2027届高中数学一轮复习第八章解析几何第一节直线与方程学案（教师用）

第一节直线与方程新课标要求真题分布1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．3．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．4．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．5．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2025年全国Ⅰ卷T7必备知识·回归教材清单式排查彰显一个“准”知识导图【重要结论】直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0A12+B12≠0与l2：A2x+B2y+C2＝0A22+B22≠0的交点的直线系方程为A1x＋B回归教材1．(多选)(人教A版选修一P67习题T7)经过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()A．3x－2y＝0 B．3x＋2y＝0C．x＋y－5＝0 D．x－y－5＝02．(人教A版选修一P67习题T8(1))经过点A(3，2)，且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程为()A．4x－y－14＝0B．x＋4y－14＝0C．4x＋y－14＝0D．x－4y＋14＝03．(人教A版选修一P80习题T14)已知A(－3，－4)，B(6，3)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a＝()A.－13 B．－C．－13或－79 D．14．(人教A版选修一P68习题T13)一条光线从点P(6，4)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线方程为()A．x＋y－2＝0B．x－y－2＝0C．x＋y＋2＝0D．x－y＋2＝0多元视角·拓展教材探究式精练收获一个“赢”视角一直线的方程1．过点P(1，2)且直线的方向向量为a＝(－1，2)的直线方程为()A．2x＋y－4＝0B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋4＝02．直线l过点P(3，2)，与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则△ABO的面积取得最小值时直线l的方程为()A．2x＋3y－6＝0 B．2x＋3y＋12＝0C．x＋2y－6＝0 D．2x＋3y－12＝03．已知△ABC中，A(4，－6)，B(6，－2)，线段CA，CB的中点分别在x轴、y轴上，则AB边上的中线所在的直线的方程为__________________．(结果用一般式表示)学霸笔记：(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式；(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．视角二两直线的位置关系例1(1)(2026·绵阳模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0与l2：x＋ky－3＝0垂直，则实数k的值为()A．2B．－2C．12D．－(2)(多选)若三条直线l1：4x＋y＋4＝0，l2：mx＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成三角形，则m的取值可以为()A．0B．－1C．1D．4学霸笔记：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．跟踪训练(1)(2026·长沙模拟)已知直线l1：(2a＋1)x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋ay＋2＝0，则“a＝1或a＝0”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝2x＋4上有一点Q，A(－5，0)，若∠AQO＝90°，则点Q的坐标为________．视角三距离问题例2(1)A为直线l1：x＋y－1＝0上一点，直线l2经过点1，-32且与y＝x垂直，点B在l2上移动，则A．324 C．1 D．0(2)若直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________．学霸笔记：(1)求解一个点到直线的距离时，不要忘记直线斜率不存在的情况．(2)求两条平行直线间的距离时，应先将直线方程化为x，y对应系数相等的一般方程．跟踪训练(1)点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是()A．2 B．2－2C．2＋2 D．4(2)直线l经过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行，则直线l，l3间的距离为________．视角四对称问题例3(1)直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是()A．2x－y－5＝0B．2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0D．2x＋y＋5＝0(2)已知点M(2，0)，N(－2，－4)，有一点P在直线l：x＝2y－8上运动，当|PM|＋|PN|取得最小值时，则点P的坐标为________．学霸笔记：(1)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．(2)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．跟踪训练(1)直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线方程为()A．7x－y－22＝0B．7x＋y＋22＝0C．6x－y＋22＝0D．6x＋y＋22＝0(2)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过点()A．(14，2)B．(14，1)C．(13，2)D．(13，1)提示：请完成课时作业46第一节直线与方程必备知识·回归教材回归教材1．解析：当截距为零时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为零时，设所求直线的方程为xa+ya＝1，将(2，3)代入得2a+3a＝1，解得a＝5，所以直线方程为x5+y5＝1，即答案：AC2．解析：经过点A(3，2)且与直线4x＋y－2＝0平行的直线的斜率为－4，所求直线方程为y－2＝－4(x－3)，即4x＋y－14＝0.故选C.答案：C3．解析：由题意得-3a-4+1a2+1＝6a+3+1a2+1，于是3a+3＝|6a＋4|，所以27a2答案：C4．解析：由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q(2，0)和P(6，4)关于x轴的对称点M(6，－4)，其直线方程为y-0-4-0＝x-26-2，即答案：A多元视角·拓展教材视角一1．解析：由直线的方向向量为a＝(－1，2)，可得直线的斜率为k＝－2，又由直线过点P(1，2)，由点斜式方程得y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.答案：A2．解析：设直线方程为xa+yb＝1(a>0，b>0)，把点P(3，2)代入得3a+2b＝1≥23a×2b，可得ab≥24，从而S△ABO＝12答案：D3．解析：设C(a，b)，则b-62＝0，a+62＝0，得a＝－6，b＝6，而线段AB的中点坐标为(5，－4)，故AB边上的中线的斜率k＝-4-65+6＝-1011，故中线所在的直线的方程为y答案：10x＋11y－6＝0视角二例1解析：(1)当k＝0时，得l2：x＝3，此时l1与l2不垂直；当k≠0时，若l1⊥l2，则2×-1k＝－1，解得(2)①三条直线交于同一点，联立方程组得4x+y+4＝0，mx+y+1＝0，x-y+1＝0，解得x＝-1，y＝0，m＝1，即m＝1.②三条直线中由两直线平行，kl1＝-4，kl2＝-m，kl3＝1，∵kl1≠kl3答案：(1)A(2)BCD跟踪训练解析：(1)直线l1，l2平行或重合的充要条件是(2a＋1)a＝(a＋2)a，所以a＝0或a＝1.将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x＋y＋1＝0，l2：3x＋y＋2＝0，易知l1∥l2；将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x＋1＝0，l2：2x＋2＝0，直线l1，l2重合，故a＝0舍去．综上所述，“a＝1或a＝0”是“l1∥l2”的必要不充分条件．故选B.(2)设Q(m，2m＋4)，则kQAkOQ＝－1，即2m+4m+5·2m+4m＝－1，解得m＝－1或-165答案：(1)B(2)(－1，2)或-视角三例2解析：(1)因为直线l2经过点1，-32且与y＝x垂直，所以直线l2的斜率为－1，所以直线l2为y＋32＝－(x－1)，即x＋y＋12＝0，A为直线l1：x＋y－1＝0上一点，点B在l2上移动，则(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知2k-3+k+2k2+1＝-4k-5+k+2k2+1，即3k-1＝|－3k－3|，解得k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x答案：(1)A(2)x＋3y－5＝0或x＝－1跟踪训练解析：(1)点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离为d＝cosθ+sinθ-2cos2θ+sin2θ＝|cosθ＋sinθ－2|＝2(2)∵直线l与直线l3：3x－4y＋5＝0平行，故设l的方程为3x－4y＋m＝0，联立x-2y+4＝0，x+y-2＝0，解得x＝0，y＝2，∴P(0，2)，又∵点P在直线∴3×0－4×2＋m＝0，解得m＝8，∴直线l的方程为3x－4y＋8＝0，∴直线l，l3间的距离为8-53答案：(1)C(2)3视角四例3解析：(1)∵直线l：y＝2x＋3，∴A(0，3)，B(－1，1)在此直线上，∵A(0，3)关于点P(2，3)的对称点为C(4，3)，B(－1，1)关于点P(2，3)的对称点为D(5，5)，∴C，D所在直线的斜率为k＝5-35-4＝2，∴直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程为y－3＝2(x－4)，即2x－y(2)易知M(2，0)，N(－2，－4)均在直线l的同侧，作出点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，交直线l于P，则|PM|＝|PM′|，所以|PM|＋|PN|＝|PM′|＋|PN|≥|M′N|，当M′、P、N三点共线时取等号，即M′，P，N三点共线时，|PM|＋|PN|最小．设M′(a，b)，则ba-2·12＝-1，a+22＝2·b2-8，解得a＝-2，b＝8，即M′(－2，8)．∵N(－2，－4)，∴直线答案：(1)A(2)(－2，3)跟踪训练解析：(1)联立x-y-2＝0，3x-y+3＝0，解得x＝-52，y＝-92.则交点坐标为P-52，-92.取直线x－y－2＝0上一点A(0，－2)，