高一年级下册期中重点题型复习 -学生版

高一下学期期中考试重点题型复习回顾

目录

【题型一】外接球............................................................................1

【题型二】内切球...........................................................................4

【题型三】空间中的平行关系.................................................................5

【题型四】几何体计算（多选）...............................................................7

【题型五】线面平行的证明及应用（大题）：平行存在性问题与截面.............................8

【题型六】向量范围（极化恒等式，投影法，拆分基底，系数和为1+基本不等式，等和线，隐圆）9

【题型七】正弦定理与三角变换综合..........................................................11

【题型八】向量与解三角形综合问题（多选）.................................................12

【题型九】解三角形的实际应用（解答题）..................................................15

【题型一】外接球

/核心•技巧/

1、圆锥型（正棱锥）：球心在高上，通过勾股计算即可得出半径

2、补充长方体型：遇到墙角模型和对棱相等结构，补充长方体即可

3、圆台枝台外接球：画图，注意讨论2个平面是否在同一个半球内

4、侧横垂直底面型（热门模型）：正弦定理+勾股

如图，B4_L平面ABC,求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

解题步躲：第一步：将AA8C画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AO,连接PD,

则尸。必过球心。：

第二步：。1为A48C的外心，仔以001_L平而ABC,算出小圆的半径厂（三角形的外接圆直

径算法：利用正弦定理，得一--=—--=―-—=2r）,00x=—PA：

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R『二尸A'十（2r了O2R='P#+（2r）「：

②斤二产+00；<=>R=yjr2+OO.2.

5、二面角模型：两条“中垂线”的交点即为球心

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折壁（如图）

B

第一步：先画出如图所示的图形，将ABC。画在小圆上，找出和AA'BO的外心和“2;

第二步：过和“2分别作平面4co和平面46。的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;

第三步：解AOEH、,算出在MAOCH］中，勾股定理：0H；+CH；=0C2

注：易知0,”|,民”2四点共面且四点共圆，证略.

1.（圆锥型）已知正三棱锥A-3C。，各棱长均为右，则其外接球的体积为（）

2.（补充长方体）将边长为的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方

形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

3.（台体外接球）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和46,其顶点都在同一球面上,

则该球的表面积为（）

A.100兀B.128KC.144兀D.I92TI

4.如图，在正四棱台A3CQ-A圈中，人耳=&，AB=2日该棱台体积，则该棱台外

3

接球的表面积为.

4

5.（侧棱垂直底面型）已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且/ACB=今.若%_L平面ABC,

且相=3,E4=4,三棱锥P-/WC的所有顶点均在球。的球面上，记球。的体积和表面积分别为口

S,则《=（）

6.（侧棱垂直底面型）己知三楂锥S-A8C所在顶点都在球。的球面上，且SC_L平面ABC,若

SC=AB=AC=2,ZBAC=\20°f则球。的体积为（）

A2（）7571R32花20兀32旧11

3333

7.（2个外心加“中垂线”确定球心）已知正方体A8C。-A8GA的棱长为1，P为梭AA的中点，则四

棱锥P-ABCD的外接球表面积为（）

8.（2个外心加“中垂线”确定球心）在四棱锥P-"CD中，平面24£>_1_平面八/工>,且/WC。为矩形,

AD=26AB=2,PA=PD,则四棱锥~一488的外接球的体积为（）

c64

C.---TtD.1671

3

【题型二】内切球

,核区谢I

三棱锥P-A3c是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）

方去：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为广，定立等式：％-八BC=%-八8。++%-P/IC+%-P8C=

Vp_ABC=§SMBC，+§SpAB"+§SpAC，+§SPBC,r二m(^AAHC+^APAH+PAC+「

第二步.解出7*=8c

^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC

9.一个正四面体的棱长为2,则它的外接球与内切球体积之比为（）

A.3:1B.6：1C.9:1D.27:1

io,已知正四面体的棱长为12,先在正四面体内放入一个内切球然后再放入一个球。一使得球。?与

球。|及正四面体的三个侧面都相切，则球。2的体积为（）

A.瓜RB.26兀C.2&兀D.扃

11.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为风的正四棱锥P-A8c。中，大球。।内切于该四棱锥，小球

。2与大球a及四极锥的四个侧面相切，则小球q的表面积为

12.已知某圆台的上、下底面半径分别为小弓，且弓=2彳，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均

相切，则该圆台的体积为（）

287r407t567rn112兀

A•C.D.-------

3亍3

【题型三】空间中的平行关系

13.卜列命题正确的是（）

A.若直线a//b,则。平行于经过人的任何平面

B.若直线〃，人和平面。，尸，满足ac〃=a,bHa,W,则。〃b

C.若直线〃，/?和平面。满足a//a,blla»则a〃b

D.若直线〃和平面。满足a//e,则。与。内任何直线平行

14.已知。力是异面直线，a］是两个平面，aua,bu/3,设p：。//且b〃a；q:a〃。，则（）

A.〃是9的充分条件但不是必要条件B.〃是9的必要条件但不是充分条件

C.〃是9的充要条件D.〃既不是4的充分条件也不是9的必要条件

15.若〃?，〃表示两条不重合的直线，a,表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若a）=〃?,万0/=〃，且〃?〃”，则a〃/

B.若〃?，〃相交且都在。,耳外，a、〃〃ajn"R、则a〃尸

C.若m〃几〃ua,则相〃a

D.若m//a,n//a,则〃?//n

16.如图所示，在正方体ABC。-A/©。中，点尸是棱A片上的一个动点，平面交棱于点£,

则下列命题中不正确的是（）

A.存在点F,使得AG〃平面BER尸

B.存在点尸，使得〃平面BE。/

C.对于任意点Q四边形BEd户均为平行四边形

D.对于任意点R三棱锥的体积均不变

17.如图，在四面体A8CO中，M是A。中点，P是8W中点.在线段AC1：存在一点Q,使得P。〃平面

BCD,则黑的值为（）

3

A.1B.2C.3D.

4

【题型四】几何体计算（多选）

18.在正方体ABCD-A/CQj卜，E,F,G分别为6C,CC.,6坊的中点，则（）

A.直线OQ与直线A尸异面B.直线4G与平面AE/平行

C.平面A所截正方体所得的截面是平行四边形D.点C和点8到平面A痔的距离相等

19.已知正方体A8CQ-A8GA的棱长为1,F,。分别为棱4B,BC的中点，P是GA上一动点，则

（）

A.直线AF，GQ，84交于一点

B.若P为的中点，则CP〃平面AFQ

C.三棱锥。-尸尸。的体积为定值

D.若耳。与平面。尸。交于点M,则4。例=3用与

20.正方体ABCO—A4CQ的棱长为1,E、RG分别为8C,CG，8片的中点，则（）

A.直线AG与平面斗£尸平行

B.%认朽二5

c.过AC的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形

D.过AC的平面截此正方体所得的截面的面积范围是四,0

【题型五】线面平行的证明及应用(大题)：平行存在性问题与截面

如国，正三棱柱/INC-A同G中，E、F、G分别为棱八B、BC、6c的中点.

(1)证明：々E〃平面ACG：

(2)在线段CQ是否存在一点N,变得平面NE尸〃平面ABG?若存在，请指出并证明：若不存在，请说

明理由.

【题型六】向量取值范围（极化恒等式，投影法，拆分基底，系数和为1+基本不等式，等和

线，隐圆）

21.如图，已知正方形A8CO的边长为4,若动点。在以44为直径的半圆上（正方形A8CO内部，含边

界），则PCPO的取值范围为（）

A

A.(0,16]B.[0,16]C.(0,4)D.[0,4]

22.如图，A8CO是边长2的正方形,。为半圆弧8c上的动点（含端点）则A&AP的取值范围

为.

23.在边长为1的正六边形A8CDM中，点尸为其内部或边界上一点，则AO・8P的取值范围为

24.如图,乂比中，〃AC=2,3C=6+不在及C所在的平面内,有一个边长为1的正

方形A£>,绕点A按逆时针方向旋转（不少于I周），则的取值范围是（）

A.[-3,5]C.[-5,9]D.[-3,4]

25.骑自行车是一种环保乂健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），

圆。（后轮）的半径均为G，..ABK,BEC,无CD均是边长为4的等边三角形.设点尸为后轮上的

一点，则在骑行该自行车的过程中，4cs0的最大值为.

26.在j4ABe中，点。是边A8上的动点（点。异于A,8）,且CE=：C。，若CE=2CA+“8,则

31

彳+一的最小值为______.

A〃

27.在二A8C中，AD=-ABtAE=^-AC,CD与BE交于点、F,AB=2,AC=4,用A8和AC表示

23

AP»则AP=；过点2的直线，交AB，AC于点也，N,设AN=nAC

(〃7>0,〃>0),则m+〃的最小值为.

28.如图正六边形/WCOE产中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设而=xM+），Q，则

的取值范围是.

29,给定两个长度为3的平面向量0A和08,它们的夹角为120°，如图所示，点C在以。为圆心的圆弧

A3上运动，若OC=xO八+）。3,其中则％+y的最大值是；2x+y的最大值是

30.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点，若AP=xA8+）、AC,则2x+2,y

的最大值为

【题型七】正弦定理与三角变换综合

31.在工8c中，下列说法错误的是（）

A.若以5c为锐角三角形，则sin4>cosAB.若A==s=2泊=2a,则/WC只有一解

C.若A>B,则cos2A<cos28D.若"tan8=Z?tanA,则,ABC为等腰三角形

32.在oABC中，若瓜1必(号?+?^)=sin8sinC,且6sinC+cosC=2,则。=()

A.V9B.73C.3D.2

33.在,•工BC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，则下列叙述正确的是（）

A.若58c是锐角三角形，则sinAvcosB

B,若a>b,{JlijsinA>sin5,cosA<cosB,cos2A>cos2B

C.若。=2,0=3,4=30。，则解此三角形的结果有一解

D.若角。为钝角，则，+瓜<1

34.在，ABC中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:acosA=〃cos8；乙：

a-tanB=b1tanA:丙:acosB=Z?cosA；丁.：q-〃=ccos3-rcos4.判断结果与其它三个天一样的是

（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

35.在锐角.ABC中，内角A,B,。的对边分别为。，b,c,且2smB-：mC=8sC,〃=石，则

tanA

必BC周长的最大值为（）

A.2x/3B.36c.G+&D.73+2

【题型八】向量与解三角形综合问题（多选）

36.若的内角A,B,C的对边分别为小b,c,且a=3,b=币，c、=l,则（)

B.J3C的面积为之叵

A.一ABC为锐角三角形

4

14D.设3AG=AC，则8G=匹

C.。为ABC的外心，则0Aoe=-可

3

37.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是（）

A.若4=45。，〃=2,h=2j2,则上8C只有一解

B.若ACd8>0,则ABC是锐角三角形

C.若。为“止C所任平面内一点，且。4==，则。为./WC的垂心

D.若"〃=L8s8-c・cosA,则4?C的形状是等腰或直角三角形

38,已知上8C三个内角A,B,C的对应边分别为小〃，c,且NC=^,c=2.则下列结论正确的是

（）

A./?cosA+acosB=2

Bh+2c_2b+c_4>?3

sinB+2sinC2sin4+sinC3

C.ACA8的取值范围为（。4>回）

D.若7^-+—AB=。，贝ljABC为等边三角形

|CACB）

39._A3C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,JS为二ABC的面积，且。=2,ABAC=2底,

下列选项正确的是（）

A.A=—

6

B.若b=2,则“ABC只有一解

C.若丛5c为锐角三角形，则〃取值范围是仅在屋

D.若二"C为锐角三角形，则》8c的面积的取值范围（26,2+6]

40.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角

形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是.4?。内一点，

△胡〃?,八4加。,44加4的面积分别为月,58,5「且冬・历4+S8・M5+SC-MC=0.以下命题正确的

A.若SA：S〃：SC=1:1:1,则”为SMC的重心

B.若M为4ABe的内心，则KCM4+AOMK+人BMC=0

C.若/以。=45。,448。=60。,“为以8。的外心，则丛5£.=1：6：2

D.若M为A8C的垂心，2M4+3M8+4MC=0，则cos/4M8=-立

7

41.在AA8c'中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,目.sinA:sinB:sinC=3:4:5,则下列结论错误

的是（）

A.sinA=cosB

B.若b=4,则AA8C内切圆的半径为2

C.若b=4,则A68C=9

D.若P为AWC内一点满足尸4+2P8+PC=0,则与△3PC的面积相等

【题型九】解三南形的实际应用(解答题)

42.如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线

AB,AC为两边夹角为120的公路(长度均超过3千米)，在两条公路A8,AC上分别设立游客上

下点M,N,从观景台尸到历，N建造两条观光线路PM,PN,测得千米，AN=6

千米.

(1)求线段的长度；(2)若NMPN=6(),求两条观光线路产M与PN之和的最大值.

43.深圳高一生劳课上，朱老师组织学生在短室楼下的荒地上种菜.如图，在一条直路边上有相距1()6米

的A、8两定点，路的一侧是荒地，朱老师用三块长度均为10米的篱笆(不能弯折)，将荒地围成一

块四边形地块A8CD(直路不需要国)，经开垦后计划在二角形地块4M和二角形地块38分别种

植青菜、萝卜两种作物.已知两种作物的收益都与各自地块的面积的平方成正比，且比例系数均为

k,即收益W=+设=

(