黑龙江省鸡西市实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含解析）

黑龙江省鸡西实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知直线的斜率为，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．若向量，则（

）A．5 B．8 C．10 D．123．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（

）A． B．C． D．4．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（

）A． B． C． D．5．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A． B． C． D．6．如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．7．已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．68．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论错误的是（

）A．过点，的直线的倾斜角为B．若直线与直线平行，则C．直线与直线之间的距离是D．已知，，点在轴上，则的最小值是510．下面四个结论正确的是（

）A．任意向量满足B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件11．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得∥面B．存在点，使得面C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为D．若为面的中心，则的最小值为三、填空题12．已知向量，则点A到直线的距离为___________．13．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为________．14．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______．四、解答题15．直线经过两直线和的交点．(1)若直线与直线平行，求直线的方程；(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．16．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．(1)求；(2)求．17．如图所示，在直四棱柱中，，(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.19．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点．(1)若，证明：平面；(2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由．

1．B【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，故选：B.2．C【详解】由题意可得，，则.故选：C3．B【详解】，为中点，故.故选：B4．B【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以，设，由空间向量基本定理得，解得，所以以为基底时的坐标为.故选：B5．A【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点，设点关于x轴的对称点为，则根据反射定律，点在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线的方程为，即，故选：A．6．A【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、、，，，所以，，因此，异面直线和所成角的余弦值为.故选：A.7．C【详解】因为直线与直线垂直，所以，即，所以（当且仅当，时，等号成立）.故选：C．8．D【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，所以,设平面的法向量为，则，令，则，因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以直线到平面的距离为.故选：D.

9．AC【详解】对于A，，即，故A错误；对于B，直线与直线平行，所以，解得，故B正确；对于C，直线与直线（即）之间的距离为，故C错误；对于D，已知，，点在轴上，如图取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，所以的最小值是5，故D正确；故选：AC.10．BC【详解】对于A，表示与共线的向量，表示与共线的向量，而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误；对于B，因为，且，所以四点共面，故B正确；对于C，是空间的一组基底，若，当共面时，则，所以，无解，所以不共面，所以也是空间的一组基底，故C正确；对于D，时，，故D错误.故选：BC.11．ACD【详解】由题意，在正方体中，棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接，建立空间直角坐标系如下图所示，，∴，∴∥，∵面，面，∴∥面，∴当点在处时，面，∴存在点，使得∥面，故A正确；B项，在面中，，设面的法向量为，即，解得，当时，，若面，则，，∵动点在正方体表面上，∴，此时，与重合，∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误；C项，因为，与的夹角为，所以与所成的角为，则由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即），在中，，，，∴，∴点的轨迹长度为：，C正确；D项，为面的中心，作点关于平面的对称点，连接，当最小时，，∴，，∴，D正确.故选：ACD.12．1【详解】在方向上投影向量的模为，所以点A到直线的距离．故答案为：113．【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况，又，当直线从位置顺时针转动到位置时，由倾斜角和斜率的关系可知，.故答案为：

14．或，【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点，所以直线的斜率存在，可设直线的方程为，所以，，所以，，所以，当且仅当时取等号，此时，此时直线的方程为或，故答案为：或，15．(1)(2)或【详解】（1）解：由，解得，所以两直线和的交点为．当直线与直线平行，设的方程为，把点代入求得，可得的方程为．（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．当的斜率存在时，设直限的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故的方程为，即．综上，直线的方程为或．16．(1)3(2)【详解】（1）设，，，由题意得：，，，，，，；（2）17．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，（2）设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成的角为，而，，直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)证明见解析；点A的坐标为；(2)或；(3)【详解】（1）整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，点的坐标为；（2）当截距为时，直线的方程为，即，当截距不为时，设直线的方程为，则，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或；（3）当时，直线l的方程为，符合题意，当时，直线l的方程为，不符合题意，当，且时，，所以，解得或，综上所述，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是.19．(1)取线段的中点P，连接PM，PD，因为MP为梯形的中位线，所以，又因为，所以，因为，，且，所以，，所以四边形MNDP为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．(2)在平面中，作于O，因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD，在正方形ABCD中，过O作AD的平行线交CD于点Q，则，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示