湖南省湖湘名校联盟2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷（含解析）

湖南省湖湘名校联盟2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,则(

)A. B. C. D.2．已知复数z满足,则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．如果，那么下列不等式中成立的是(

).A. B. C. D.4．已知单位向量满足,则(

)A. B. C. D.5．若函数的图象关于y轴对称,则(

)A. B.1 C.2 D.06．已知都是锐角,,则(

)A. B. C. D.7．已知A,B为样本空间中的两个随机事件,其中,,则()A.事件A与B互斥B.C.事件A与B相互独立D.8．如图,棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点,若平面,且A,B均在平面内,则平面截正方体所得图形的外接圆面积为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数,则(

)A.的定义域为 B.为奇函数C.为R上的减函数 D.无最值10．已知球O（O为球心）为正方体的内切球,且球O的表面积为,则(

)A.线段的长为B.直线与球O相切C.的面积为D.直线与底面所成角的正弦值为11．设样本数据的平均数为,方差为,设,样本数据的平均数为,方差为,则(

)A. B.C. D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是其底面面积的2倍,则该圆锥的母线长为_____________.13．在矩形中,,点E为中点,,则_____________.14．设函数的定义域为,且对于任意的正数,都有,若,则___________________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数函数满足,且.(1)求的值域；(2)求函数的最大值与最小值.16．（15分）已知复数.(1)求；(2)求的最小值；(3)若的实部大于0,求a的取值范围.17．（15分）这么近,那么美,周末到河北.“五一”小长假过后,为更好地提升旅游品质,邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分）,将评分绘制成频率分布直方图,请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.(1)根据频率分布直方图,求x的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；(3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名,其中评分在内的有2人,评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流,求选取的2人评分均在内的概率.18．（17分）如图，三棱柱中，，且P，Q分别为线段与的中点.已知平面.(1)证明：；(2)证明：为二面角的平面角；(3)若，且，求二面角的大小19．（17分）在中,,且.(1)求角A；(2)求面积的最大值；(3)若D是边上的一点,且证明,并求的最小值.提示：函数在区间上单调递减.参考答案1．答案：C解析：因为,所以,故选：C.2．答案：B解析：因为,所以,所以复数z在复平面内对应的点为,该点在第二象限,故选：B.3．答案：C解析：对于A：因为，所以，则，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误.故选：C4．答案：B解析：由题意,,记,由可得：,即得,因,则.故选：B.5．答案：D解析：函数的定义域为,定义域关于原点对称,因为函数的图象关于y轴对称,所以函数为偶函数,所以,所以,所以恒成立,所以,故选：D.6．答案：A解析：因为,又,所以,又都是锐角,则,所以,整理得到,解得,,则,故选：A.7．答案：C解析：A选项:由,则有,所以,即,故A不正确;B选项:因为,所以,又,所以,所以,故B选项不正确;C选项:由,,,所以,所以事件A与B相互独立故C正确;D选项:因为,,所以,,由事件A与B相互独立,所以,故D选项不正确,故选:C.8．答案：C解析：如图,设Q,R为所在棱的中点,又且,所以四边形为平行四边形,则有,则经过点A,B,Q三点的平面即为符合题意的平面,则平面截正方体所得图形为矩形,其中,,故,所以平面截正方体所得图形的外接圆面积为.故选：C.9．答案：ABD解析：对于A项,由可知,所以,即其定义域为,A正确；对于B项,,显然,所以为奇函数,B正确；对于C项,由A项结论可知显然错误；对于D项,由指数函数的性质知：当时,,所以,则,故D正确；故选：ABD.10．答案：BCD解析：对于A,因为球O的表面积为,所以（r为球O的半径）,解得,因为球O的半径为,得,则正方体的边长为2,则,故A错误；对于B,设线段的中点为E,则由正方体及其内切球对称性结构特征可知球O与平面切于点E,所以直线与球O相切,故B正确；对于C,因为,所以的面积为,故C正确；对于D,直线与底面所成的角即直线与底面所成的角,即,所以直线与底面所成角的正弦值为,故D正确.故选：BCD.11．答案：ACD解析：对于A,因为,所以,化简得,故A正确,对于B,因为,所以由方差的性质得,故B错误,对于C,由题意得,由均值的性质得,得到,则,故C正确,对于D,由方差的性质得,则,由题意得,故D正确.故选：ACD.12．答案：2解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面展开图的面积,圆锥的底面面积,因为圆锥的底面半径为1,所以,因为圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的2倍,所以,所以.故答案为：2.13．答案：8解析：如图,以A为原点,所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,设,,点E为中点,,,,,,,,,,,,,,,,.故答案为：8.14．答案：解析：令,得,得,令,得,令,得,因为所以,所以.故答案为：.15．答案：(1)(2)最大值,最小值解析：(1)由且可得即当时,符合题意；当时,不符合题意,舍去.综上所述,结合,可知,即函数的值域为；(2)由(1)的结论,可得,所以,其中锐角满足,当时,即时,取得最大值,当时,即时,取得最小值.16．答案：(1)2(2)1(3)解析：(1)因为,所以,解得,则,故.(2)因为,所以,由复数的模长公式得,而,得到,即,故当时,原式取得最小值.(3)因为,所以,而的实部大于,则,解得,故a的取值范围为.17．答案：(1)(2)86(3)解析：(1)由图知：,可得.(2)由,所以中位数在之间,设中位数为a,那么,解得,所以中位数为86.(3)设在中抽取的2人分别为；在中抽取的3人分别为C,D,E；从这5人中随机抽取2人,则样本空间为：,共有10个基本事件.设选取的2人评分均在内为事件A,则A中包含,3个基本事件,所以.18．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)解析：(1)由三棱柱的性质，四边形为平行四边形，故，.又P，Q分别为线段与的中点，则有.所以四边形为平行四边形，所以，.因为三棱柱所有侧棱都平行，所以，故.(2)因为平面，平面，故.又，由三棱柱的性质知：，，，所以.又Q为线段的中点，故.由于，，且，平面，故平面.因为平面，故.由(1)可知：，所以.因为平面平面，平面，平面且，，所以为二面角的平面角.(3)由(1)可知：，，所以四边形为平行四边形，所以平面即为平面.由(1)平面，因为，所以平面.连接，因为，且P为线段的中点，所以，由(2)，所以，因为平面平面，平面，平面，所以为二面角的平面角，由于，且Q为线段的中点，故.又，故为等边三角形，不妨设，则.由于，，故为等腰直角三角形，故.故中，，故.因为四边形为平行四边形，所以.所以二面角的大小为.19．答案：(1)(2)(