导数问题中的秒杀技-洛必达法则（解析版）

知识点01诠释洛必达法则(3)lim=A，那么lim=lim=A.(3)lim=A，那么lim=lim=A.+,x-洛必达法则也成立.4.若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.==,如A.B.C.1D.2【详解】l=l=l=.出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：l=l=l=lex=e0=1，则l-=()A.B.C.1D.2如：l=l=l=1，则l=()A.0B.C.1D.2【详解】l=l=l=2，1.设函数f(x)=ex-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围x-1-x，f'(x)=ex-1.所以f(x)=ex-1-x≥f(0)=0,x-1≥x，当且仅当x=0时取等号.x-1-2ax≥x-2ax=(1-2a)x，于是当x≥0时，f(x)≥0.x>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).从而当a>时，f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a)，当x>0时，f(x)≥0等价于a≤令gx=(x>0),则g(x)=，令hx=xex-2ex+x+2x>0，则hx=xex-ex+1，hx=xex>0，知hx在0,+∞上为增函数，hx>h0=0；知hx在0,+∞上为增函数，hx>h0由洛必达法则知，===，故a≤,法则.2.(2026·河北·三模)已知函数fx=ax3+sinx-x，hx=3sinx-xcosx-2x.【详解】(1)证明：hx=3sinx-xcosx-2x,∴hx=2cosx+xsinx-2，令mx=2cosx+xsinx-2，则mx=-sinx+xcosx，令nx=-sinx+xcosx，则nx=-xsinx，若x∈0,π,则nx≤0,∴nx单调递减，nx≤n0=0,∴mx单调递减，mx≤m0=0，∴hx在0,π上单调递减，若x∈π,2π,则nx≥0,∴nx单调递增，∴nπ<nx≤n2π,即-π<nx≤2π,0上，nx<0,mx单调递减，在x0,2π上，nx>0,mx单调递增，且mπ=-4<0,m2π=0,∴mx≤0，令gx=,∴gx==，由(1)可知hx≤h0=0,∴gx≤0,∴gx在0,2π上单调递减，g(x)<lg(x).由洛必达法则：lg(x)=l=l=l=l=，(1)设函数Fx=xgx-fx+2sinx，若不等式Fx≥0在0,π上恒成立,求a的取值范围；<.【详解】(1)由题意可知不等式Fx=ax3-x+sinx≥0在0,π上恒成立，当0<x<π时，不等式可化为a≥恒成立令hx=，则hx=，令φx=3sinx-xcosx-2x，则φx=2cosx+xsinx-2，设mx=2cosx+xsinx-2，则mx=-sinx+xcosx，设ωx=-sinx+xcosx，则ωx=-xsinx.因为0<x<π,所以ωx<0，则ωx在0,π上单调递减，所以ωx<ω0=0，即所以mx在0,π上单调递减，所以mx<m0=0，即φx<0，所以φx在0,π上单调递减，所以φx<φ0=0，即hx<0，所以hx在0,π上单调递减，所以hx<l.根据洛必达法则可知l=l=l=l=l=,所以a≥,(2)证明：当a=时，Fx=x3-x+sinx，Fx=x2-1+cosx,设px=x2-1+cosx，则px=x-sinx，设zx=x-sinx，则zx=1-cosx≥0，所以zx在0,+∞上单调递增，则zx≥z0=0，即px≥0，所以px≥p0=0，即1-cosx≤x2，当且仅当x=0时取得等号.n2n+1,n2n+1,将上面n个式子相加得n-i1cos<++⋯+==2n<,<.(2)先求出f(x)，构造函数g(x)=x-1+xln1+x，借助导数研究其单调性及最值，得到g(x)<g(0)【详解】(1)要使函数fx=m∈R有意义，须满足x>0，所以-=-1，解得m=1；fx=，所以fx==-=，令g(x)=x-1+xln1+x，所以g(x)=1-1+xln1+x-1+xln1+x=1-ln1+x-=-ln1+x，因为ln1+x在-1,0∪0,+∞上是单调递增的，所以当-1<x<0时，ln1+x<0，g(x)>0，g(x)在-1,0上单调递增；当x>0时，ln1+x>0，g(x)<0，g(x)在0,+∞上单调递减，但是x=0不在函数f(x)的定义域内，所以f(x)<0，即f(x)在0,+∞上单调递减，当x→+∞时，ln1+x和x都趋近于+∞,但是ln1+x的增长速度比x慢，所以=0，5.已知函数fx=x-sinx，gx=axcosx-2sinx(a>0).若对任意x∈0,，不等式fx≥gx恒【分析】由题意可得x-sinx≥axco求解即可.即x-sinx≥axcosx-2sinx在0,内恒成立，即x+sinx≥axcosx在0,内恒成立，③当0<x<时，即a≤,则hx==x+x2sinx-sin2x=2x-sin2x+所以hx在0,内单调递增，由洛必达法则得l=l-==2，函数fx和gx满足下列条件：①=0且gx=0(或=∞,gx=∞)；(2)函数fx=1+x+++⋯+-(n≥2，n∈N*)，判断并说明fx的零点个数；参考公式：=f，=k.(2)fx=1+x+++⋯+-，f′x=1+x+++⋯+-，所以f′x-fx=--，=′=-.,f0=1，在0,+∞上单调递减，在-∞,0上单调递增，=cosnsin2nsin，sinxx=sinxx=x即gx=sinx⋅lim2nx,1,x=0.1,x=0.7.l-=.【详解】l-=l=l=l-=1.8.已知函数f(x)=x2lnx-a(x2-1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为 求导得g(x)=，令h(x)=x2-1-2lnx,x>1，求导得h(x)=2x记h(x)=-cosx-1，则h(x)=，这时a≤0符合题意.10.已知函数fx=ax-2ex-ea-2．当x>1时fx>0，求a的取值范围.计算即可.【详解】由题意可知，当x>1,fx>0时，即(ax-2)ex-ea-2>0等价设gx=，则gx==设hx=xe-ex，则hx=e-ex，因为x>1，所以hx<0，即当x>1时，gx<0，所以gx在1,+∞上单调递减，所以lgx=l=l=1，11.设函数fx=ex-b+cx-ax2，(1)若f0=0，f-1=-a(a为常数)，求fx的解析式；所以f0=1-b=0，f-1=-b-c-a=-a，解得b=1,c=-1，所以fx=ex-1-x-ax2；故x≥0时，fx≥0成立⇔x>0时，fx≥0成立，⇔ex-1-x-ax2≥0对x>0恒成立，即a≤对x>0恒成立；记hx=，则hx=，记φx=xex-2ex+x+2，则φx=xex-ex+1，记rx=xex-ex+1，则rx=xex，φx>φ0=0，所以φx在0,+∞上单调递增；φx>φ0=0；记px=ex-x-1，qx=x2，∴ll=l=l=，12.已知函数fx=exx-3+ax2+2x+3【详解】(1)a=-时，fx=exx-3-x2+2x+3fx=exx-2-x+2=x-2ex-1，令fx>0得x<0或x>2,∴fx在x∈-∞,0时单调递增，所以函数fx得单调递增区间为-∞,0和2,+∞,单调递减区间为0,2；(2)注意到f0=0，设gx=，则gx=-a在x≠0时有两不同解，gx=，令hx=exx2-4x+6-2x-6,h0=0hx=exx2-2x+2-2，h0=0，令px=hx，则有px=exx2≥0，因为lg(x)=l=l=-，x<1，x-3+2x+3<exx-3+2x+