱柱的表面积为，由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确；故选：ACD.12．解析：从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有：共6种抽法；抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法，所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为.13．/解析：将四面体放入长方体中，如图所示：设长方体的长，宽，高分别为，则，所以，设长方体的外接球半径为，则，解得，又长方体的处接球即为四面体的外接球，所以四面体的外接球的体积为.故答案为：.14．解析：在中，，，则，其中，由正弦定理，得，在中，，，则，又，则，又，在中，由余弦定理，得，所以.故答案为：15．(1)(2)解析：（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以，又因为，所以.16．(1)，分(2)解析：（1）由频率分布直方图，得，所以．该次测试分数的平均数的估计值为：分；（2）记分数在的人数为（人），分数在的人数为（人），由，得采用分层随机抽样的方法.抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，.分数在的有3人，编号为，，，样本空间，则，记事件“至少一人分数在内”.则，则，所以这2人中至少有一人分数在内的概率为17．(1)(2)(3)解析：（1）根据正弦定理，边化角得：，又，故，代入上式整理得：，因为，，所以，又，得.（2）由三角形面积公式：，得，是角平分线，故，由面积关系，设，则，代入得：，解得.（3）由余弦定理：b2即，得，由基本不等式，代入得：(a+c)2所以的周长，故的周长最大值为.18．(1)如图所示，设点是棱的中点，连接，，，由及点是棱的中点，可得，因为平面平面，平面平面，平面，故平面，又因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，而是的中位线，所以，可得，又由，且平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．(2)1(3)45°解析：（1）略（2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，所以．（3）设点是与的交点，由（1）可知平面，又，均在平面内，从而有，，故为二面角的平面角，所以，所以，因为，所以为等边三角形．不妨设菱形的边长为，．则在直角中，，，，所以，因为平面