高等代数课件 3.3节 矩阵的秩_第1页
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第3章线性空间初步矩阵的秩第3节高等代数01矩阵的秩02几个常用结论2本节内容301矩阵的秩📝定义3.12

矩阵𝐴的行向量组(3.5)的秩称为𝐴的行秩,列向量组(3.6)的秩称为𝐴的列秩.401矩阵的秩📖定理3.9

矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变.证明

首先证明初等行变换不改变行秩,初等列变换不改变列秩.

如果对𝐴施行互换两行的行变换,行向量组(3.5)没有发生改变,只是向量之间的排序发生了变化,此时秩当然没变.501矩阵的秩证明601矩阵的秩证明

由向量组等价的定义,容易看出向量组(3.5)和向量组(3.7)以及向量组(3.8)都等价,因而秩相等.这就说明初等行变换不改变矩阵的行秩.同理可以证明,初等列变换不改变矩阵的列秩.

其次,再证明初等行变换不改变矩阵的列秩.701矩阵的秩证明801矩阵的秩证明901矩阵的秩证明1001矩阵的秩

既然初等变换不改变矩阵的行秩和列秩,可以得到以下简单推论. 1.相抵矩阵分别具有相同的行秩和列秩. 2.矩阵的行秩等于列秩.🎯推论3.101101矩阵的秩证明1201矩阵的秩📝定义3.13

由定理3.9和推论3.10可以直接得到以下结论.🎯推论3.111301矩阵的秩🎯推论3.111401矩阵的秩1501矩阵的秩📖定理3.12证明1601矩阵的秩证明1701矩阵的秩证明1801矩阵的秩证明1902几个常用结论

我们已经知道，初等变换不改变矩阵的秩，分块矩阵的初等变换当然也不改变矩阵的秩.由此，可以得到以下几个常用结论.📖命题3.132002几个常用结论证明2102几个常用结论证明2202几个常用结论证明2302几个常用结论📖命题3.14证明2402几个常用结论📖命题3.15证明2502几个

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