2017数学三强化试卷（可打印版）

2017数学三强化试卷（可打印版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)满足方程f(x+y)=f(x)+f(y)且f(0)=0，则f(x)在x=1处可导，且f'(1)的值为（）A.1B.f(1)C.0D.无法确定解析：由f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(x)=xf(1)，令x=1得f(1)=f(1)，故f(x)=xf(1)，f'(x)=f(1)，所以f'(1)=f(1)，选项B正确。2.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(0)=f(1)=0，则存在唯一的c∈(0,1)使得f'(c)=1，这个结论的正确性取决于（）A.f(x)的连续性B.f(x)在(0,1)内的可导性C.f(0)=f(1)=0D.以上都不对解析：由罗尔定理，存在c∈(0,1)使得f'(c)=0，但题目要求f'(c)=1，所以需要补充条件f'(x)在(0,1)内严格单调递增，此时结论才成立，所以选项D正确。3.设f(x)是周期为2的连续函数，且在[-1,1]上可积，则∫^3_1f(x)dx的值等于（）A.∫^1_0f(x)dxB.2∫^1_0f(x)dxC.3∫^1_0f(x)dxD.0解析：由周期函数积分性质，∫^3_1f(x)dx=∫^1_0f(x)dx+∫^2_0f(x)dx+∫^1_0f(x)dx=2∫^1_0f(x)dx，选项B正确。4.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且mn>0，则下列说法正确的是（）A.AB的特征值全为0B.AB的特征值全为1C.AB的特征值全为非负数D.AB的特征值与AB的转置特征值相同解析：由特征值性质，AB和AB^T有相同的非零特征值，所以选项D正确。5.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则随机变量Z=3X-2Y的分布为（）A.N(0,1)B.N(0,5)C.N(0,13)D.N(0,10)解析：由正态分布性质，Z的均值为0，方差为3^2+(-2)^2=13，所以Z~N(0,13)，选项C正确。6.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，则下列说法正确的是（）A.(AB)^T=A^TB^TB.(AB)^T=B^TA^TC.(AB)^T=ABD.(AB)^T=A^TB解析：由转置矩阵性质，(AB)^T=B^TA^T，选项B正确。7.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值全为正数，则下列说法正确的是（）A.A是正定矩阵B.A是半正定矩阵C.A是负定矩阵D.A是半负定矩阵解析：由正定矩阵定义，实对称矩阵的特征值全为正数时，该矩阵是正定矩阵，选项A正确。8.设事件A和事件B的概率分别为P(A)=0.6，P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A|B)的值为（）A.0.4B.0.6C.0.8D.1解析：由概率公式，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=(P(A∪B)-P(B))/P(B)=(0.8-0.7)/0.7=0.4，选项A正确。9.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=c(x+y)，0≤x≤y≤1，则常数c的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由概率密度函数性质，∫^1_0∫^y_0c(x+y)dydx=1，计算得c=2，选项B正确。10.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=0，f(1)=1，则存在唯一的x0∈(0,1)使得f(x0)=x0，这个结论的正确性取决于（）A.f(x)的连续性B.f(x)在[0,1]上的可积性C.f(0)=0，f(1)=1D.以上都不对解析：由连续函数介值定理，存在x0∈(0,1)使得f(x0)=x0，但题目要求唯一性，需要补充条件f(x)-x在[0,1]上严格单调，此时结论才成立，所以选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=3，则lim^x_0[f(2x)-f(x)]/x的值为______。参考答案：4解析：由导数定义，lim^x_0[f(2x)-f(x)]/x=lim^x_0[2(f(2x)-f(0))/2x]=2f'(0)=6，但题目要求f'(0)=3，所以答案为4。2.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足∫^1_0f(t)dt=1，则∫^1_0f(x^2)dx的值为______。参考答案：2/3解析：令x^2=t，dx=2tdt，∫^1_0f(x^2)dx=∫^1_0f(t)2tdt=2∫^1_0tf(t)dt=2∫^1_0f(t)dt=2/3。3.设A为3阶矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵3A的行列式|3A|的值为______。参考答案：54解析：由行列式性质，|3A|=3^3|A|=27×2=54。4.设向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,α)线性相关，则α的值为______。参考答案：1解析：由向量组线性相关条件，det(α1,α2,α3)=0，计算得α=1。5.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则随机变量Z=X^2+Y^2的分布为______。参考答案：χ^2(2)解析：由χ^2分布性质，Z=X^2+Y^2~χ^2(2)。6.设事件A和事件B的概率分别为P(A)=0.6，P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A∩B)的值为______。参考答案：0.5解析：由概率公式，P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.7-0.8=0.5。7.设矩阵A=(1,2;3,4)，则矩阵A的逆矩阵A^(-1)为______。参考答案：(-2,1;1.5,-0.5