重庆市沙坪坝区2026届高三数学下学期3月阶段检测试题含解析

重庆市高2026届高三下学期3月质量检测

数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求.

1.若复数zi22i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.2iB.2iC.2D.-2

2.已知非空集合Ax1xm,mR,Bx1x4，若xA是xB的充分不必要条件，则实

数m的取值范围为（）

A.1,4B.1,4C.4,D.4,

3.某市高三年级男生身高X近似服从正态分布N170，2，若P165X1750.7，则

PX175（）

A.0.65B.0.85C.0.15D.0.3

4.直线ykx1k被圆x2y29所截得的最短弦长为（）

A.32B.32C.27D.7

5.关于函数fxsinxsinx，下列说法不正确的是（）

A.fx是偶函数B.fx最大值为2

C.fx最小值为-2D.fx不是周期函数

6.f(x)是定义在R上的函数，且对x1,x2R,x1x2均有：f(12x1)f(12x1)0，

2

(x1x2)[f(x1)f(x2)]0若f(aa)f(a1)0，实数a的取值范围是（）

A.(3,1)B.(3,)C.(,1)D.(1,)

7.骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚

骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4

到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；

在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（）

1313119

A.B.C.D.

6111108111

8.正四面体ABCD棱长为2，点O为其外接球球心，点E,F,G满足

2

DExDA,DFyDB,DGDC,x,y0,1，且点O在平面EFG上，则三棱锥DEFG体积最小

3

值为（）

64

A.82B.162C.D.642

925225225

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.已知n1，2n22n，，，则下列选项正确的是（）

Cn1211axa0a1xa2xa2nxaRxR

A.n6

B.若a0a1a2a2n1，则a1

C.a01

2n

D.1ax的展开式中，不存在连续三项成等比数列

ax2

10.已知函数fxlnxx3bx，其导函数为fx，下列说法正确的有（）

32

A.若f14，则a2b28

3

B.a0,b时，fx的单调递减区间为2,

2

C.a1,b1时，x1为fx的极值点

D.a0,b0时，fx无零点

11.已知曲线yk|x1|(k0)与抛物线y22px(p0)交于A,B两点，A,B的中点为M，当k1时，

M到抛物线准线的距离为4，F为抛物线的焦点，则下列选项正确的是（）

Ap1

.

B.M的轨迹方程为y22x2(y2)

C.

SFAB2SOAB

26

D.若BOF2AOF，则k

5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若

已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______.

SS

13.公差不为0的等差数列a的前n项和为S，若SS恒成立，且531，则a______.

nn2nn5312

n

i1

14.对数集中的元素先按照从小到大的顺序排列得到，，，，定义为其“交替

Anx1x2x3xn1xi

i1

和”，数集An的所有非空子集的交替和的和为“交替总和”.已知

x

e，则的交替总和为______.

fx,Akf1,f2,f3,,fk}A2026

x2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某科技公司研发了一款AI图像分类模型.现随机抽取500张图片对该模型进行测试，记录了单次测试的

准确率（百分比）.通过对测试结果的分析，绘制出了如下频率分布直方图：

（1）求平均准确率；

（2）将准确率不低于90%的一次分类视为“精准分类”，以频率估计概率，现用该模型独立进行5次测试，

记X为“精准分类”的次数，求随机变量X的分布列及数学期望EX.

2na

16.记数列a的前n项和为S，若a2且Sn.

nn1nn1

（1）求数列an的通项公式；

a

（2）n的前项和为，求集合∣*的元素个数.

bnlog2,bnnTnkTk500,TkN

n

17.如图，在直角坐标系xOy中，A1,0,B2,0,D2,0，动点C与A,B两点构成ABC，ABC中

角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足sinBACsinACB2sinABCcosBAC.

（1）当C点运动时，探究CDCB是否为定值，并求出动点C的轨迹方程.

（2）点M，N在点C的轨迹上且满足OMON，求坐标原点O到直线MN的距离.

18.如图，A、B、C为圆台OO1下底面圆周上三点，AC为直径且AC4，E为上底面圆周上一点，F、

H分别为线段BE、BC的中点，且满足：AEFH，平面ABE平面ACE.

（1）求证：AB平面BCE；

（2）若ACB30，满足要求的点E有且只有一个，设三棱锥EABC外接球半径为R，圆台的高为h.

h

（i）求；

R

π

（ii）P为上底面圆周上一动点，当平面ACP与平面ACF夹角为时，求点P到平面ACF的距离.

4

19.已知函数fxexsinx.

π

（1）求fx在x处的切线方程；

4

ππ

（2）若0，，求函数hx2sinxsinsinx在x0,上的最大值g；

44

π

（3）已知x1,x2,,xk为函数（f21x）在0,上的所有极值点，且满足x1x2xk；证明：

4

fxfxfx7

123.

fx4284π

重庆市南开中学高2026届高三年级3月质量检测

数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求.

1.若复数zi22i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.2iB.2iC.2D.-2

【答案】C

【解析】

【详解】zi22i12i，

z12i，虚部为2.

2.已知非空集合Ax1xm,mR,Bx1x4，若xA是xB的充分不必要条件，则实

数m的取值范围为（）

A.1,4B.1,4C.4,D.4,

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数m的取值范围.

【详解】非空集合Ax1xm,mR,Bx1x4，

xA是xB的充分不必要条件，则有集合A是集合B的真子集，所以1m4，

即实数m的取值范围为1,4.

3.某市高三年级男生身高X近似服从正态分布N170，2，若P165X1750.7，则

PX175（）

A.0.65B.0.85C.0.15D.0.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用正态分布的性质求解即可.

1P165X17510.7

【详解】由题可得P(X175)110.85

22

4.直线ykx1k被圆x2y29所截得的最短弦长为（）

A.32B.32C.27D.7

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点

的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．

【详解】圆x2y29的圆心为C0,0，半径r3，

又直线方程ykx1k可化为y1kx1，直线恒过定点P1,1，

当圆被直线截得的弦最短时，圆心C0,0与定点P1,1的连线垂直于弦，

22

此时弦心距为10102．

2

所截得的最短弦长：232227．

5.关于函数fxsinxsinx，下列说法不正确的是（）

A.fx是偶函数B.fx最大值为2

C.fx最小值为-2D.fx不是周期函数

【答案】C

【解析】

【分析】根据偶函数的定义，代入整理，可判断A的正误；分段讨论，可得fx的解析式，作出图象，可

判断B、C、D的正误.

【详解】因为fxsinxsinxsinxsinxfx，

所以fx是偶函数，故A正确；

当x2kπ,2kππkN时，fxsinxsinx2sinx，

当x2kππ,2kπ2πkN时，fxsinxsinx0，

因为fx是偶函数，图象关于y轴对称，可得fx的图象如图所示：

由图象得fx的最大值为2，最小值为0，不是周期函数，故B，D正确，C错误.

6.f(x)是定义在R上的函数，且对x1,x2R,x1x2均有：f(12x1)f(12x1)0，

2

(x1x2)[f(x1)f(x2)]0若f(aa)f(a1)0，实数a的取值范围是（）

A.(3,1)B.(3,)C.(,1)D.(1,)

【答案】A

【解析】

【分析】确定函数f(x)的对称性及单调性，再由性质求解不等式.

【详解】由f(x)是定义在R上的函数，x1R，f(12x1)f(12x1)0，

得xR,f(1x)f(1x)0f(x)f(2x)，则函数f(x)关于点(1,0)中心对称，

由x1,x2R,x1x2，(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，得函数f(x)在R上单调递增，

由f(a2a)f(a1)0，得f(a2a)f[2(a1)]0，即f(a2a)f(3a)，

因此a2a3a，即a22a30，解得3a1，

所以实数a的取值范围是(3,1).

7.骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚

骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4

到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；

在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（）

1313119

A.B.C.D.

6111108111

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分析庄家获胜的情况，以及三枚骰子点数最大的是5的情况，结合条件概率公式运算求

解即可.

【详解】因为已知庄家获胜，则点数为豹子或者小，

点数为豹子有6种情况；

点数和为4有1,1,2，所有排列有3种情况；

点数和为5有1,1,3,1,2,2，所有排列有326种情况；

点数和为6有1,1,4,1,2,3，所有排列有369种情况；

点数和为7有1,1,5,1,2,4,1,3,3,2,2,3的所有排列，有33615种；

点数和为8有1,1,6,1,2,5,1,3,4,2,2,4,2,3,3，所有排列有336221种情况；

点数和为9有1,2,6,1,3,5,1,4,4,2,2,5,2,3,4，所有排列有326324种情况；

点数和为10有1,3,6,1,4,5,2,2,6,2,3,5,2,4,4,3,3,4，所有排列有336327种情况；

所以小有36915212427105种情况；

其中三枚骰子点数最大的是5的情况有：5,5,5，1,1,5，1,2,5，1,3,5，2,2,5，2,3,5，1,4,5，

的所有排列共有136636631种情况；

3131

所以对应概率为.

1056111

8.正四面体ABCD棱长为2，点O为其外接球球心，点E,F,G满足

2

DExDA,DFyDB,DGDC,x,y0,1，且点O在平面EFG上，则三棱锥DEFG体积最小

3

值为（）

64

A.82B.162C.D.642

925225225

【答案】D

【解析】

5112

【分析】根据正四面体性质以及空间向量基本定理可得，再由锥体体积公式计算可得结

2xyxy

果.

【详解】设ABC中心为M，如下图：

2

由正四面体性质可知2222322326，

MB21,MD2

3333

2226

利用勾股定理可得MB2MO2OD2，即MBMDODOD，解得OD；

2

3

因此可得DODM；

4

33111113

所以DODMDAABACDADBDCDEDFDG；

443344x4y8

113511216

1，可得，即xy，

4x4y82xyxy25

4

当且仅当xy时，等号成立.

5

442

此时满足DEDA，DFDB，DGDC，

553

1113262

易知VS·DM222，

DABC3ABC32233

22xy2xy642

因此VVVVV.

DEFGGDEF3CDEF3CABD3DABC225

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.已知n1，2n22n，，，则下列选项正确的是（）

Cn1211axa0a1xa2xa2nxaRxR

A.n6

B.若a0a1a2a2n1，则a1

C.a01

2n

D.1ax的展开式中，不存在连续三项成等比数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】由组合数的公式可判断A项，再由二项式的展开式的性质可判断BCD选项．

n1n

【详解】由n1，得2，得，

Cn121Cn12121

2

解得n6或n7（舍），所以A正确；

由a0a1a2a2n1，可以在二项展开式中令x1，

有12，所以或0，故B错误；

(1a)a0a1a2a1211a1a2

C.在二项展开式中令x0，有1a0，故C正确；

D.2n12，其展开式的通项为rr，，

(1ax)(1ax)Tr1C12(ax)r0,1,2,,12

①若ax0，则显然D正确；

②若ax0，展开式中存在连续三项成等比数列，

则必存在整数r1,11使得

22

2r2rr1r1r1r1rr1r1

Tr1TrTr2C12axC12C12axC12C12C12

2

12!12!12!

，

r12r13rr1013

r!12r!r1!13r!r1!11r!

矛盾，故假设错误，

综上，D正确.

ax2

10.已知函数fxlnxx3bx，其导函数为fx，下列说法正确的有（）

32

A.若f14，则a2b28

3

B.a0,b时，fx的单调递减区间为2,

2

C.a1,b1时，x1为fx的极值点

D.a0,b0时，fx无零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A，根据条件，利用重要不等式，即可求解；对B，根据条件，直接求出fx的减区间，即可

求解；对C，根据条件得fx0恒成立，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对D，根据条

件，利用导数，求出fx的单调区间，进而得fx0恒成立，即可求解.

1

【详解】易知fx的定义域为0,，fxax2xb，

x

a2b2a2b2a2b22ab(ab)2

对于A，因为f1ab4，则a2b28，

222

当且仅当ab2时取等号，故A正确；

3132x1x2

对于B，当a0,b时，fxx，

2x22x

2x1x2

由fx0，解得x2，又fx在x2处有意义，

2x

所以fx的单调递减区间为2,，故B正确；

1(x1)2x1

对于C，当a1,b1时，fxx2x1，

xx

因为x0,，所以fx0恒成立，当且仅当x1时取等号，

故fx在区间0,上单调递增，则fx无极值点，故C错误；

1

对于D，因为fxax2x，当a0时，易知fx在区间0,上单调递减，

x

又x0时，fx，f1a0，

111

2

所以x00,1，使得fx0ax0x00，即a3，

x0x0x0

当x0,x0时，fx0，当xx0,时，fx0，

所以fx在区间0,x0上单调递增，在区间x0,上单调递减，

ax2x21

则fxfxlnxx30lnx0，

00302063

x211x3x2

令gxlnx，则gx，

63x33x

1

当x0,1时，gx0，则gx在区间0,1上单调递增，所以gxg10，

02

即fx00，所以fx0恒成立，fx无零点，故D正确.

11.已知曲线yk|x1|(k0)与抛物线y22px(p0)交于A,B两点，A,B的中点为M，当k1时，

M到抛物线准线的距离为4，F为抛物线的焦点，则下列选项正确的是（）

A.p1

B.M的轨迹方程为y22x2(y2)

C.

SFAB2SOAB

26

D.若BOF2AOF，则k

5

【答案】BCD

【解析】

【分析】由对称性可得B关于x轴的对称点B1在抛物线上，设出直线AB1方程，与抛物线方程联立，利用

韦达定理、抛物线性质逐项求解判断.

【详解】依题意，B关于x轴的对称点为B1，设直线AB1:xmy1，A(x1,y1),B1(x2,y2)，由对称性不

妨令y10，

xmy1

则，由，得2，则，，

B(x2,y2)2y2pmx2p0y1y22pmy1y22p

y2px

xxpyy2p3p

对于A，当k1时，m1，yy2p，则121214，解得p2，

1222222

A错误；

xxyy

对于B，yy4m，yy4，点M(12,12)，设点M(x,y)，

121222

22

xxm(yy)22(yy)(yy)4yy

则x12122m1，y21212124m24，

2244

yy

又y12yy2，因此M的轨迹方程为y22x2(y2)，B正确；

212

y1y2

对于C，F(1,0)，直线AB:yy1(xx1)与x轴交点为H，令y0，

x1x2

xyxy2myy

得122112，则为中点，，C正确；

x11OFHSFAB2SOAB

y1y2y1y2

y14y24

对于D，设AOF，则BOF2,tan，tan2y1，

x1y1x2y2

8

2tany46

又tan2，因此y1，解得y26，y，

211612

1tany13

12

y1

56126

4myy，k，D正确.

123m5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若

已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______.

【答案】3.6

【解析】

【分析】依题意，5个数排序后中位数为3，唯一众数为2，可推得这5个数为2,2,3,a,b，其中a,b为大

于3且不相等的两个数，其中a，b4,5,6，且ab，即可求解．

【详解】由题可知摸到的号码为2，2，3，a，b，其中a，b4,5,6，且ab，

为使平均数最大，

22356

a5，b6，其平均数最大为3.6.

5

SS

13.公差不为0的等差数列a的前n项和为S，若SS恒成立，且531，则a______.

nn2nn5312

23

【答案】##11.5

2

【解析】

ddd2ddd

【详解】2，2

Snna1nS2nSn2na12nna1n

222222

20

2d2

2dn2a1n0恒成立，，

22d

2a10

2

dSSaaaa2d123

4，a，531513d1，a1211.

12532221222

n

i1

14.对数集中的元素先按照从小到大的顺序排列得到，，，，定义为其“交替

Anx1x2x3xn1xi

i1

和”，数集An的所有非空子集的交替和的和为“交替总和”.已知

x

e，则的交替总和为______.

fx,Akf1,f2,f3,,fk}A2026

x2

【答案】22023e2

【解析】

【分析】设中最小元素为x，根据配对可得的交替总和为n1，再根据导数求出

An1An2x1

f1,f2,f3,,fk的最小值后可求交替总和.

nx

【详解】An的非空子集有21个，最小元素为1，

n

除去集合x1，剩下22个非空子集可分为两类：

不包含x1的集合Bi与包含x1的集合CiBix1，且具有一一对应关系，

设Bi的交替和为k，则Ci的交替和为x1k，这一对集合的交替和为x1；

n

22n1

故An的交替总和为xx2x.

2111

exx2

又fx，

x3

故当x0或x2时，fx0，当0x2时，fx0，

故fx在,0,2,上为增函数，在0,2为减函数，

222

e20261e2025e20232

故A2026中的最小值为f2，故交替总和为222e.

4422

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某科技公司研发了一款AI图像分类模型.现随机抽取500张图片对该模型进行测试，记录了单次测试

的准确率（百分比）.通过对测试结果的分析，绘制出了如下频率分布直方图：

（1）求平均准确率；

（2）将准确率不低于90%的一次分类视为“精准分类”，以频率估计概率，现用该模型独立进行5次测试，

记X为“精准分类”的次数，求随机变量X的分布列及数学期望EX.

【答案】（1）80%

（2）分布列

X012345

P0.590490.328050.07290.00810.000450.00001

期望EX0.5

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案.

（2）由题意得一次分类是“精准分类”的概率为0.1，且XB5,0.1，根据二项分布概率公式，代入求

解，可得分布列，即可求出期望.

【小问1详解】

由频率分布直方图，可得平均准确率为：

10%0.005550.01650.025750.05850.019580%.

【小问2详解】

由频率分布直方图可知，一次分类是“精准分类”的概率为0.1，

以频率估计概率，则XB5,0.1，

kk5k

则PXkC50.10.9，k0,1,2,3,4,5，

所以X的分布列为：

X012345

P0.590490.328050.07290.00810.000450.00001

X的期望为EX50.10.5

2na

16.记数列a的前n项和为S，若a2且Sn.

nn1nn1

（1）求数列an的通项公式；

a

（2）n的前项和为，求集合∣*的元素个数.

bnlog2,bnnTnkTk500,TkN

n

n1

【答案】（1）ann12

（2）5个

【解析】

an12n2

【分析】（1）根据递推关系及Sn与an的关系化简得出，利用累乘法求ann2，即可求

ann1

出通项公式；

的

（2）求bn，利用分组求和法结合对数运算性质及等差数列求和公式求出Tn，再利用数列增减性与取整

条件计算即可得解.

【小问1详解】

2na2n1a

由n可得n1，

SnS

n1n1n2

2n1a2n·an·a

两式相减，可得n12nan，整理得nn1

a

n1n2n1n1n2

an2

即n12

ann1

an1ana3

nn12

2，2，…，2，a12，

an1nan2n1a12

n1

累乘得ann12n2，而a12也符合上式；

n1

故数列an的通项公式为ann12.

【小问2详解】

n12n1n1

bloglogn1，

n2n2n

23n1nn1

Tnlog2012n1log2n1

12n2

kk1

依题意，Tlogk1500，

k22

xx1

因为函数ylogx1在1,上单调递增，所以数列Tn为递增数列，

22

31303231

又Tlog32470，Tlog33log334965496500，

312232222

所以1k31，kN*，

kk1

又Tlogk1N*则存在mN*，满足k2m1，

k22

k1,3,7,15,31，共5个元素.

17.如图，在直角坐标系xOy中，A1,0,B2,0,D2,0，动点C与A,B两点构成ABC，ABC中

角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足sinBACsinACB2sinABCcosBAC.

（1）当C点运动时，探究CDCB是否为定值，并求出动点C的轨迹方程.

（2）点M，N在点C的轨迹上且满足OMON，求坐标原点O到直线MN的距离.

y2

【答案】（1）是，x21(x1)

3

（2）6

2

【解析】

【分析】（1）在ABC中由正弦定理和余弦定理可得b2a23a，再在ABC，△ADC中利用余弦定

理可得CDa2，最后根据双曲线的定义可得动点C的轨迹方程；

xmyn

（2）设MN的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，根据垂直可得x1x2y1y20，联立直线方程

和双曲线方程后结合韦达定理化简前者可得32n23m2，再由点到直线的距离公式可求距离.

【小问1详解】

在ABC中，sinBACsinACB2sinABCcosBAC，

由正弦定理有：ac2bcosA，

b2c2a2

再由余弦定理有：ac2b，即b2a2aca23a，

2bc

而cosCADcosCAB0，

分别在ABC，△ADC中利用余弦定理可得：

1b2CD2b29a24a2

0，化简得CD2b24(a2)2.

2b2b333

故CDa2，即CDCB2，

y2

根据双曲线定义结合A,B,C不共线可得，点C的轨迹为x21(x1).

3

【小问2详解】

xmyn

由题意直线MN斜率不为0，设其方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，

3x2y230

由xmyn可得3m21y26mny3n230，

x1

而x11,x21，故x11x210且x11x210，

Δ36m2n243m213n230

3m2106mn3n23

故，而yy，yy，

122122

my1y22n203m13m1

my1n1my2n10

n23m21

2

3m10n1

22