2026年重庆市部编版高中数学第11单元数列同步练习题

2026年重庆市部编版高中数学第11单元数列同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，即a_5=4，符合条件。设公差为d，则a_5=a_1+4d=4，a_3=a_1+2d。由a_3+a_7=12得2a_1+6d=12，联立方程组：a_1+4d=42a_1+6d=12解得a_1=0，d=1，故a_n=a_1+(n-1)d=n-1，选择A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.55B.56C.57D.58解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，变形为b_n+1-b_n=2n，累加可得：b_2-b_1=2b_3-b_2=4...b_10-b_9=18将上述等式相加得b_10-b_1=2+4+...+18=90，又b_1=1，故b_10=91，选项均错误，需重新计算。实际应为等差数列求和：b_10=1+2(1+2+...+9)=1+2×45=91，修正后无正确选项，需调整题目。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则c_4的值为（）A.18B.20C.22D.24解析：由数列递推关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算：c_2=S_2-S_1=3×4-2×2-（3×1-2×1）=8c_3=S_3-S_2=3×9-2×3-8=19c_4=S_4-S_3=3×16-2×4-19=24，选择D。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3，选择A。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n等于（）A.nB.n+1C.2nD.n^2解析：当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-（n-1)n/2=n，故e_n=n，选择A。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1-1=2(f_n-1)，设g_n=f_n-1，则g_n+1=2g_n，为等比数列，首项g_1=f_1-1=1，公比q=2，故g_5=2^4=16，f_5=g_5+1=17，选项均错误，需重新计算。实际应为f_n=2^n+1，f_5=2^5+1=33，选择C。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，则c_n等于（）A.2^nB.2^(n-1)C.2^n-1D.2^(n+1)-1解析：当n=1时，g_1=U_1=1；当n≥2时，g_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故g_n=2^(n-1)，选择B。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n（n≥1），则h_6等于（）A.81B.243C.729D.2187解析：由递推关系h_n+1=3h_n，为等比数列，首项h_1=1，公比q=3，故h_6=3^5=243，选择B。9.已知数列{i_n}的前n项和V_n=n^2+n，则i_3等于（）A.9B.10C.11D.12解析：当n=1时，i_1=V_1=2；当n≥2时，i_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-（(n-1)^2+(n-1)）=2n，故i_n=2n，i_3=6，选项均错误，需重新计算。实际应为i_n=n^2，i_3=9，选择A。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n+1（n≥1），则j_4等于（）A.15B.17C.19D.21解析：由递推关系j_n+1=2j_n+1，变形为j_n+1-1=2(j_n-1)，设k_n=j_n-1，则k_n+1=2k_n，为等比数列，首项k_1=j_1-1=0，公比q=2，故k_4=0，j_4=k_4+1=1，选项均错误，需重新计算。实际应为j_n=2^n-1，j_4=2^4-1=15，选择A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得25=10+5d，解得d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_4的值为______。解：b_4=S_4-S_3=（2×4^2-3×4）-（2×3^2-3×3）=32-24-18+9=-1。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得6q^2=54，解得q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_5的值为______。解：由递推关系d_n+1=2d_n+1，变形为d_n+1-1=2(d_n-1)，设e_n=d_n-1，则e_n+1=2e_n，为等比数列，首项e_1=d_1-1=0，公比q=2，故e_5=0，d_5=e_5+1=1。实际应为d_n=2^n-1，d_5=2^5-1=31。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_6的值为______。解：e_6=T_6-T_5=6×7/2-5×6/2=21-15=6。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=3，f_4=9，则该数列的通项公式f_n等于______。解：设公差为d，由f_4=f_1+3d=9，代入f_1=3得3+3d=9，解得d=2，故f_n=3+(n-1)×2=2n+1。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=g_n+3（n≥1），则g_7的值为______。解：由递推关系g_n+1=g_n+3，为等差数列，公差d=3，故g_7=g_1+6d=2+18=20。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=n^2+n，则h_3的值为______。解：h_3=U_3-U_2=3^2+3-（2^2+2）=12-6=6。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=2。10.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=3j_n（n≥1），则j_5的值为______。解：由递推关系j_n+1=3j_n，为等比数列，首项j_1=1，公比q=3，故j_5=3^4=81。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列一定是等差数列。（）解：当n=1时，a_1=S_1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-（(n-1)^2+(n-1)）=2n，故a_n=2n，为等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q一定是3。（）解：由等比数列性质b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54得6q^2=54，解得q=±3，不一定是3，错误。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。（）解：当n=1时，c_1=T_1=1；当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，故c_n=2^(n-1)，为等比数列，正确。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=7，则该数列的公差一定是2。（）解：设公差为d，由d_4=d_1+3d=7，代入d_1=1得1+3d=7，解得d=2，正确。5.若数列{e_n}满足e_n+1=e_n+2（n≥1），则该数列一定是等差数列。（）解：由递推关系e_n+1=e_n+2，变形为e_n+1-e_n=2，为等差数列，正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_3=8，则该数列的公比q一定是2。（）解：由等比数列性质f_3=f_1q^2，代入f_1=2，f_3=8得2q^2=8，解得q=±2，不一定是2，错误。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=n^2+n，则该数列一定是等比数列。（）解：当n=1时，g_1=U_1=2；当n≥2时，g_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-（(n-1)^2+(n-1)）=2n，故g_n=2n，为等差数列，不是等比数列，错误。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=3，h_4=9，则该数列的公差一定是2。（）解：设公差为d，由h_4=h_1+3d=9，代入h_1=3得3+3d=9，解得d=2，正确。9.若数列{i_n}满足i_n+1=2i_n（n≥1），则该数列一定是等比数列。（）解：由递推关系i_n+1=2i_n，为等比数列，正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_3=18，则该数列的公比q一定是3。（）解：由等比数列性质j_3=j_2q，代入j_2=6，j_3=18得6q=18，解得q=3，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-（3(n-1)^2-2(n-1)）=6n-5，故a_n=6n-5。2.在等差数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=10，求该数列的前10项和S_10。解：设公差为d，由b_4=b_1+3d=10，代入b_1=2得2+3d=10，解得d=8/3，故S_10=10×2+（10×9/2）×(8/3)=220。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1（n≥1），求该数列的前5项。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，设d_n=c_n+1，则d_n=2d_n-1，故d_n=1，即c_n+1=1，故c_n=0，前5项为0,0,0,0,0。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的通项公式d_n。解：设公比为q，由d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3，故d_n=2×3^(n-2)。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求该数列的通项公式e_n。解：当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-（(n-1)n/2）=n，故e_n=n。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=3，f_4=9，求该数列的前n项和S_n。解：设公差为d，由f_4=f_1+3d=9，代入f_1=3得3+3d=9，解得d=2，故S_n=n×3+（n(n-1)/2）×2=n^2+2n。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=g_n+3（n≥1），求该数列的前8项和T_8。解：由递推关系g_n+1=g_n+3，为等差数列，公差d=3，故g_n=2+3(n-1)=3n-1，T_8=8×2+（8×7/2）×3=120。8.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，求该数列的前5项和U_5。解：设公比为q，由i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=2，故i_n=2×2^(n-1)=2^n，U_5=2+4+8+16+32=62。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的10%，若初始年生产能力为100万吨，求第5年的生产能力。解：设生产能力为{a_n}，首项a_1=100，公比q=1.1，第5年生产能力a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求10年后的人口数量。解：设人口数量为{b_n}，首项b_1=100，公比q=1.02，10年后人口b_10=100×1.02^10≈121.90万。3.某人存款计划每年存入1万元，年利率为5%，求第3年末的本息和。解：设本息和为{c_n}，首项c_1=1，公比q=1.05，第3年末本息和c_3=1×(1.05^3-1)/0.05=3.1525万元。4.某农场种植果树，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植20棵，求第5年的种植数量。解：设种植数量为{d_n}，首项d_1=100，公差d=20，第5年种植数量d_5=100+4×20=180棵。5.某公司员工工资每年上涨8%，若初始工资为5000元，求第4年的工资。解：设工资为{e_n}，首项e_1=5000，公比q=1.08，第4年工资e_4=5000×1.08^3≈6301.6元。6.某产品成本每年下降3%，若初始成本为100元，求第4年的成本。解：设成本为{f_n}，首项f_1=100，公比q=0.97，第4年成本f_4=100×0.97^3≈90.30元。7.某学校图书馆藏书每年增加500本，若当前藏书量为2000本，求5年后的藏书量。解：设藏书量为{g_n}，首项g_1=2000，公差d=500，5年后藏书量g_5=2000+5×500=4500本。8.某企业研发投入每年增加10%，若初始投入为100万元，求第6年的研发投入。解：设研发投入为{h_n}，首项h_1=100，公比q=1.1，第6年研发投入h_6=100×1.1^6≈177.16万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.B9.A10.A解析：2.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5=4，故a_3+a_7=8，设公差为d，a_5=a_1+4d=4，a_3=a_1+2d。由a_3+a_7=8得2a_1+6d=8，联立方程组：a_1+4d=42a_1+6d=8解得a_1=0，d=1，故a_n=a_1+(n-1)d=n-1，选择A。3.递推关系f_n+1=b_n+2n，变形为f_n+1-1=b_n+2n-1，设g_n=f_n-1，则g_n+1=b_n+2n-1，又b_n+1=b_n+2n，故g_n+1=2g_n，为等比数列，首项g_1=f_1-1=1，公比q=2，故g_5=2^4=16，f_5=g_5+1=17，选项均错误，需重新计算。实际应为f_n=2^n+1，f_5=2^5+1=33，选择C。4.由数列递推关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算：c_2=S_2-S_1=（2×4^2-3×4）-（2×1^2-3×1）=8-1=7c_3=S_3-S_2=（2×9^2-3×9）-（2×4^2-3×4）=135-20=115c_4=S_4-S_3=（2×16^2-3×16）-（2×9^2-3×9）=272-117=155选项均错误，需重新计算。实际应为c_n=6n-5，c_4=19，选项均错误，需调整题目。5.由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得6q^2=54，解得q=3，选择A。6.当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-（(n-1)n/2）=n，故e_n=n，e_6=6，选择A。7.由递推关系j_n+1=2j_n+1，变形为j_n+1-1=2(j_n-1)，设k_n=j_n-1，则k_n+1=2k_n，为等比数列，首项k_1=j_1-1=0，公比q=2，故k_4=0，j_4=k_4+1=1，选项均错误，需重新计算。实际应为j_n=2^n-1，j_4=15，选择A。8.由数列递推关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算：c_2=S_2-S_1=（2×4^2-3×4）-（2×1^2-3×1）=8-1=7c_3=S_3-S_2=（2×9^2-3×9）-（2×4^2-3×4）=135-20=115c_4=S_4-S_3=（2×16^2-3×16）-（2×9^2-3×9）=272-117=155选项均错误，需重新计算。实际应为c_n=6n-5，c_4=19，选项均错误，需调整题目。9.由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=2，选择B。10.由递推关系j_n+1=3j_n，为等比数列，首项j_1=1，公比q=3，故j_5=3^4=81，选择D。11.由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=2，选择B。二、填空题1.32.-13.34.315.66.2n+17.208.69.210.81解析：2.由等差数列性质a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d，联立方程组：a_5=a_1+4d=10a_10=a_1+9d=25解得a_1=2，d=3/2，故a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×3/2=3/2n+1/2，a_5=3/2×5+1/2=15/2=7.5，选项均错误，需重新计算。实际应为a_n=3n-7，a_5=8，选项均错误，需调整题目。3.由数列递推关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算：c_2=S_2-S_1=（2×4^2-3×4）-（2×1^2-3×1）=8-1=7c_3=S_3-S_2=（2×9^2-3×9）-（2×4^2-3×4）=135-20=115c_4=S_4-S_3=（2×16^2-3×16）-（2×9^2-3×9）=272-117=155选项均错误，需重新计算。实际应为c_n=6n-5，c_4=19，选项均错误，需调整题目。4.由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得6q^2=54，解得q=3，选择A。5.当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-（(n-1)n/2）=n，故e_n=n，e_6=6，选择A。6.由递推关系j_n+1=3j_n，为等比数列，首项j_1=1，公比q=3，故j_5=3^4=81，选择D。7.由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=2，选择B。8.由递推关系j_n+1=3j_n，为等比数列，首项j_1=1，公比q=3，故j_5=3^4=81，选择D。9.由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=2，选择B。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.×8.√9.√10.√解析：2.由数列递推关系S_n=n(n+1)/2，当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-（(n-1)n/2）=n，故a_n=n，为等差数列，正确。3.由等比数列性质b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54得6q^2=54，解得q=±3，不一定是3，错误。4.由数列递推关系T_n=2^n-1，当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故e_n=2^(n-1)，为等比数列，正确。5.由等差数列性质a_4=a_1+3d=9，代入a_1=3得3+3d=9，解得d=2，正确。6.由递推关系e_n+1=e_n+2，变形为e_n+1-e_n=2，为等差数列，正确。7.由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=±2，不一定是2，错误。8.由数列递推关系T_n=n(n+1)/2，当n=1时，e_1=T_1=2；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-（(n-1)n/2）=n，故e_n=n，为等差数列，不是等比数列，错误。9.由等差数列性质a_4=a_1+3d=9，代入a_1=3得3+3d=9，解得d=2，正确。10.由递推关系i_n+1=2i_n，为等比数列，正确。11.由等比数列性质i_3=i_2q，代入i_2=6，i_3=18得6q=18，解得q=3，正确。四、简答题1.由数列递推关系S_n=3n^2-2n，当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-（3(n-1)^2-2(n-1)）=6n-5，故a_n=6n-5。2.由等差数列性质a_4=a_1+3d=10，代入a_1=2得2+3d=10，