第2章光波导的理论基础

第2章光波导的理论基础2.1光波导种类

2.2光波导的射线光学理论

2.3古斯-汉欣线移和有效厚度原理

2.4光波导的电磁理论

2.5折射率突变波导的基本解

2.6折射率渐变波导的基本解2.7条形波导的基本解2.8圆柱形介质光波导的基本解

第2章光波导的理论基础2.1光波导种类

按光波导的形状、折射率分布，可分成不同的种类

2.1.1按形状分

按形状可以将光波导分成平面（板）波导、柱形波导和条形波导，而条形光波导又可以分为脊形、镶入形和埋入形，如图2.1所示。第2章光波导的理论基础第2章光波导的理论基础2.1.2按折射率分布分

按折射率分布可以将光波导分成折射率突变波导和折射率渐变波导，如图2.2所示

第2章光波导的理论基础1、折射率突变波导：折射率突变波导指光波导各个区的光学性质是均匀的，只在各层交界面处发生光学性质突变。图2.2a)当中，在区域折射率为，在区域折射率为2、折射率渐变波导：折射率渐变波导指波导层介质的光学性质是逐渐变化的，其折射率分布一般为抛物线形和双曲线形。图2.2a)当中，在区域折射率为，在区域折射率为光波导种类第2章光波导的理论基础要点与习题什么是平面波导？什么是条形波导？什么是柱形波导？什么是突变波导？什么是渐变波导？第2章光波导的理论基础第2章光波导的理论基础2.1光波导种类

2.2光波导的射线光学理论

2.3古斯-汉欣线移和有效厚度原理

2.4光波导的电磁理论

长春理工大学2.2光波导的射线光学理论

利用射线光学理论对平面波导进行分析，其过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。但是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.2.1平面（板）波导简介1、平面（板）波导结构：平板光波导一般为三层结构，即衬底层，导光薄膜层和覆盖层。如图2.3所示。2、制作平面（板）波导的基本原则：3、制作平面（板）波导的目的：要在μm量级介质薄膜上完成光的发射，传输，调制和探测等功能。长春理工大学第2章光波导的理论基础长春理工大学第2章光波导的理论基础2.2.2射线光学模型射线光学模型就是光线在薄膜-衬底和薄膜-覆盖层分界面上发生全内反射，沿z字形路径在薄膜中传播，如图2.4所示。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.2.3光入射到介质界面处的基本定律长春理工大学第2章光波导的理论基础

(2.2-2)

(2.2-3)上面的三个式子给出了反射波和透射波的传播方向以及它们与入射波的振幅关系。

(2.2-1)1、斯涅尔定律（Snell’slaw）。长春理工大学第2章光波导的理论基础利用Snell’slaw，可以将上面的四个表达式改写为

(2.2-4)(2.2-5)(2.2-6)(2.2-7)2、菲涅尔公式

(Frensnel’sformula)。长春理工大学第2章光波导的理论基础对于TE模，其电场垂直于波阵面法线和分界面法线构成的入射面，相当于S波；对于TM模，其电场平行于波阵面法线和分界面法线构成的入射面，相当于P波。(2.2-8)(2.2-9)(2.2-10)(2.2-11)长春理工大学第2章光波导的理论基础3、全反射（Totalreflection）。(2.2-12)和(2.2-13)应当改写为(2.2-12)(2.2-13)(2.2-14)(2.2-15)长春理工大学第2章光波导的理论基础2.2.4全反射时的相移由式(2.2-14)和(2.2-15)可知，当

取复数时，其模值为1，因此，可以表示为：

，则在反射时，TE模和TM模的位相满足

(2.2-16)(2.2-17)长春理工大学第2章光波导的理论基础图2.6示出了对入射角的依赖关系。对于固定与比值，随入射角增大而增大。(2.2-18)(2.2-19)若令则长春理工大学第2章光波导的理论基础长春理工大学第2章光波导的理论基础2.2.5平面波导的导模1、波导中的平面波。平面波的表达式为：

波矢量的标量形式由图2.4可知，若入射角为

，则波矢量的x分量和z分量可写为：

(2.2-20)(2.2-21)长春理工大学第2章光波导的理论基础由此，薄膜中的波动场空间部分可写为：

前面的正负号对应斜向上和斜向下。如图2.7所示。(2.2-22)(2.2-23)(2.2-24)长春理工大学第2章光波导的理论基础在衬底层和覆盖层处发生全反射的临界角分别满足当

时，则平面光波在衬底和覆盖层与波导层的交界面处都得不到全反射，而只有部分反射，因此，会有一部分光将辐射到衬底和覆盖层里去，称它们为辐射模式，如图2.7a）所示。此时又称为空气模式。

。

当

时，则平面光波在覆盖层与波导层的交界面处发生全反射，但在衬底和波导层的交界面处只发生部分反射，因此，一部分光波将辐射到衬底里去，如图2.7b）所示。此时，称为衬底模式。

长春理工大学第2章光波导的理论基础当

时，则平面光波在衬底和覆盖层与波导层的交界面处都会全反射，此时光波被限制在波导层当中传播，如图2.7c）所示。此时，称为导波模式或导引模式，简称导模。

2、模式本征方程。要形成导模，则在波导中传播的光波必须满足相干条件，即一个周期后，相移的总和必须是的整数倍。因为薄膜中相移为

，覆盖层当中的相移为，衬底当中的相移为

。因此，形成导模的条件为：

(2.2-25)

即(2.2-26)长春理工大学第2章光波导的理论基础式(2.2-25)和(2.2-26)称为模式本征方程。对于TE模，由式（2.2-18）知在衬底层和覆盖层因反射而形成的相移满足(2.2-27)因为若令，(2.2-28)长春理工大学第2章光波导的理论基础则(2.2-27)式可以改写为因此，衬底层和覆盖层中相移为

上式代入(2.2-26)式当中，得到TE模的模式本征方程(2.2-29)(2.2-30)(2.2-31)同样可以得到TM模的模式本征方程。(2.2-32)长春理工大学第2章光波导的理论基础下面对TE/TM模的模式本征方程进行讨论：

2）在式(2.2-31)和(2.2-32)当中，在厚度h确定的情况下，平板波导所能维持的导模数量是有限的，对于给定的m，就有确定的，由式(2.2-23)可以得到，

称为m阶导模的模角，即形成m阶导模的入射角，

称为m阶导模的传播常数。

1）在式(2.2-31)和(2.2-32)当中，由于m只能取有限个正整数，而，又是

的函数，由此可看出，只有满足方程(2.2-26)的人射角，才为波导所接受。所以导模对入射角有选择性，因此，导模数量也是有限的。

长春理工大学第2章光波导的理论基础

，考虑全反射时有：3、有效折射率（模折射率）。由于，可知的变化范围为

即导模的传播常数介于平面波在衬底和薄膜的波数之间。定义有效折射率根据式(2.2-33)可以知道，有效折射率变化范围为(2.2-33)(2.2-34)(2.2-35)长春理工大学第2章光波导的理论基础利用式(2.2-34)，可将式(2.2-31)和(2.2-32)表示的TE模和TM模的模式本征方程改写为这些不同形式的平面波导模式本征方程可以用来研究波导的各种不同性质。

(2.2-36)(2.2-37)长春理工大学第2章光波导的理论基础2.2.6模式本征方程的图解对于平面波导的基模（m=0），由式(2.2-26)得其本征方程变为对于对称波导，即，式(2.2-38)又可以写为

将满足式(2.2-38)和式(2.2-39)的方程作在同一张图上，如图2.8所示。

图2.8表示对称和非对称波导基模的模式本征方程图解。图中画出了关于入射角的两种相移曲线。(2.2-38)或(2.2-39)长春理工大学第2章光波导的理论基础长春理工大学第2章光波导的理论基础即光在波导层中的横向穿越相移

(图中的点线画出)和光在衬底层和覆盖层的全反射相移和。

下面就对称波导和非对称波导的两种情况分别加以分析。1）对于对称光波导，点线与实线交点给出了基模的入射角值，表明，对称平面波导的基模是不会截止的。2）对于非对称光波导，点线与点划线交点给出基模的入射角值，可以看到，非对称平板波导并不总能维持导模，也就是说，即使是基模也会截止。长春理工大学第2章光波导的理论基础截止条件

即时不会有导模存在。

如果将光波导的归一化角频率表示为在导模截止时，有效折射率

。

(2.2-40)(2.2-41)长春理工大学第2章光波导的理论基础光波导的归一化有效折射率表示为由式(2.2-35)可知，0<n<l。光波导的非对称参量表示为a描述波导结构的非对称性。波导完全对称，即时，a=0；而波导极不对称，即时，a→∞。

通过定义以上归一化参量，平板波导TE导模的模式本征方程(2.2-36)可改写成如下形式

(2.2-42)(2.2-43)长春理工大学第2章光波导的理论基础而TM模的模式本征方程（2.2-37）可改写为通过数值计算，TE模的归一化有效折射率n随归一化频率的变化关系，被称为归一化色散曲线，如图2.9所示，曲线以a为参数。由图可见，在对称波导(a=0)情况下，TE0模不会截止。而非对称波导，存在截止频率。(2.2-44)(2.2-45)长春理工大学第2章光波导的理论基础TE模和TM模的色散曲线如图2.10所示。由图可以看出，对于同一个归一化频率，TE模的归一化有效折射率略大于TM模的归一化有效折射率。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.2.7应用实例图2.11表示ZnS波导的模式方程曲线，图中每一条曲线表示一个模式，实线和虚线分别表示TE模和TM模。长春理工大学第2章光波导的理论基础1、从波导层厚度h的任一给定值上画一水平线，此水平线与模式曲线的交点给出模折射率N和入射角θi的值。可以看到m=0的模式具有最大的N和θi，而对较高模序的模式来说，N和θi的数值较小。2、随着波导层厚度h的增加，水平线将向上移动，这时将相交更多的模式曲线，表示波导将容纳更多的导模3、所有的模式曲线在左边始于N=n2，在右边终于N=n1而且它们是单调递增的函数。因此，模式曲线在N=n2处所对应的薄膜厚度是为了让该导模在波导中传播所要求的最小厚度，称为“截止厚度”。长春理工大学第2章光波导的理论基础4、在N=n2处，θi=θSC，这就是薄膜－衬底分界面上的全反射临界角。当θi小于此临界角时，所有的导模都截止。5、从图2.11中同样可以看出，同一模序数的TM模的模折射率小于TE模的模折射率。长春理工大学第2章光波导的理论基础要点与习题1、平面波导结构2、制作平面波导的基本原则3、制作平面波导的目的4、射线光学模型5、全反射时的相移6、空气模式7、衬底模式8、导波模式或导引模式9、模式本征方程10、有效折射率长春理工大学第2章光波导的理论基础第2章光波导的理论基础2.1光波导种类

2.2光波导的射线光学理论

2.3古斯-汉欣线移和有效厚度原理

2.4光波导的电磁理论

长春理工大学第2章光波导的理论基础2.3古斯-汉欣线移和有效厚度原理

光在光波导中传输时，传播路径如图2.12所示。从图中可以看出入射点和反射点不再在同一点，而是发生了一个位移，该位移称为古斯－汉欣线移。光也不是在两种介质的交界面处反射，而是存在一个穿透深度。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.3.1古斯-汉欣线移古斯-汉欣线移是理想反射点和实际反射点之间的距离。若全反射时相移为

，则光束位移对于TE波，根据式(2.2-27)可得对式(2.3-2)微分可得

(2.3-1)(2.3-2)(2.3-3)长春理工大学第2章光波导的理论基础因此，得到同理又因为，所以光从波导层到覆盖层产生的横向位移为=(2.3-4)=(2.3-5)(2.3-6)长春理工大学第2章光波导的理论基础光从波导层到衬底层产生的横向位移为两条基本的结论1、由于的存在，表明入射点和反射点不再在同一点，和称为Goos-Hanchen线移。2、由于的存在，表明波导层以外存在电磁场。即入射波在波导层表面不仅有反射而且有透射。(2.3-7)长春理工大学第2章光波导的理论基础2.3.2有效厚度对于平面波，其从波导层到覆盖层的透射波分量可写成式中，是折射角。因为

这样，式(2.3-8)可以改写为(2.3-8)(2.3-9)(2.3-10)得到长春理工大学第2章光波导的理论基础同理，从波导层到衬底层的透射波分量得到两条结论1、透射波为衰减波，在覆盖层和衬底层的穿透深度分别为和。2、由于存在穿透深度，使波导层具有比h大的有效厚度：。(2.3-11)

(2.3-12)长春理工大学第2章光波导的理论基础要点与习题1、什么是古斯－汉欣线移2、什么是有效厚度3、推导古斯－汉欣线移4、推导有效厚度长春理工大学第2章光波导的理论基础第2章光波导的理论基础2.1光波导种类

2.2光波导的射线光学理论

2.3古斯-汉欣线移和有效厚度原理

2.4光波导的电磁理论

长春理工大学第2章光波导的理论基础2.4光波导的电磁理论

电磁理论即波动光学理论从电磁场的基本方程出发，通过一系列的理论推导和计算，得到光在光波导中传播的波动方程，从而为光波导中光传输模式的讨论提供理论基础。本节在介绍电磁过程的基本方程之后，推导平面波导中的波动方程，并对平面波导中可能存在的模式进行分析和讨论。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.4.1电磁过程的基本方程

1、麦克斯韦方程组（Maxwell’sequations）。对于有源场微分形式的麦克斯韦方程为：(2.4-1)长春理工大学第2章光波导的理论基础对于有源场，其边界条件为：(2.4-2)对于无源场微分形式的麦克斯韦方程为：(2.4-3)长春理工大学第2章光波导的理论基础对于无源场，其边界条件为：上式表明，在两种介质的分界面上电磁场整个地是不连续的，但在界面没有自由电荷和面电流的情况下，和的法向分量及和的切向分量则是连续的。电磁场的物质方程为：(2.4-4)

(2.4-5)长春理工大学第2章光波导的理论基础2、波动方程（Waveequation）对式(2.4-3)第三式两边取旋度，并利用(2.4-5)式，并把(2.4-3)式第四式代入其中，可得：

(2.4-6)利用旋度公式将上式左边展开得到：利用式(2.4-3)第一式，则有

(2.4-7)(2.4-8)长春理工大学第2章光波导的理论基础同理可以得到把和代入上两式得(2.4-9)(2.4-10)(2.4-11)长春理工大学第2章光波导的理论基础上两式可以写为(2.4-12)式和(2.4-13)式称为电磁场的波动方程，它们反映了电磁场随时间和空间的变化规律。

(2.4-12)

(2.4-13)长春理工大学第2章光波导的理论基础3、亥姆霍兹方程（Helmholtzequation）设场随时间变化，角频率为，则电磁场矢量写为代入波动方程(2.4-12)和(2.4-13)，(2.4-16)和(2.4-17)称为电磁场的亥姆霍兹方程，它们反映了电磁场随空间变化的基本规律。(2.4-14)

(2.4-15)(2.4-16)

(2.4-17)长春理工大学第2章光波导的理论基础2.4.2平面波导中的亥姆霍兹方程1、平面波导中折射率分布。为了使讨论方便，假设光波导中的折射率沿x方向变化。即2、平面波导解的基本模式。按前面假设，麦氏方程解与y无关，且可分离变量，则电磁场的标量形式可以写为(2.4-18)(2.4-19)(2.4-20)长春理工大学第2章光波导的理论基础代入Helmholtz方程得：上式两边除以得令式(2.4-22)等于，则有(2.4-21)(2.4-22)(2.4-23)长春理工大学第2章光波导的理论基础即，，积分可以求得第一项无穷远处无穷大，属非正常波，因此只保留第二项，代回场方程式(2.4-19)和(2.4-20)，得（1）是电磁场沿z方向的传播常数，因此。(2.4-24)(2.4-25)

(2.4-26)两个基本结论：（2）相速度长春理工大学第2章光波导的理论基础3、平面波导中亥姆霍兹方程。根据式(2.4-3)，无源场微分形式的麦氏方程为电磁场满足的物质方程为将式(2.4-19)和(2.4-20)表示的电磁场方程可以改写为(2.4-27)

(2.4-28)(2.4-29)(2.4-30)长春理工大学第2章光波导的理论基础将(2.4-32)代入(2.4-29)，再代入(2.4-27)；(2.4-31)代入(2.4-30)，再代入(2.4-28)，得把(2.4-25)和(2.4-26)式代入以上两式，注意：；；；可以得到(2.4-31)

(2.4-32)(2.4-33)(2.4-34)长春理工大学第2章光波导的理论基础整理后，可得到两组独立的方程(2.4-35)(2.4-36)长春理工大学第2章光波导的理论基础式(2.4-37)中含，称为TE波。

(2.4-37)

(2.4-38)式(2.4-38)中含，称为TM波。长春理工大学第2章光波导的理论基础将TE波和TM波方程组的前两式代入第三式当中，就可以求得TE模中的和TM模中的所满足的方程。下面以TE波为例来求解所满足的方程。由(2.4-37)第一式可以得到由(2.4-37)第二式可以得到(2.4-39)(2.4-40)长春理工大学第2章光波导的理论基础将以上两式得到的代入(2.4-37)第三式得(2.4-41)式两边同乘，得利用得到(2.4-41)(2.4-42)(2.4-43)长春理工大学第2章光波导的理论基础则式(2.4-42)可以改写为因此，得到光波导各层TE波标量亥姆霍兹方程为：同样，可以得到光波导各层TM波标量亥姆霍兹方程为：(2.4-44)

(2.4-45)

(2.4-46)注意：(2.4-45)和(2.4-46)适用于无源、无损耗、各向同性和非磁性的介质平面波导。长春理工大学第2章光波导的理论基础4、平面波导中模式的定性讨论。波导的亥姆霍兹方程是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为：即：，当时，特征方程有两个不相等的实根。(2.4-47)则平面波导的亥姆霍兹方程的通解取为指数形式：(2.4-48)(2.4-49)(2.4-50)长春理工大学第2章光波导的理论基础当时，特征方程有复根。此时，平面波导的亥姆霍兹方程的通解取为简谐形式：(2.4-51)(2.4-52)

(2.4-53)因此，根据与的关系，可以得到不同形式的解。长春理工大学第2章光波导的理论基础以TE波为例，讨论式(2.4-45)，由于在波导的不同区域有着不同的折射率，根据传播常数的不同取值范围，使得方程(2.4-45)具有不同形式的解：1）当时，由于，因此在覆盖层、波导层和衬底层中的解均为式(2.4-50)所表示的形式，即为指数形式。

(2.4-54)长春理工大学第2章光波导的理论基础2）当时，在覆盖层和衬底层中，的解为式(2.4-50)，即指数形式。而在波导层中，的解为式(2.4-53)，即简谐形式。(2.4-55)3）当时，在覆盖层中，的解为式(2.4-50)，即指数形式；而在波导层和衬底层中解为式(2.4-53)，即简谐形式。(2.4-56)长春理工大学第2章光波导的理论基础4）当时，在覆盖层、波导层和衬底层中，的解均为式(2.4-53)，即简谐形式。此时，方程的解对应于图2.13的空气模式。光能量将流入上、下限制层，即覆盖层和衬底层内，形成辐射模式，此时又称空气模式。(2.4-57)长春理工大学第2章光波导的理论基础导波模式空气模式衬底模式辐射模式hn1n2n3x=0x=-h图2.13光波导中可能存在的模式长春理工大学第2章光波导的理论基础要点与习题1、什么是光波导的电磁理论？

2、电磁过程的基本方程有哪些？

3、什么是波动方程4、什么是亥姆霍兹方程5、突变平面波导中折射率分布6、对平面波导中模式进行定性讨论长春理工大学第2章光波导的理论基础2.5折射率突变光波导的基本解

2.6折射率渐变光波导的基本解2.7条形光波导的基本解2.8圆柱形介质光波导的基本解

第2章光波导的理论基础长春理工大学第2章光波导的理论基础2.5折射率突变光波导的基本解

折射率突变光波导在平面波导、条形波导和柱形波导当中都占有相当多的比重。本节将讨论折射率突变光波导中TE导模的场分布和它的模式本征方程。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.5.1TE导模的场分布以三层平面波导的TE模为例。平面波导三层电场分布可写为：

(2.5-1)长春理工大学第2章光波导的理论基础于是，B，C，D都可用A表示。因此，电场分布可写成如下形式：时即(2.5-2)

时即(2.5-3)

时即(2.5-4)利用场及其导数在薄膜－衬底和薄膜－覆盖层界面处连续边界条件，可得：长春理工大学第2章光波导的理论基础A可以通过对场的功率的归一化消去。各层的磁场分量，可根据式（2.4-37）求得(2.5-5)

(2.5-6)和(2.5-7)这样就解决了TE导模的场分布，即突变光波导的基本解。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.5.2模式本征方程利用(2.5-5)式，并由场的导数在薄膜和衬底界面上连续的条件可得:(2.5-8)两边除以，并整理得(2.5-9)上式即是TE模的模式本征方程。长春理工大学第2章光波导的理论基础讨论1、是按指数衰减的。衰减快慢分别由衰减系数q和p其确定。2、p和q越大，衰减越快，穿透深度1/p和1/q就浅。说明波导束缚场的能力强，有效厚度小。3、p和q越小，衰减越慢，穿透深度1/p和1/q就深。说明波导束缚场的能力差，有效厚度大。4、p和q大小与衬底和覆盖层的折射率有关，还与模序数m相关。长春理工大学第2章光波导的理论基础5、m越大，则越小，从而p和q越小，有效厚度大，表明高阶模的电磁场可延伸到薄膜外比较远的地方。6、m越小，则越大，从而p和q越大，有效厚度小，表明低阶模的电磁场可延伸到薄膜外比较近的地方。长春理工大学第2章光波导的理论基础要点与习题1、什么是折射率突变光波导2、推导TE导模的场分布3、推导模式本征方程长春理工大学第2章光波导的理论基础2.5折射率突变光波导的基本解

2.6折射率渐变光波导的基本解2.7条形光波导的基本解2.8圆柱形介质光波导的基本解

第2章光波导的理论基础长春理工大学第2章光波导的理论基础2.6折射率渐变光波导的基本解折射率渐变波导在平面波导、条形波导和柱形波导当中同样占有相当多的比重。本节将讨论平方律折射率分布和指数律折射率分布渐变波导中TE导模的场分布和它的模式本征方程。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.6.1平方律折射率分布平方律分布是薄膜里的折射率对称于中线作抛物线分布。如图2.14所示，但是在覆盖层及衬底里n是均匀的，如虚线所示。由图可见，沿轴线的。长春理工大学第2章光波导的理论基础对于平方律折射率分布的表示式为：

(2.6-1)将(2.6-1)式波动方程中，得

(2.6-2)整理得

这是一个变参量的微分方程。

(2.6-3)长春理工大学第2章光波导的理论基础

(2.6-4)称为光束半径。则(2.6-5)把它转换成标准形式的微分方程。令再令(2.6-6)长春理工大学第2章光波导的理论基础则(2.6-7)这个方程称为Weber方程。m为正整数情况下，Weber方程解为

(2.6-8)式中为Hermite多项式。如果以代替，则

(2.6-9)长春理工大学第2章光波导的理论基础当时，有(2.6-10)它们对应于正规模。用，可分别求出分量。由(2.6-6)式得(2.6-11)则(2.6-12)为特征值。长春理工大学第2章光波导的理论基础2.6.2指数律折射率分布

分析对称型波导。代表波导的轴或中心。的分布如图2.15所示。长春理工大学第2章光波导的理论基础

，即衬底的折射率与覆盖层的相同，在外，(2.6-13)即(2.6-14)

的表达式为：(2.6-15)把它代入波动方程得：(2.6-16)长春理工大学第2章光波导的理论基础方程(2.6-16)仍是一个变参量微分方程，也要进行变量变换，得到标准的微分方程。令(2.6-17)则(2.6-18)因此(2.6-19)这样方程(2.6-16)变为长春理工大学第2章光波导的理论基础(2.6-20)式中，利用(2.6-17)式，(2.6-20)可改写为(2.6-21)再令(2.6-22)长春理工大学第2章光波导的理论基础则得到标准的Bessel方程。即(2.6-23)如果m为整数，它的解为一般的Bessel函数。(2.6-24)

，代表由(2.6-22)式求出，(2.6-25)为特征值。长春理工大学第2章光波导的理论基础要点与习题1、什么是折射率渐变光波导2、推导平方律折射率分布3、推导指数律折射率分布长春理工大学第2章光波导的理论基础2.5折射率突变光波导的基本解

2.6折射率渐变光波导的基本解2.7条形光波导的基本解2.8圆柱形介质光波导的基本解

第2章光波导的理论基础长春理工大学第2章光波导的理论基础2.7.3

模式分析2.7.2

模式分析2.7.1马卡提里近似2.7.4有效折射律法2.7条形光波导的基本解长春理工大学第2章光波导的理论基础平面光波导的电磁场仅在一个方向受到限制，而光场在另一方向不受限制，因而，光场在介质平面光波导中传播时，要沿非束缚方向发散。可以利用薄膜透镜使发散光束聚焦，但仍然受到衍射极限的限制，难以构成好的光路系统。在实际的集成光路中，经常使用的是能在横截面的二维方向上限制光场能量的条形（矩形）介质波导。由于矩形介质波导牵涉到复杂的二维电磁场问题，要得到严格的解析解十分困难。本节只介绍几种近似的解析法。

长春理工大学第2章光波导的理论基础2.7.1马卡提里近似

马卡提里（Marcatili）分析的是一种普通的结构，这种结构允许矩形芯子四周的材料都不相同，如图2.16所示。长春理工大学第2章光波导的理论基础

(2.7-1)每个区域的波数用表示，它们与各分量的关系由下式确定：Marcatili近似分析的关键假设有两条1）假设矩形介质波导中传播的模式处于远离截止的条件。即导模的大部分功率将只在波导芯子中传播。漏出芯子外面的功率很少，而进入四个阴影区的功率更弱。得到下列关系：(2.7-2)长春理工大学第2章光波导的理论基础2）假设四个包层区域的折射率n2、n1、n4和n5仅比芯子的折射率n1略小一些。这个假设也称为弱导条件。于是存在下属关系：(2.7-3)这个条件保证了在波导芯子中传播的是掠射光线，即入射角非常大。入射光线几乎与传播轴平行。由于这个弱导条件，矩形介质波导中的传播模式可分为两种类型，即和，上角标表示电场的主要偏振方向，下标中的模序数m、n分别代表电磁场沿x轴和y轴变化而具有极值的数量。长春理工大学第2章光波导的理论基础类似于平面光波导波动理论的方法，设电磁场随时间t和空间轴z的变化仍为，对于导模有(2.7-4)根据麦氏方程可以导出矩形波导中电磁场直角坐标分量所满足的波动方程为：

(2.7-5)根据近似条件可写出各个区域中电磁场分量的函数形式，因是模的主要横场分量。故有2.7.2模式分析长春理工大学第2章光波导的理论基础

(2.7-6)式中均为常数振幅因子，为任意位相因子。代入到波动方程可得到以下几个关系式：(2.7-7)长春理工大学第2章光波导的理论基础对于导模，参量和都是正整数。利用麦克斯韦方程可以得到

(2.7-8)和(2.7-9)长春理工大学第2章光波导的理论基础由式(2.7-8)和式(2.7-9)可以得到以下两个方程组(2.7-10)和

(2.7-11)长春理工大学第2章光波导的理论基础由(2.7-11)式的第三式得(2.7-12)将上式再代入(2.7-10)式的第二式得(2.7-13)利用，可以得到(2.7-14)长春理工大学第2章光波导的理论基础因此，得到(2.7-15)根据麦氏方程，并设。可推得和其他电磁场分量与的关系式：(2.7-16)

(2.7-17)由第二条假设可知，，因此，不难验证属于模的主要电磁场分量是和。长春理工大学第2章光波导的理论基础利用处，和的切向连续的条件，可得(2.7-18)(2.7-19)由以上两式相除可以得到(2.7-20)

同理，在处，可得

(2.7-21)长春理工大学第2章光波导的理论基础

(2.7-22)利用三角函数的周期性，可将上式改写为如下形式

(2.7-23)由(2.7-1)、(2.7-2)、(2.7-4)可知

(2.7-24)可见(2.7-23)式实际上是关于的方程。长春理工大学第2章光波导的理论基础在处，利用和在边界上连续的条件，可得(2.7-25)式中(2.7-26)可见(2.7-25)式是关于的方程。长春理工大学第2章光波导的理论基础由(2.7-23)和(2.7-25)构成的方程组，称为矩形介质波导模的本征方程。它们是超越方程，可利用计算机求解。由于电磁场功率大部分集中在波导芯子区域，只有极少量功率漏出芯区。这说明、、、四个衰减系数都比较大。因而，由(2.7-24)、(2.7-26)得，(2.7-27)即，(2.7-28)长春理工大学第2章光波导的理论基础式中(2.7-29)有了上述近似条件，可把超越方程(2.7-23)、(2.7-25)改写成近似封闭的形式，这是因为：

(2.7-30)(2.7-31)同样，长春理工大学第2章光波导的理论基础把以上两式代入(2.7-23)式得(2.7-32)按同样步骤，可得(2.7-33)再由波矢量的定义，可得矩形介质波导中传播常数：

(2.7-34)长春理工大学第2章光波导的理论基础因为，是模的主要横场分量，故有：2.7.3模式分析

(2.7-35)代入到波动方程得到：(2.7-36)长春理工大学第2章光波导的理论基础(2.7-37)(2.7-38)(2.7-39)(2.7-40)(2.7-41)注意到可推得其它电磁场分量：长春理工大学第2章光波导的理论基础利用处，和连续和处，和连续，就可以求出矩形介质波导模的本征方程。(2.7-42)和(2.7-43)长春理工大学第2章光波导的理论基础2.7.4有效折射律法有效折射律法是将矩形光波导看作是两个一维介质平面光波导的组合，如图2.17所示。长春理工大学第2章光波导的理论基础这两个平面波导并不是完全独立的，其中a）所示的介质平面波导薄膜层的折射率与矩形介质波导芯子的折射率相同，均为，而b）所示的介质平面波导薄膜层的折射率为a）所示波导的有效折射率。

值由下式决定：

(2.7-44)长春理工大学第2章光波导的理论基础1、模式本征方程。对于，主要电磁场分量是和，从图2.17可以看出，这种场相当于TM横波。则两平面波导的模式本征方程：(2.7-45)和(2.7-46)式中(2.7-47)长春理工大学第2章光波导的理论基础值得注意的是，在马卡提里近似分析中，两个介质平面波导是同等重要的，它们的作用视为介质波导提供各自的横向传播常数和。而在有效折射律法中，两个平面波导所处的地位是不同的。（a