武理工高等机构学课件第5章 平面运动几何学

第五章平面运动几何学第5章平面运动几何学

5.1平面运动几何学基础5.2欧拉-萨伐里（Euler-Savary）方程5.3曲率与驻点曲线5.4平面运动几何学在机构综合中的应用学习目标速度瞬心的定义哈特曼方法平面运动几何学在机构综合中的应用5.15.25.35.4速度瞬心的定义格朗浩特-肯尼迪定理哈特曼方法的应用曲率驻点曲线欧拉-萨伐里方程的推导速度瞬心定义

从理论力学和机械原理可知：当两构件互作平面相对运动时，在任一瞬时，其相对运动都可看作绕其某一相对静止点的转动，该点称为速度瞬心，简称瞬心。由于瞬心是两构件上无相对速度的瞬时重合点，故两构件在此重合点的相对速度为零，绝对速度相等。

在机构中，运动构件相对固定构件，其瞬心的绝对速度为零，称为绝对瞬心；两构件的瞬心，其绝对速度不为零，称为相对瞬心。5.1平面运动几何学基础平面机构中瞬心的数目

由于每两个构件就有一个瞬心，所以机构中瞬心的总数应等于机构构件总数中任意两构件数的组合。

设机构中共有构件数，则根据排列与组合的原则，机构中瞬心数

可表示为5.1平面运动几何学基础格朗浩特-肯尼迪定理

三个作平面运动的构件共有三个瞬心，而且必然位于同一条直线上。格朗浩特—肯尼迪定理又称三心定理。证明：为简单起见，假设构件1固定，构件2和构件3分别与构件1铰接。

则构件2和构件1的瞬心P21位于铰链A中心处，构件3和构件1的瞬心P31位于铰链B中心处。KVk21Vk31P21P31AB123

21

315.1平面运动几何学基础格朗浩特-肯尼迪定理5.1平面运动几何学基础KVk21Vk31P21P31AB123

21

31位于两铰链中心连线（瞬心P21和P31的连线）之外的任一点K，由于构件2在K点的速度方向垂直于直线KA，构件3在K点的速度方向垂直于直线KB，直线KA不平行于直线KB，因而在K点处V1、V2方向显然不同。所以K点不是构件2、3的瞬心P23，而只有位于两瞬心P21P31连线上的点，V1与V2的方向才能一致，均垂直于AB连线。

所以构件2和构件3的瞬心P23必位于两瞬心P21P31连线上。瞬心P23在该线上的具体位置则取决于构件2的角速度和构件3的角速度的转向大小。

在确定机构各构件之间的瞬心时，通常我们可以先根据瞬心定义直接观察确定构件之间明显的瞬心，然后借助于格朗浩特—肯尼迪定理找出其余不直接联接构件间的瞬心。A12（P12）AB12P128nnM12ttP1212p12M格朗浩特-肯尼迪定理5.1平面运动几何学基础格朗浩特-肯尼迪定理5.1平面运动几何学基础若两构件1、2以转动副相联接，则瞬心位于转动副的中心;若两构件1、2以移动副相联接，则瞬心位于垂直于导线方向的无穷远处；若两构件1、2以高副相联接：(1)在接触点M处作纯滚动，则接触点M就是它们的瞬心；(2)在接触点M处有相对滑动，则瞬心位于过接触点M的公法线上。

瞬心的位置是按机构在某一瞬时位置来确定的，当机构运动时，瞬心将随机构位置的变化而变化，并连续地在各自的构件上描绘出一条曲线，这对曲线称为相对瞬心线。如果两个构件中有一个构件为机架，则在与机架相连的固定平面上的瞬心称为定瞬心线，而把在运动构件上的瞬心线称为动瞬心线。瞬心线5.1平面运动几何学基础

如图，圆盘2相对于固定平面1作纯滚动，瞬心总是与两物体的瞬时接触点相重合，直线是点在平面1上的定瞬心线，而圆弧则是点在圆盘2上的动瞬心线。图5-1瞬心线示例瞬心线5.1平面运动几何学基础

可以设想，连杆相对于机架的平面运动相当于固结在连杆上的瞬心线沿定瞬心线作无滑动的滚动。

如图所示的铰链四杆机构中，构件1、3的瞬心位于连架杆2与4的延长线的交点上，当机构运动时描绘出的曲线是固定构件1上的定瞬心线，现在设想连杆3“固定”，而构件1变成“可动”，则在构件3上描绘出一条不同的曲线，但由于对于连杆机构而言，构件1实际上是固定的，因此由瞬心在连杆3的平面所描绘出的曲线称为动瞬心线。图5-2瞬心线示例

现在分析当已知动平面上相对机架的瞬心位置P时，如何通过简便的方法求得其上A点轨迹的曲率中心问题。确定给定点轨迹的曲率中心的哈特曼方法5.1平面运动几何学基础

因此，我们可以得出下述结论：动点A，曲率中心,瞬心P一点都在同一条轨迹法线上。图5-3分析法确定曲率中心

以右图所示四杆机构的连杆平面的运动为例，首先将连杆平面相对于固定机架的运动用动瞬心线与定瞬心线的相对运动来代替，又设A与为动平面上两个无限接近的位置，当相对于滚动时，A点轨迹的法线PN与点的轨迹法线的交点必定是A点轨迹的曲率中心。确定给定点轨迹的曲率中心的哈特曼方法5.1平面运动几何学基础下面介绍如何确定构件4的瞬心：设已知动平面上A点的速度和瞬心沿定瞬心线运动的速度u(

p点的速度，只要给定起始构件的角速度就可求出）。可以按下列步骤作图。图5-4确定曲率中心的哈特曼方法

通过P点作法线的垂线，再通过u端点作法线NN的平行线，与垂线的交点就是u在法线的垂线方向分速度，联接与的端点的直线与轨迹法线的交点即瞬心亦即A点的曲率中心。确定给定点轨迹的曲率中心的哈特曼方法5.1平面运动几何学基础图5-5确定曲率中心的哈特曼方法

也就是说，动点A的速度向量端点、瞬心P的速度沿轨迹法线的分量端点与A点轨迹的曲率中心三点共线。利用以上几何关系研究平面瞬时运动性质的方法，称为哈特曼方法。

举例说明;确定给定点轨迹的曲率中心的哈特曼方法5.1平面运动几何学基础图5-6用哈特曼方法确定A点曲率中心

为确定四杆机构连杆上任意点A轨迹的曲率中心。由任意给定起始构件的角速度作出,

,，因而确定了瞬心速度u。作出垂直于NN方向的分量，联与端点的直线交NN于，即所求曲率中心。5.2欧拉-萨伐里（Euler-Savary）方程前述的分析已得出如下结论：

1.动平面相对于固定平面的瞬时运动可以用相应的动瞬心线沿瞬心线作无滑动的滚动来代替。

2.任何瞬时，动点曲率中心和瞬心P三点都一定处于A点轨迹的法线上。进一步分析轨迹法线上的这几个重要点之间的位置关系：

取两条瞬心线，且定瞬心线置于动瞬心线之下，规定瞬心P的速度指向为瞬心线切线的正方向，法线的正向由动瞬心线绕P点角速度ω方向旋转决定（总是指向动瞬心线的凹侧）。在图5-7中，指向右方，指向上方。5.2欧拉-萨伐里（Euler-Savary）方程

其中：t-n坐标系位于动平面，t，n轴方向如图所示（其正向分别沿公切线与公法线方向）由图可知：动平面上任意点A的位置可由直角坐标（x,y）或极坐标（r,θ）表示。

当动瞬心线逆时针方向相当于定瞬心线滚动一个微小角位移后，则t-n坐标系转到，A点转移到，新的瞬心位置则由P点沿定瞬心线转移到，且=-。与PA相交于，则当时是微小位移时，就是A点运动的曲率中心。图5-7两瞬心线微小位移后的几何关系

由几何关系可得:

=

从∆P可知：5.2欧拉-萨伐里（Euler-Savary）方程以上述两式相等，则得：

--=(5.1)其中：箭头表示该线段为有向线段，当A或位于P点之下时，则在该线段前需加一个负号。现引入无限小的时间间隔dt，则：

-

=-=-

(5.2)

其中：为动平面相当于定平面的转动速度：为瞬心P的速度。将式5.2代入5.1则得：

=-(5.3)

此即为欧拉-萨伐里方程式的第一种形式5.2欧拉-萨伐里（Euler-Savary）方程

其中：式5.3等号的左边是动点A的位置函数，分别表示了动点A以及轨迹曲率中心的极坐标位置：而等式左边则是一个与动点A位置无关的瞬时不变量。上式可进一步写成：

=设D=-，则：

=

（5.4）

当轨迹点的曲率中心在无穷远点时，根据欧拉-萨伐里方程5.4有：

=

即：A点的轨迹在以D为直径的圆上，该圆称为拐点圆若将

=+，=+=代入式5.4，可得：=

（5.5）此即欧拉-萨伐里方程的另一种重要形式。其中J点称为拐点圆极点。5.2欧拉-萨伐里（Euler-Savary）方程

下面用欧拉-萨伐里方程进一步分析瞬心法曲率半径与拐点圆直径间的关系，并给出动点轨迹曲率半径的表达式。

1.瞬心线曲率半径与拐点圆直径间的关系动瞬心线和定瞬心线在P点相切的瞬时，其在P点的曲率中心分别在n轴的和上，曲率半径分别为和，且=，=，动点所描述的轨迹的曲率中心应为。将和取代式5.4的A和，且此时=，可得：

=（5.6a）或

=（5.6b）式中，，分别表示瞬心线，在P点的曲率，D表示拐点圆的直径。5.2欧拉-萨伐里（Euler-Savary）方程图5-8几个特征圆之间的几何关系2.动点轨迹的曲率半径动平面上任意点A的曲率半径可以通过图5-8中的尺寸关系得到。由欧拉-萨伐里方程有：式中，为动点的轨迹的曲率半径。上式可以整理为：（5.7）

5.3曲率驻点曲线

曲率驻点曲线方程：一个刚体（例如机构的一个构件）的运动可以由动瞬心线在定瞬心线上的纯滚动来描述。动系上任一点的轨迹的曲率关系可以通过引入瞬心线的切线t和法线n由欧拉-萨瓦利方程来确定。这里t和n分别是定瞬心线和动瞬心线在接触点P的切线和法线。

动平面上的点在参考坐标系中的轨迹曲线的曲率半径是变化的。在轨迹曲线的驻点曲率半径变化率为0，即=0，这里表示曲率半径对距离的导数。也可以用曲率的变化率表示为=0，其中

K=（5.8）

S表示A点轨迹的弧长。设=5.3曲率驻点曲线此处表示瞬心线上的无限小间隔（对应于），规定瞬心线在P点附近必须是连续的，且具有准确的曲率。因此0，这样我们就可以由=0的条件出发去讨论曲率驻点存在的条件。将式(5-8)对求导，则得

运动平面上的曲率驻点必须满足=0（r0）条件，即（5.9）当瞬心P运动到时，切线方向pt也相应改变为，

5.3曲率驻点曲线由图（5-9）可以看出：

式中，为动瞬心在P点曲率半径。式（5.9）化简后得经整理得（5.10）令，（5.11）图5-9平面上各参量的几何关系5.3曲率驻点曲线则式(5.10)具有下列形式：（5.12）式中，M、N为瞬时不变量。当=0时，r=0。因此得到极坐标形式的曲率驻点曲线方程为（5.13）若以直角坐标形式表达曲率驻点曲线方程，则把=，=，=代入上式有

（5.14）5.3曲率驻点曲线曲率驻点曲线的特性：动平面上轨迹曲率为驻点的点的集合——曲率驻点曲线为一三阶曲线。一般三阶曲线的二重点不会多于一个。由式（5.14）不存在常数项和一次项，可以看出原点应为此曲线的二重点。再令其二次项xy为0，可解出x和y轴为此曲线在此二重点的切线。

曲率驻点曲线与圆应有六个交点，其中有两个为无穷远的虚圆点，因而最多只能有四个实交点。拐点圆与曲率驻点曲线的四个实交点为：在原点有三个实交点，切点两个，直交一个；原点外还有一个交点。5.3曲率驻点曲线轴点曲线（或圆心曲线）：当一构件作平面运动时，若能确定在某一瞬时平面上的曲率驻点曲线，则曲线上某一点A的轨迹与其密切圆在A点有三阶密切，或在四个无限接近的点上接触。与A点相对应的其轨迹的曲率中心为。设在动平面上的点有一转轴，则A点将沿其密切圆运动。在此时与其轨迹有三阶密切，即在极小的范围内高度逼近其原来轨迹。将曲率驻点曲线上的各点的相应曲率中心相连接，可得到一曲线，这一曲线在定系上是上述假想轴心点的轨迹，故称为轴点曲线。动平面上的动点和相应的曲率中心之间的位置关系由欧拉-萨伐里方程给出：（5.15）5.3曲率驻点曲线代入曲率驻点曲线方程有：（5.16）式中，由下面的关系式确定：（5.17）若以直角坐标形式表达轴点曲线方程，则有

（5.18）5.3曲率驻点曲线图5-10曲率驻点曲线曲线蜕化条件：对于一般情况，式（5.13）和式（5.16）都为一般三次曲线，即如图（5-10）所示的曲线形状。在特殊情况下，三次曲线分解成圆与直线或三条直线。曲线蜕化出现于以下情况：（1）当拐点圆直径为极值时，由于=0，因而=0，这时三阶曲线方程（5.13）蜕化为（5.19）（2）当D=-时，=0，曲线方程蜕化为（5.20）（3）当=0，=0时，曲线方程蜕化为，，=0

（5.21）

式中第三式为一无穷远直线5.3曲率驻点曲线鲍尔（Ball）点：动平面上曲率半径为无穷大且曲率为驻点的点，即在某瞬时的拐点圆与曲率驻点曲线在P点之外的交点称为鲍尔点。高阶驻点——无限接近位置的布尔梅斯特（Burmester）点：在动平面的任一瞬时位置，可以在其上找到几个点，其轨迹与轨迹的曲率圆四阶密切，即这样的点是五个无限接近位置的圆点。所讨论的点是轨迹曲率的高阶驻点，即=0的点。为求这些点的位置，可以对方程（5.7）求二阶导数并令其等于零，有(5.22)方程式的根给出这些点的极坐标（，）的值。以此值代入曲率驻点曲线方程，可以解得相应的值。以上方程有四个根，因此这样的点最多只有四个，称之为布尔梅斯特点。5.4平面运动几何学在机构综合中的应用

设=（，）为给定直线上的点，固定铰链点和也已知，待求点为铰链四杆机构的其它两个铰链点A和B。因为A、B和都是曲率驻点，故一定满足曲率驻点曲线方程，即

(5.23)

(5.24)(5.25)设要求直线在（，x，y）坐标系中的倾角为，选定的两个坐标系（x，y）和（t，n）之间的关系及各角度的定义如图5-11所示。坐标轴t与坐标轴x之间的夹角从x到t逆时针旋转为正。、和分别表示射线、和在坐标系（x，y）中的角度，、和表示在（t，n）坐标系中的倾角，据此有

5.4平面运动几何学在机构综合中的应用=-，=-，=-（5.26）

=，=，=（5.27）根据欧拉-萨伐里方程有，（5.28）

图5-11各角度定义5.4平面运动几何学在机构综合中的应用或写为，（5.29）以及对鲍尔点有

(5.30)这里假定拐点圆的直径D=1，因此应用上面公式时，和必须先除以另外和必须总是负值，因为它们与和所表示的方向相反。把式（5.29）和式（5.30）代入式（5.23）、式（5.24）和式（5.25），有

（5.31）

（5.32）

（5.33）5.4平面运动几何学在机构综合中的应用在以上各式中，如果固定铰链点和以及瞬心P(在给定直线的法线上)事先给定，只有M、N和为未知数，为了简化上述方程引入下列符号：，，