重庆市涪陵第十一中学校2025-2026学年高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆十一中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=Z，集合A={x|x=4k+1,k∈Z}，B={x|x=4k+3,k∈Z}，A∪B=(

)A.{x|x=4k,k∈Z} B.{x|x=2k−1,k∈Z}

C.{x|x=4k−1,k∈Z} D.{x|x=8k+4,k∈Z}2.已知z=i−1i2，则z的共轭复数是A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，a=23，b=2，则A.π6 B.π4 C.5π124.函数f(x)=|3x|2x−A. B.

C. D.5.甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有(

)A.24种 B.30种 C.36种 D.42种6.如图，过抛物线C：y2=2x焦点F的直线l与抛物线交于A，D两点，且l与圆(x−12)2+y2=1A.2

B.1

C.3

D.37.已知函数f(x)=|2x−1|,x≤1,2−x,x>1,则方程A.3 B.4 C.5 D.68.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线A.(1,3+6] B.(1,3+5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=3cos2A.f(0)=32

B.f(x)在区间(0,5π12)上单调递减

C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的一条对称轴

D.10.已知双曲线E：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1A.|PF1|−|PF2|=2

B.若∠F1PF2=90°，则|PF1||P11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AAA.直线PB1//平面BC1D

B.三棱锥P−BCC1的体积为定值42

C.若Q为线段BB1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x−15x2)4的展开式中x的系数为

13.以抛物线y2=2px(p>0)焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A，交y轴于点B，若|AF|=2，|BF|=3，则p=

．14.从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找．

(1)求第1次查找到的是合格品的概率；

(2)记X为查找结束时的查找次数，求X的分布列和数学期望．16.(本小题15分)

如图1，在直角梯形BCEF中，BF/​/CE，BF⊥EF，且BF=2，CE=3，EF=1，在边BF和CE分别取点A，D，使得AF=DE=1，现沿边AD将四边形ADEF进行翻折，使平面ADEF⊥平面ABCD，如图2．

(1)求证：BC⊥平面BDE；

(2)求CD与平面BEC所成角的正弦值．17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3b=4bsinAcosC+2ccosAsinB−2asinBcosC．

(1)求角B；

(2)若B为锐角，AC边上的中线BD=3318.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆C的方程．

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F且斜率存在且不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，直线AP与直线BQ相交于点M．

(i)19.(本小题17分)

记函数f(x)=ex．

(1)求函数在点(1,e)处的切线方程；

(2)若不等式f(x)≥1+x+ax2对于任意x≥0恒成立，求a的取值范围；

(3)求证：对于任意x≥0，f(x)>2x21.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】AC

12.【答案】−3213.【答案】3

14.【答案】180

15.【答案】23

X的分布列为：X2345P1248E(X)=6416.【答案】证明：依题意可得，四边形ADEF为正方形，故ED⊥AD，

又平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊂平面ADEF，

所以ED⊥平面ABCD，

又BC⊂平面ABCD，则ED⊥BC，

在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，得BD=BC=2，

在△BCD中，BD=BC=2,CD=2，则BD2+BC2=CD2，则BC⊥BD，

因为ED⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，ED∩BD=D，

所以BC⊥平面BDE

解：以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

所以D(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0,0,1)，

则DC=(0,2,0)，EC=(0,2,−1),BC=(−1,1,0)，

设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z)，

所以m⋅EC=0m⋅BC=0，即2y−z=0−x+y=0，

取y=117.【答案】B=π3或B=2π18.【答案】因为椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4，

所以由椭圆定义得2a=4，解得a=2，

又因为离心率e=ca=12，所以c=1，

所以b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆标准方程为x24+y23=1

(i)由(1)得A(−2,0)，B(2,0)，

当k1=1时，直线l的方程为y=x−1，

联立y=x−1x24+y23=1，消元化简得：7x2−8x−8=0(或7y2−6y−9=0)，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则Δ>0,x1+x2=87,x1x2=−87，

所以|y1−y2|=|x1−1−(x2−1)|=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=6449+327=1227，

所以四边形APBQ的面积S=12|AB||19.【答案】因为f(x)=ex，所以f′(x)=ex，所以f′(1)=e，

所以切线方程为y−e=e(x−1)，整理得y=ex．

令g(x)=f(x)−(1+x+ax2)=ex−ax2−x−1，

所以g(0)=0且g′(x)=ex−2ax−1，令h(x)=ex−2ax−1，则h′(x)=ex−2a．

则函数h′(x)在[0,+∞)上为增函数，且h′(0)=1−2a，

若2a>1，即a>12，由h′(x)<0可得0<x<ln2a，

即函数g′(x)在(0,ln2a)上单调递减，所以g′(x)<g′(0)=0，

故函数g(x)在(0,ln2a)上单调递减，所以g(ln2a)<g(0)=0，矛盾，所以a≤12，

当a≤12时，对于任意x≥0，h′(x)=ex−2a≥1−2a≥0．

所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增，所以对于任意x≥0，g′(x)≥g′(0)=0，

所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以对于任意x≥0，g(x)≥g(0)=0，符合题意．

综上所述，a的取值范围为(−∞,12]

证明：法一：令φ(x)=f(x)−(2x2−23)=ex−2x2+23，所以φ′(x)=ex−4x，

令p(x)=ex−4x，则p′(x)=ex−4，

当x∈(0,2ln2)时，p′(x)<0，φ′(x)在(0,2ln2)上单调递减，

当x∈(2ln2,+∞)，p′(x)>0，φ′(x)在(2ln2,+∞)上单调递增，

又φ′(0)=1，φ′(2ln2)=4−8ln2<0，φ′(3)=e3−12>0，

所以存在唯一x1∈(0,2ln2)，使得φ′(x1)=0；存在唯一x2∈(2ln2,+∞)，使得φ′(x2)=0，

所以当x∈(0,x1)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0,x1)上单调递增，

当x∈(x1,x2)时，φ′(x)<0，从而φ(x)在(x1,x2)上单调递减，

当x∈(x2,+∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(x2,+∞)上单调递增，

又φ(0)=53>0，所以只需证明φ(x2)>0即可，又φ′(x2)=0即ex2=4x2，

所以φ(x2)=ex2−2x22+23=4x