【2015考研】全国统考数学三专项训练（含答案详解）

【2015考研】全国统考数学三专项训练（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设函数f(x)在区间I上连续，则下列关于f(x)在区间I上可积的命题中，正确的是（）A.若f(x)在区间I上只有有限个第一类间断点，则f(x)在区间I上不可积B.若f(x)在区间I上存在无穷多个第一类间断点，则f(x)在区间I上不可积C.若f(x)在区间I上存在间断点，则f(x)在区间I上不可积D.若f(x)在区间I上单调有界，则f(x)在区间I上不可积【解析】本题考查定积分的可积性。根据定积分的可积性定理，函数f(x)在区间I上可积的充要条件是f(x)在区间I上几乎处处连续，或者等价地，f(x)在区间I上只有有限个第一类间断点。选项A错误，因为第一类间断点不影响可积性；选项B错误，因为存在无穷多个第一类间断点仍可能可积；选项C错误，因为间断点不一定是第一类间断点；选项D正确，因为单调有界函数一定可积。故正确答案为D。2.设函数f(x)在点x=0处可导，且满足f(0)=0，则极限lim_{x→0}（f(x)-f(0)）/x²的值为（）A.f'(0)²B.2f'(0)C.f'(0)D.0【解析】本题考查导数的定义和极限计算。根据导数定义，f'(0)=lim_{x→0}（f(x)-f(0)）/x。将极限表达式变形为lim_{x→0}（f(x)-f(0)）/x²=f'(0)•lim_{x→0}1/x，由于lim_{x→0}1/x不存在，但原极限存在，因此必须有f'(0)=0。故极限值为0，正确答案为D。3.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则下列关于f(x)在区间(0,1)上性质的命题中，正确的是（）A.若f(x)在区间(0,1)上单调递增，则f(x)在区间(0,1)上存在零点B.若f(x)在区间(0,1)上单调递减，则f(x)在区间(0,1)上存在零点C.若f(x)在区间(0,1)上不单调，则f(x)在区间(0,1)上存在零点D.若f(x)在区间(0,1)上不单调，则f(x)在区间(0,1)上不存在零点【解析】本题考查零点存在性定理。根据零点存在性定理，若函数在闭区间[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=0。选项A和B错误，因为单调函数未必有零点（如f(x)=x^2在[0,1]上单调递增但只在x=0处取零）；选项C正确，因为不单调的连续函数必有波动，根据介值定理必有零点；选项D错误，不单调的函数可能存在多个零点。故正确答案为C。4.设函数f(x)在区间I上连续可导，且f'(x)在区间I上单调递减，则下列关于f(x)在区间I上性质的命题中，正确的是（）A.若f'(x)在区间I上恒正，则f(x)在区间I上严格凹B.若f'(x)在区间I上恒负，则f(x)在区间I上严格凸C.若f'(x)在区间I上单调递减，则f(x)在区间I上严格凹D.若f'(x)在区间I上单调递减，则f(x)在区间I上严格凸【解析】本题考查函数凹凸性的判定。根据函数凹凸性的定义，若f''(x)<0，则f(x)严格凹；若f''(x)>0，则f(x)严格凸。由于f'(x)单调递减，则f''(x)≤0。选项A和B错误，因为f'(x)恒正或恒负与凹凸性无关；选项C正确，因为f''(x)≤0意味着f(x)严格凹；选项D错误，因为f''(x)≤0意味着f(x)严格凹而非严格凸。故正确答案为C。5.设函数f(x)在区间I上连续可导，且满足f'(x)≠0，则下列关于f(x)在区间I上性质的命题中，正确的是（）A.若f(x)在区间I上严格单调递增，则f(x)在区间I上严格凹B.若f(x)在区间I上严格单调递减，则f(x)在区间I上严格凸C.若f(x)在区间I上严格凹，则f(x)在区间I上严格单调递增D.若f(x)在区间I上严格凸，则f(x)在区间I上严格单调递减【解析】本题考查函数单调性与凹凸性的关系。根据函数单调性与凹凸性的关系，严格单调递增的函数未必严格凹（如f(x)=x^3在(-∞,∞)上严格单调递增但凹凸性变化）；严格单调递减的函数未必严格凸；严格凹的函数未必严格单调递增；严格凸的函数未必严格单调递减。选项A错误，因为严格单调递增的函数凹凸性不确定；选项B错误，因为严格单调递减的函数凹凸性不确定；选项C错误，因为严格凹的函数未必严格单调递增；选项D正确，因为严格凸的函数斜率单调递减，若f'(x)≠0则必有严格单调递减。故正确答案为D。6.设函数f(x)在区间I上连续，且满足f(0)=0，f(x)≠0对x∈(0,1)，则下列关于f(x)在区间(0,1)上性质的命题中，正确的是（）A.若f(x)在区间(0,1)上单调递增，则f(x)在区间(0,1)上严格凹B.若f(x)在区间(0,1)上单调递减，则f(x)在区间(0,1)上严格凸C.若f(x)在区间(0,1)上严格凹，则f(x)在区间(0,1)上严格单调递增D.若f(x)在区间(0,1)上严格凸，则f(x)在区间(0,1)上严格单调递减【解析】本题考查函数单调性与凹凸性的关系。根据函数单调性与凹凸性的关系，严格单调递增的函数未必严格凹（如f(x)=x^3在(0,1)上严格单调递增但凹凸性变化）；严格单调递减的函数未必严格凸；严格凹的函数未必严格单调递增；严格凸的函数未必严格单调递减。选项A错误，因为严格单调递增的函数凹凸性不确定；选项B错误，因为严格单调递减的函数凹凸性不确定；选项C错误，因为严格凹的函数未必严格单调递增；选项D正确，因为严格凸的函数斜率单调递减，若f'(x)≠0则必有严格单调递减。故正确答案为D。7.设函数f(x)在区间I上连续可导，且满足f'(x)在区间I上单调递增，则下列关于f(x)在区间I上性质的命题中，正确的是（）A.若f'(x)在区间I上恒正，则f(x)在区间I上严格凸B.若f'(x)在区间I上恒负，则f(x)在区间I上严格凹C.若