高中数学 加练 专题5　第50练　复　数

第50练复数(分值：53分)一、单项选择题(每小题5分，共25分)1.设i是虚数单位，若复数z满足(2+i)z=1-i，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析假设z=a+bi(a，b∈R)，则(2+i)z=(2+i)(a+bi)=2a-b+(2b+a)i=1-i，所以2a-故z=15-35i，复数z在复平面内对应的点为12.若复数z满足(1+i)z=|1+i|，则z的虚部为()A.-2i B.-22 C.22i D答案D解析由(1+i)z=|1+i|=2，得z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=22所以z=22+22i，即z的虚部为3.如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3+5i，则顶点B对应的复数是()A.-2+8iB.2-8iC.-1+7iD.-2+7i答案A解析由题意得OA=(3，5)，不妨设C点对应的复数为a+bi(a<0，b>0)，则OC=(a，b)，由OA⊥OC，|OA|=|OC|，得a2+即C点对应的复数为-5+3i，由OB=OA+OC得B点对应的复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.4.已知i为虚数单位，6x=|22-4i|，6y=20i8+2i6，则x+y等于()A.32 B.12+logC.3+log62 D.5答案D解析因为6x=|22-4i|=(22)26y=20i8+2i6=20-2=18，所以6x·6y=26×18=366，则6x+y=62+12，故x+y5.欧拉公式exi=cosx+isinx由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论领域占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中不正确的是()A.e2πB.eπC.eπi3D.eπ6i的共轭复数为1答案D解析对于A，e2π3i=cos2π3+isin2π3=-12对于B，eπ2i=cosπ2+isinπ对于C，eπi3+i=cosπ+isinπ3+i=-13+i=-对于D，eπ6i=cosπ6+isinπ6=32+12i，所以eπ6二、多项选择题(每小题6分，共18分)6.已知复数z的共轭复数是z，(1-i)z=1+i，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A.z2026=4B.z·z的虚部是0C.|z·z+2z|=5D.z·z+2z在复平面内对应的点在第四象限答案BC解析由题意知z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2z2026=i2026=i2=-1，A错误；z·z=1，虚部是0，B正确；|z·z+2z|=|1+2i|=12+22=z·z+2z=1+2i在复平面内对应的点为(1，2)，在第一象限，D错误.7.已知复数z1，z2的共轭复数分别为z1，z2，则下列命题为真命题的是(A.z1+z2B.z1zC.若z1-z2>0，则z1>z2D.若z1+z22=z12+z22答案ABD解析设z1=a+bi，z2=c+di，且a，b，c，d∈R，则z1=a-bi，z2=c-d对A，z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i，z1+z2=a+c-(b+d)所以z1+z2=a+c-(b+d)i，所以z1+z对B，z1z2=(a+bi)(c+di)=(acz1z2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(bc+ad)i对C，当z1=1+2i，z2=2i时，满足z1-z2=1>0，但不能得出z1>z2，故C错误；对D，z1+z22=(z1+z2)(z1+z2)=(z1+z2)(z1+z2)=z1z1=z12+z22+z1z2+z1z2=|z1|2+|z2|2，故z1z2+z8.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是()A.z2=|z|2B.若|z|=1，则|z-1-i|的最大值为2+1C.若z=(1-2i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限D.若1-3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则q=-9答案BC解析对于A，设z=a+bi(a，b∈R)，则|z|2=a2+b2，z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi，z2≠|z|2，A错误；对于B，由|z|=1知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上，|z-1-i|可看作该单位圆上的点到点(1，1)的距离，则距离的最大值为2+1，B正确；对于C，z=(1-2i)2=-3-4i，z=-3+4i，则复平面内z对应的点位于第二象限，C正确；对于D，依题意，(1-3i)2+p(1-3i)+q=0，整理得(p+q-8)+(-3p-6)i=0，而p，q∈R，因此p+q-8=0，-3三、填空题(每小题5分，共10分)9.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1-z2|=.答案23解析方法一设z1=a+bi(a∈R，b∈R)，z2=c+di(c∈R，d∈R)，∴z1+z2=a+c+(b+d)i=3+i，∴a又|z1|=|z2|=2，∴a2+b2=4，c2+d2=4，∴(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4，∴ac+bd=-2，∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|=(a-=8+4=23.方法二如图所示，设复数z1，z2所对应的向量分别为OZ1，OZ2，OP=由已知|OP|=3+1=2=|OZ1|=|O∴平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是等边三角形，∴∠Z1OZ2=120°，由余弦定理得|Z2Z1|2=|OZ1|2+|OZ2|2-2|OZ1||OZ2|cos120°=22∴|z1-z2|=|Z2Z110.已知i为虚数单位，且|z+1-2i|=2，则|z|的最大值是.答案5+2解析依题意，设z=a+bi(a，b∈R)，由|z+1