重庆市南岸区2025-2026学年高二数学下学期5月月考试题含解析

一、单选题

1.下列求导数运算正确的是

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据初等函数的导数公式，结合导数的运算法则，对四个选项逐一判断即可.

【详解】因为,错;,错；，错；

因为,故选C.

【点睛】本题主要考查初等函数的导数公式以及导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，

属于中档题.

2.对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用

、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）.

A.变量与呈现正相关，且

B.变量与呈现负相关，且

C.变量与呈现正相关，且

D.变量与呈现负相关，且

【答案】D

【解析】

【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项.

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【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B；

对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C；

图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故，

故选：D.

3.用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有

A.24B.30C.40D.60

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个

中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A．

考点：主要考查分步计数原理的应用．

点评：特别注意偶数其个位必定是偶数字．

4.下列说法错误的是（）

A.若随机变量，则

B.若，，，则事件与事件独立

C.若随机变量的方差，则

D.若随机变量服从正态分布，若，则

【答案】C

【解析】

【详解】对A：随机变量，则，故A正确；

对B：，所以，即事件与事件独立，

故B正确；

对C：随机变量的方差，则，故C错误；

对D：随机变量服从正态分布，，

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则，故D正确．

5.在南山上有三个奶茶店：店､店､店.根据平台数据，顾客选择店的概率分别为､

.已知各店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店店店.若小明随

机选择一个奶茶店下单，他等待超过分钟的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由全概率公式即可求解；

【详解】设事件为“小明选择店”，事件为“小明选择店”，

事件为“小明选择店”，事件为“小明等待超过分钟”，

则根据题意，有，

，

则，

代入数据得，故C正确.

6.在某项芯片测试试验中，有5个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测

试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先用总排列数减去甲乙相邻的求出甲乙不相邻的总数，再由相邻法和插空法求出符合要求的，然

后由古典概率计算可得.

【详解】五个芯片的排列数为种，其中甲乙相邻的有种，所以甲乙不相邻的有72种，

绑定丙丁，再将甲乙插空有种，

所以在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为.

故选：A.

7.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（）

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A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可.

【详解】由题意，由，可得

函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根，

即函数与在上有两个交点，

因，，，

所以，解得.

故选：A.

8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之

间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个

球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽

和⑥号球槽的概率之和为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分

析求解，即可得答案.

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【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，

落入③号球槽需向左4次，向右2次，则,

落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则，

则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为.

故选：B

二、多选题

9.已知离散型随机变量分布列如下表所示（）

012

0.2

A.B.C.D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先根据分布列的性质求，再求期望和方差.

【详解】由分布列的性质可知，，所以，

，，故ABC正确；

，故D错误.

故选：ABC

10.已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（）

A.B.展开式的各项系数和为243

C.展开式中奇数项的二项式系数和为16D.展开式中有理项一共有3项

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，根据二项式系数最大得到方程，求出；B选项，赋值法得到各项系数和；C选项，

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先求出二项式系数和，结合二项式系数的性质得到答案；D选项，写出展开式的通项公式，从而得到有理

项的项数.

【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数，

且与最大，所以，解得，A错误；

B选项，中，令得，，

故展开式的各项系数和为243，B正确；

C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，

所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；

D选项，展开式通项公式为，，且为整数，

当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，

综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.

故选：BCD

11.2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无

人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用

了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中

目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相

互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（）

A.若，则

B.且且

C.若，则

D.若当且仅当时，取得最大值，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由二项分布的期望公式和方差公式判断AC；利用二项分布的分布列判断BD.

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【详解】由题意可知，，，则，

因为，所以，故A正确；

且，

且，

则，

当时，，故B错误；

因为，

且函数在上单调递减，，

所以，故C正确；

，

则当时，

若，则；若，则，

因为当且仅当时，取得最大值，所以，

则，故D正确.

三、填空题

12.五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________

种.

【答案】150

【解析】

【分析】根据题意，按照和两种方案进行分组分配，利用排列组合公式计算即可.

【详解】依题意，可以按照和两种方案进行分组分配.

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当按照分组时，有种方案；

当按照分组时，有种方案.

故不同的方案有种.

13.某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，

按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四

舍五入取整数）

参考数据：若，则，

【答案】23

【解析】

【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可.

【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布,

所以男生身高不低于190cm的概率为

,

所以估计可以备选的男生人数约为人.

14.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值

范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】将所求不等式变形为，构造函数，其中，

利用导数分析函数的单调性，由已知等式结合函数的单调性可得出，可得

，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的取值范围.

【详解】对于函数，有，解得，

所以，函数的定义域为，

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由，

可得，即，

可得，

令，其中，，所以，函数为上的增函数，

由，可得，

所以，，所以，，

令，其中，则，列表如下：

减极小值增

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，故，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

四、解答题

15.已知函数.

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（1）求在点处的切线方程.

（2）求的单调区间.

【答案】（1）

（2）单调递增区间为：，单调递减区间为：

【解析】

【分析】（1）由导数的几何意义求解；

（2）求导，求解不等式进行求解．

【小问1详解】

，得切点为，

，得，

得切线方程为：，即．

【小问2详解】

函数的定义域为，

，

由，得；

由，得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为。

16.已知．

（1）求的值．

（2）求的值．

（3）求的值．

【答案】（1）

（2）0（3）12

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【解析】

【分析】（1）根据二项展开式的结构即求的系数；

（2）分别对二项式赋值，联立两式，计算即得；

（3）对二项展开式两边求导，再代值计算即得.

【小问1详解】

由题意，可知为展开式中的系数，即，

故；

【小问2详解】

在中，

令，得；再令，可得，

两式相减，得；

【小问3详解】

由两边求导，

可得，

令，得.

17.DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共

60人参加培训．

（1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记

表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20

万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2

万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润

-其他成本和费用）．

【答案】（1）分布列见解析，期望为

（2）万元

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【解析】

【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望；

（2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入

公式年利润公式，即可求解.

【小问1详解】

由题意可知，，

，，，

所以随机变量的分布列如下，

012

；

【小问2详解】

设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为，

员工为公司创造的利润为万元，

则万元，

公司的年利润为万元.

所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元.

18.2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三

大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练.

（1）假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两

胜制，求甲获胜的概率；

（2）若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知

第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差；

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（3）如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，

对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由.

【答案】（1）

（2）

（3）五局三胜对甲有利，理由见解析

【解析】

【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜；

（2）三局两胜X的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出

期望，最后代入方差公式求方差.

（3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论.

【小问1详解】

设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，

则.

【小问2详解】

X的所有可能取值为0，1，2，

，，.

所以期望为；

方差为；

【小问3详解】

采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，

采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：

.

令，

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因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利.

19.已知函数，

（1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值；

（3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）1（3）

【解析】

【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解；

（2）由，构造同构函数，利用的单调性求解；

（3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调

性求其最值情况即可求解.

【小问1详解】

由题的定义域为，