2016考研全国统考数学三习题集（附解析版）

2016考研全国统考数学三习题集（附解析版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置上。）1.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)=3f(0)。若对任意的x∈(0,1)，有f′(x)≥2f(x)，则f(x)在(0,1)内的最小值不小于________。A.2eB.3eC.2e^2D.3e^2解析：由拉格朗日中值定理，对任意x∈(0,1)，存在ξ∈(0,x)使得f(x)-f(0)=f′(ξ)x。由f′(x)≥2f(x)，得f′(ξ)≥2f(ξ)，即f(x)-f(0)≥2f(ξ)x≥2f(0)x。由f(1)=3f(0)，得f(0)=3/4，从而f(x)≥3/4x+3/4=3/4(x+1)。当x=1/2时，f(x)取最小值3/4(3/2)=9/8，而2e^2≈7.389>9/8，因此最小值不小于2e^2。2.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶实对称正定矩阵，且满足a_{11}=2，a_{12}=a_{13}=a_{23}=1/2，则矩阵A的特征值之和为________。A.3B.4C.5D.6解析：由正定矩阵性质，特征值之和等于主对角线元素之和。设A=（1/21/21/2;1/211/2;1/21/21），计算行列式|λE-A|=(λ-1)^2(λ-3)=0，得特征值为1,1,3，和为5。3.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,2)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=2X-Y的分布函数F(z)在z=2时的值为________。A.0.1587B.0.8413C.0.5D.0.3413解析：由独立正态分布性质，Z～N(2,5)，标准正态分布表查得Φ(0.8944)=0.8147，而F(2)=P(Z≤2)=P((Z-2)/√5≤(2-2)/√5)=P(U≤0)=0.5+0.3147=0.8147，最接近选项B。4.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足∫_0^1f(t)dt=1，则函数F(x)=∫_0^x(∫_0^tf(s)ds)dt在(0,1)内的导数为________。A.f(x)^2B.f(x)C.∫_0^xf(t)dtD.∫_0^xf(s)ds解析：由分部积分法，F′(x)=f(x)∫_0^xf(t)dt。由积分中值定理，存在ξ∈(0,x)使得∫_0^xf(t)dt=f(ξ)x=1，从而F′(x)=f(x)。5.已知微分方程y''-4y'+4y=0的通解为y=(C_1+C_2x)e^{2x}，则方程y''-4y'+4y=xe^{2x}的特解形式为________。A.x^2e^{2x}B.(Ax^2+Bx)e^{2x}C.(Ax+B)e^{2x}D.xe^{2x}解析：齐次方程通解已给出，非齐次方程特解设为y_p=(Ax^2+Bx)e^{2x}，代入原方程得(Ax^2+(4A+2B)x+2B)e^{2x}-(4Ax^2+(4A+4B)x+2B)e^{2x}+(4Ax^2+4Bx)e^{2x}=xe^{2x}，比较系数得A=1/2，B=-1/2，特解为(1/2x^2-x)e^{2x}，即选项B。6.已知函数f(x)在[0,π]上连续，且满足∫_0^πf(x)cosxdx=0，则函数f(x)在(0,π)内至少存在一个点ξ，使得________。A.f(ξ)=0B.f(ξ)cosξ=0C.f(ξ)+f(π-ξ)=0D.f(ξ)sinξ=0解析：由积分中值定理，存在ξ∈(0,π)使得f(ξ)∫_0^πcosxdx=0，即f(ξ)×2sinπ=0，得f(ξ)=0。7.已知向量组α_1=(1,1,1)，α_2=(1,2,3)，α_3=(1,3,6)，则该向量组的秩为________。A.1B.2C.3D.无法确定解析：由行列式|111;123;136|=1×(2×6-3×3)-1×(1×6-3×1)+1×(1×3-2×1)=0，向量组线性相关，秩为2。8.已知事件A与B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则事件A与B至少有一个发生的概率为________。A.0.3B.0.6C.0.9D.1解析：由互斥事件性质，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.3=0.9。9.已知随机变量X的密度函数f(x)=（λe^{-λx}x≥0;0x<0，则P(X>1/λ)的值为________。A.1/eB.1-1/eC.eD.1解析：P(X>1/λ)=∫_{1/λ}^∞λe^{-λx}dx=e^{-1}=1/e。10.已知函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=0，f(1)=1，则对于任意的x∈(0,1)，存在ξ∈(0,1)使得________。A.f(ξ)=ξB.f(ξ)=2ξC.f(ξ)=ξ^2D.f(ξ)=ξ^3解析：设g(x)=f(x)-x，则g(0)=0，g(1)=-1，由连续函数介值定理，存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=ξ。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置上。）1.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=1，f(1)=2，则对任意的x∈(0,1)，存在ξ∈(0,1)使得________。参考答案：f(ξ)=3ξ解析：设g(x)=f(x)-3x，则g(0)=1，g(1)=-1，由介值定理，存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=3ξ。2.已知矩阵A=（10