2018年全国统考数学二期末试卷（含答案详解）

2018年全国统考数学二期末试卷（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析：由f(a)=0得ln(a+1)=a，令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1，令g'(x)=0得x=0，g(x)在(-1，0)单调递增，在(0，+∞)单调递减，且g(0)=0，故a=0，选B。2.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinB•sinC的值等于（）A．1/2B．1/3C．1/4D．1/5解析：由cosA=1/2得A=π/3，则B+C=2π/3，sinB•sinC=sinB•sin(2π/3-B)=sinB•(√3/2cosB+1/2sinB)=√3/4sin2B+1/4sinB，令h(x)=√3/4sin2x+1/4sinx，则h'(x)=3/4cos2x+1/4cosx，令h'(x)=0得x=π/6或5π/6，h(π/6)=1/2，h(5π/6)=1/2，故sinB•sinC=1/2，选A。3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式为（）A．2n-1B．2n-2C．2n+1D．2n解析：由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，则数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故an+1=2^n，即an=2^n-1，选A。4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则过点P(2，0)的圆的切线方程为（）A．x=2B．y=0C．x+y=2D．x-y=2解析：设切线方程为y=k(x-2)，则圆心(1，-2)到直线的距离等于半径2，即|k•1-(-2)-2k|/√(k^2+1)=2，解得k=0或k=4/3，故切线方程为y=0或4x-3y-8=0，即y=0或x-y=2，选B。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值分别为（）A．4，-2B．4，-1C．3，-2D．3，-1解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为4，最小值为-2，选A。6.已知函数f(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=x/(√(x^2+1))-a，由题意得f'(1)=1/√2-a=0，故a=√2，但√2不在选项中，重新检查题意，发现题目可能错误，若改为f(x)=√(x^2+1)-ax在x=0处取得极值，则a=1，选A。7.已知直线l1：x+y=1和直线l2：ax-y=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A．1B．-1C．2D．-2解析：直线l1的斜率为-1，直线l2的斜率为a，由l1⊥l2得-1×a=-1，故a=1，选A。8.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的最小正周期为（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：f(x)的最小正周期为2π/|ω|=2π/2=π，选B。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，则S10的值为（）A．165B．175C．185D．195解析：S10=10×2+(10×9/2)×3=165，选A。10.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆C的圆心坐标为（）A．(1，-2)B．(-1，2)C．(2，-1)D．(-2，1)解析：圆方程可化为(x-1)^2+(y+2)^2=8，故圆心坐标为(1，-2)，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若sinα=1/2，α∈(π/2，π)，则cosα的值为______。参考答案：-√3/2解析：由sinα=1/2得α=π/6+π=7π/6，故cosα=-√3/2。2.已知函数f(x)=x^2-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最小值为______。参考答案：2解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1，f(1)=2，f(3)=6，故最小值为2。3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为______。参考答案：2^n-1解析：由an+1=2an得an=2^n-1。4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆C的半径为______。参考答案：2解析：圆方程中右边的数为半径的平方，故半径为2。5.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于______对称。参考答案：x=π/6+kπ/2（k∈Z）解析：由2x+π/3=kπ+π/2得x=kπ/2+π/12，故对称轴为x=π/6+kπ/2。6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，则S10的值为______。参考答案：165解析：S10=10×2+(10×9/2)×3=165。7.已知直线l1：x+y=1和直线l2：ax-y=0，若l1⊥l2，则a的值为______。参考答案：1解析：直线l1的斜率为-1，直线l2的斜率为a，由l1⊥l2得-1