【2017考研】全国统考数学一习题集（5套全）

【2017考研】全国统考数学一习题集（5套全）一、单项选择题（总共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论中错误的是（）在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f''(ξ)=0。在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0或f''(ξ)不存在。在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)的符号与f(b)-f(a)的符号相反。【答案】B【解析】根据罗尔定理，若f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0，故选项A正确。根据泰勒公式，f(x)在(a,b)内的高阶导数不一定为零，因此选项B错误。根据导数的零点定理，若f(x)在(a,b)内可导且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0或f''(ξ)不存在，故选项C正确。根据柯西中值定理，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)≠f(b)，则至少存在一点ξ，使得f'(ξ)的符号与f(b)-f(a)的符号相反，故选项D正确。2.设函数f(x)在点x0处可导，且lim(x→x0)f(x)/x=2，则f'(x0)的值为（）2x021/x0无法确定【答案】B【解析】根据导数的定义，f'(x0)=lim(x→x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)。由于f(x)在点x0处可导，可将f(x)表示为f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)，代入极限式中得lim(x→x0)f(x)/x=lim(x→x0)[f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)]/x=f(x0)/x0+f'(x0)+lim(x→x0)o(x-x0)/x=2，故f'(x0)=2。3.计算不定积分∫(x^2+1)/(x^4+1)dx的值为（）arctan(x)/x+Carctan(x^2)+C1/3arctan(x^3)+C1/2arctan(x^2)+C【答案】C【解析】将积分分解为∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫(x^2+1)/[(x^2+1)^2-2x^2]dx=∫1/[(x^2+1)^2-2x^2]dx，令t=x^2，则dt=2xdx，原式=1/2∫1/(t^2+1-2t)dt=1/2∫1/[(t-1)^2]dt=1/2∫(1/(t-1)^2-1/t^2+1)dt=1/2(-1/(t-1)-1/t+arctan(t)+C)=1/3arctan(x^3)+C。4.设级数∑(n=1to∞)a_n收敛，且a_n>0，则下列级数中一定收敛的是（）∑(n=1to∞)a_n^2∑(n=1to∞)a_n/(n+1)∑(n=1to∞)√a_n∑(n=1to∞)a_n^3【答案】A【解析】由于∑(n=1to∞)a_n收敛，且a_n>0，根据比较判别法，若0≤a_n≤b_n，且∑(n=1to∞)b_n收敛，则∑(n=1to∞)a_n收敛。由于0≤a_n^2≤a_n，且∑(n=1to∞)a_n收敛，故∑(n=1to∞)a_n^2收敛。其他选项不一定收敛，例如a_n=1/n，则∑(n=1to∞)a_n收敛，但∑(n=1to∞)a_n/(n+1)发散。5.设函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,2]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）01-12【答案】B【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。计算端点和驻点的函数值：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=0，故最大值M=2，最小值m=-2，M+m=0。6.计算二重积分∬_D(x^2+y^2)dxdy，其中D是由曲线y=x^2和y=x所围成的闭区域（）1/121/61/31/4【答案】B【解析】积分区域D由y=x^2和y=x围成，联立方程得交点(0,0)和(1,1)。采用直角坐标系计算，积分区域为0≤x≤1，x^2≤y≤x，原式=∫_0^1∫_(x^2)^x(x^2+y^2)dydx=∫_0^1[x^2y+1/3y^3]_(x^2)^xdx=∫_0^1(x^3-x^4+1/3x^3-x^6)dx=∫_0^1(4/3x^3-x^4-x^6)dx=1/6。7.设函数y=y(x)由方程x^2+y^2+xy=1确定，则y'(x)在点(1,0)处的值为（）-101-2【答案】A【解析】对方程x^2+y^2+xy=1两边关于x求导，得2x+2yy'+y+xy'=0，解得y'=-2x-y/(2y+x)。在点(1,0)处，代入得y'=-2-0/(20+1)=-1。8.计算极限lim(x→0)(e^x-1-x)/(x^2+x^3)的值为（）1/210-1/2【答案】A【解析】采用洛必达法则，原式=lim(x→0)(e^x-1)/(2x+3x^2)=lim(x→0)e^x/(2+6x)=1/2。9.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则下列结论中正确的是（）存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ。存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+ξ=0。存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)-ξ=0。存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+ξ=1。【答案】A【解析】构造辅助函数g(x)=f(x)-x，则g(0)=f(0)-0=f(0)，g(1)=f(1)-1=0，且g(0)=f(0)≠f(1)-1=g(1)。由于f(x)在[