高三1月高考适应性调研考试数学（文）试卷

高三1月高考适应性调研考试数学(文)试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共7题，共35分)

1、已知不等式XTVW—2久|在［0，2］上恒成立，且函数f(x)=eJnx在(3，+8)上单调递

增，则实数血的取值范围为()

3

A.(-8,2)U(5,+oo)B(-oo,1)U(5,e］

23

C.(-8,2)U(5,e］D(-oo,2)U(5,e］

【考点】

【答案】D

Lml

［解析］不等式V而一2X|=20T)vA-2在XHo,2j上恒成立，

又=e'-mx在(3,+8)上单调递增，故f(x)=ex-m>0在上恒成立,

m<e3

综上，mW(-8,2)U(5,03]

故选D.

I_1I

2、在△4BC中，乙4=60。，乙4的内角平分线4D将BC分成RD,OC两段，若向量幺。=/区+初。

（，e吗，则=（）

A.30°B.45°C60°D.90。

【考点】

【答案】A

.㈣_网__「

【螭斤】由题意可知，8,D,C三点共线，•,<=?,|DC|kd，湛明=2|研

不妨设4c=1,则4B=2,根据余弦定理BC=◎・•・=30

故选A.

3、已知函数f（乃=asinx+bcosx（x€R）,若"=%是函数/（乃的一条对称轴，且1&1】与=2,

则（°，好所在的直线为（）

A2x—y=0Bx+2y=0cx-2y=0D2%+y=0

【考点】

【答案】C

【解析】函数f（幻=as[nx+bcosxR）,若"=%是函数f（x）的一条对称轴，则是函数外幻的

一个极值点，"⑴=acos—bsinx,根据题意有f60）=«cosx0-bsinx0=0,又tan%=2,

故a=htanx0=2b,结合选项，点（a,b）所在的直线为尸2y=0

故选C.

4、“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”

问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一

般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一

个整除问题：将1到2018这个数中，能被3除余且被7除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列

{%4则此数列共有（）

A.98项B.97项c.96项D.95项

【考点】

【答案】B

【解析】能被3除余1且被7除余1的数就只能被21除余1的数，故册=2ln-20,由1"册"2018

得14〃497,故此数列的项数为97.

故选B.

5、已知尤，y是［°，2］上的两个随机数，则点P（X，y）到坐标原点的距离大于2的概率为（）

n4—7Tnn—2

A,正B.-C.彳D.~

【考点】

【答案】

【解析】

点产的活动区域构成如图所示的边长为2的正方形，面积为‘I=4,

满足到坐标原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为

TTX22

S2=4--i-=4-n

4—

在正方形区域中随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率0=

故选B.

6、若执行下图所示的程序，输出的结果为48,则判断框中应填入的条件为（）

【考点】

【答案】C

【解析】当i=l时，不满足输出条件，执行循环体后，s=4,i=2.

当时，不满足输出条件，执行循环体后，s=12,i=3.

当时，不满足输出条件，执行循环体后，5=48,1=4,

当时，满足输出条件，故判断框内的条件应为:4

故选C.

7、等比数列｛册｝中，05,叼是函数f(x)="2-4X+3的两个零点，则等于()

A.-4B.-3C.4D.3

【考点】

【答案】D

【解析】:“5以7是函数f(x)=X2-4X+3的两个零点，

・'.05・=3,由等比数列的性质知，°3.佝=%.叼=3

故选D.

二、填空题(共3题，共15分)

8、在AABC中，,1,%分别是边84,C8的中点，”/分别是线段4遇，8道的中点，…，％,

%分别是线段勺-1力，%-田(n6N\n>1)的中点，设数列｛册上｛九｝满足：向量

8,4=anCA+bnC8(nEN*),有下列四个命题：

①数列是单调递增数列，数列是单调递减数列；

②数列(。n卡是等比数列；

｛-｝

③数列小有最小值，无最大值；

④若机C=90,CA=CB,则I%*最小时，/

其中真命题是.

【考点】

【答案】①②④

【函斤】根据题意可得叫=(1-婀12=(1-彳*工，…，

以”=(1—融4=B2B=涉BnB=^CB

»9»»»

贝I]

]

BnAn=隔+嬴=(1一+^CB=(1-^)CA++力加

9

।---------h1_4

由于在，，BC中，CB,C4不共缘.9-1一21"一河Ll,则数列I。J是单调递增数列，数

列加J是单调递减数列，①正确；

数列｛%：+bJ即为卜』，是首项和公比均为，的等比数列，②正确；

勾_2-2"_1

-2门-1一一2"-1一恒成立，在九EN*单调递减，有最大值为0,无最小值，故③错误;

2

根据题意「晒产=(4+/)3/+2anb.CA•苏=叱+b^)CA

今o121212n1ni321

an+bn=（1一剂+（p^D=5'（2）-6・（力+2=5（落至）一5

»

a

当一=1时，取得最小值，即有凡41最小时，^+n=2t故④正确.

故答案为：①②④.

9、已知点P是双曲线/一层一力>°)右支上一点，尸1,尸2分别是双曲线的左，右焦点，/

为△PF—2的内心，若S△g=/△/F1F2+S△爪成立，则双曲线的离心率为.

【考点】

【答案】2

【解析】利用内切圆半径，SgR=聂3+S]/P&化为忸川=肮F』+\PF2\=c+喇,

C

根据双曲线的定义，有2a=c,所以双曲线的离心率e=£=2

故答案为：2.

12

M直线ax-2by+l=0(a>0,b>0)平分圆/+y?+4%一27一1=o的面积，则怎十石的

最小值为.

【考点】

【答案】6+4®

[解析]根据题意，圆心(一2」)在直线以-2"+1=0上，可得一2°-2b+1=0,即a+b=彳,

又Q>0,b>0,•,•；+：=2(：+软(1+劝=2(3+：+126+4业,

b_2a

当且仅当占=万时，等号成立.

故答案为：.

三、解答题（共5题，共25分）

11、选修4-4：坐标系与参数方程

已知直角坐标系中动点P（l+cosa，sina）,参数aC[0，2瓦），在以原点为极点、尤轴正半轴

sin。1

为极轴所建立的极坐标系中，动点QS，6）在曲线0：丁一c°s=p±

（1）求点「的轨迹石的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点,求实数a的取值范围.

【考点】

【答案】（1）点尸的轨迹七的方程：（“-1）2+/=1,曲线C的方程为：，依一），+Q=°（aH°）；

ae

（2）（-r0）U（0岛

x=1+cosa

【解析】试题分析：（1）设点的坐标为（“，y）,则有〔y=Slna，消去参数可得普通方程，由曲线：

sin£_1

--COSO=-得psine-Qpcose=Q,由psin8=y,pcos8=x代入可得直角坐标方程；

（2）由数形结合的思想曲线表示过点（-1，°）,斜率为Q的直线与动点的轨迹，以（1，°）为圆心，

1为半径的圆有两个公共点即可.

试题解析：

x=1+cosa

⑴设点的坐标为，则有1y=Sina'aC[0,27T）

消去参数a,可得（x-l）+y”=l,为点的轨迹的方程；

由曲线：，得，且aw°,

由，故曲线的方程为：ax-y+a=°；

（2）曲线的方程为：，即），=a（'+1）

表示过点，斜率为的直线，

动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得"c（一名°）u（°¥）.

（或圆心到直线的距离小于半径知去求）.

12、已知函数f。）=/一。/+1,9。）=（。-2）%+2,且曲线7=/（刈在X=1处的切线方程为

y=bx+2

(D求0,力的值;

⑶证明：当—>0时,g(x)〈f(x).

【考点】

【答案】(1)0=1力=2—2；Q)见解析.

f(1)=e-2a=b

’(l)=e-a+l=b+2,解方程组即可;

【解析】试题分析：(1)由题设得

x

(2)令函数h(x)=f(x)-g(x),/i'(x)=e-2x-(e-2)t令函数3。)=/(♦),则

30)=/一2,由零点存在定理可得存在与'(0，1),使得八(x)=°,又九(0)=九(1)=0,分析

单调性可证得.

试题解析：

(D由题设得/CO=e"2av,

解得，Q=l,b=e-2

x2

⑵由⑴知，f(x)=-+令函数九(x)=f(x)-^(x)=e-x-(e-2)x-lj

令函数，贝九当xC(°』n2)时，3(无)V0,八。)单调递减；

当xe(ln2,+8)时，3(x)>0,单调递增，

又h(0)=3-e>0/i(1)=00<ln2<Ih(ln2)<0

所以，存在，使得，

当x6(0,%Q)U(1,+8)时h(x)>0,当x6(X)<0

故h(x)在(0，X0)上单调递增，在(％])上单调递减，在(1，+8)上单调增.

2

X,-%-(e-2)x-1>Ot当且仅当％=1时取等号.

故：当工>°时，g(x)Rfa),

9—+--=]

13、已知抛物线C：y=2px（P>O）的焦点是椭圆M：a2b2~的右焦点，且两

曲线有公共点当

（D求椭圆的方程；

（2）°为坐标原点，4,B,是椭圆上不同的三点，并且为△ABC的重心，试探究的面积是否为定

值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【考点】

_1—=1

【答案】（1）4T3一%（2）见解析.

【解析】试题分析：（Q将点（»亍）代入抛物线得抛物线焦点，进而得椭圆中,=1,再将点代入椭圆

求解即可；

（2）当直线48的斜率不存在时，得S"8c当直线的斜率存在时，设直线：y=kx+m,与

椭圆联立得：（3+4k2）/+8kmx+4m2-12=0,设'（々，）",（程为），由韦达

定理得勺十%力+为，。为MBC的重心，二七=一（勺+4必=-4+力，点C点在椭圆上,

所以代入椭圆可得4m2=3+4/,由|明=Jl+EWiF,到的距离为

8km6m

d」3+痴+3+而+m|_13mli

一J1+A2-J1+R得=引附，代入求解即可证得.

试题解析：

（1）将点代入y2=2Px可得P=2

•■­抛物线c：）/=4大的焦点为（1,0）,

a2-b2=1

二424

彳+亦=1

椭圆河中又点在椭圆上，，

解得Q2=4,庐=3椭圆：

（2）当直线的斜率不存在时，AS关于X轴对称，

•••°为的重心，二。为椭圆长轴顶点，

网=3,到的距离为d=3.

19

ASAABC=2^AB\，d=2

当直线的斜率存在时，设直线：，联立方程

y=kx+m

3/+4y2-12=0,消y得有两不等实根

.・"=64k2m2-4-4•(m2-3)(3+4k2)=48(3+4k2-m2)>0

3+4k2>m2

-8km4m2-12

设，.Jl+X2=M,=

-8km6m

・•・yi+y2=kxi+m+kx2+m=k^~2+2m=

8km-6m

又为的重心，，'3-3+4M,J'3—3+4d

64k2m236m2

----------rr+----------=1

又点在椭圆上，火3+4M)3(3+4k2),得

+44f

\AB\=/1+\x{-x2\=w十一善而一

到的距离为

c1MD1.13Ml9

-SAABC=2\AB\，d=2'~]^\一6后廿彳

9

的面积为定值2

14、近年来随着素质教育的不断推进，高考改革趋势明显.国家教育部先后出台了有关高考的《学业水平考

试》、《综合素质评价》、《加分项目瘦身与自主招生》三个重磅文件，引起社会极大关注，有人说：男

孩苦，女孩乐！为了了解某地区学生却包括老师，家长在内的社会人士对高考改革的看法，某媒体在该地

区选择了360°人，，就是否“赞同改革”进行调查，调查统计的结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“不赞同”态度的人的概率为℃5.

(D现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取36°人进行问卷访谈，文应该在持“无所谓”态

度的人中抽取多少人？

(2)在持“不赞同”态度的人中，用分层抽样方法抽取6人，若从人中任抽3人进一步深入调查，为

更多了解学生的意愿，要求在校学生人数不少于社会人士人士，求恰好抽到两名在校学生的概率.

【考点】

3

【答案】(1)72人；(2)彳.

【解析】试题分析：(1)先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,由已知条件求出x,再求出持

“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数.

(2)在所抽取的6人中，在校学生为4人，社会人士为2人，列举在校学生人数不少于社会人士人数”

包含基本事件，利用古典概型求解即可.

试题解析：

(D••・抽到持“不赞同”态度的人的概率为°05

120+x

-3600=0，05解得x=60

•••持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720

360_

「•应在“无所谓”态度的人中抽取72°*谢=72人

(2)由⑴知持“不赞同”态度的一共有180人

120

••・在所抽取的人中，在校学生为面X=人，

社会人士为两“6=2人

记抽取的4名在校学生依次为41/2/3,44,2名社会人士依次为81，82,

“在校学生人数不少于社会人士人数”包含基本事件为:{41/2,81},{41，42石2}

[A{，1442){4小凸}{冬/卜4}{42乂341){4442)

，，，，，

{须乙用}{42，4J的}{4/a4}{/A，附}{<1/2/3}{41/2/4}

99999

(41/3/4},{42/3/4},共16个，

记“恰好抽到两名学生"为事件“，事件包含12个基本事件，

12_3

所求事件的概率为：0=正=彳.

15、如图，四棱锥P-4BC。中，底面4PC。是直角梯形，AB//CDZ.DAB=60°?

AB=AD