随机过程分析及仿真

随机过程分析及仿真

摘要

在科学研究与工程应用中，随机过程几乎无处不在，从通信工程到生物工程，从社

会科学到金融市场，随机过程理论扮演着极为重要的角色，是一个十分活跃且快速发展

的学科领域⑴。随着现代科学技术的快速发展，我们只有熟悉和掌握随机过程的基本理

论、基本分析方法，才能更好地学习现代科学技术，解决工程应用中遇到的各种问题。

研究和分析随机过程有着非常重要的意义。

在随机过程的分析过程中，往往需要极大的计算量，在人工计算时期，这需要消耗

大量的时间和精力。所幸今日我们可以借助于计算机进行辅助计算和仿真模拟，大大简

化了分析仿真的过程，也得以更直观的表现随机过程的各类性质。由美国公司MathWorks

出品的科学计算软件MATLAB是一款功能强大，应用方便的软件，非常适合进行模拟和

仿真随机过程。

本论文运用MATLAB对各类随机过程进行设计和仿真，具体包括平稳、非平稳、高

斯等随机过程，并研究它们的分布函数、各项数字特征、各态历经性、自相关函数、功

率谱密度等基本参数，并且进一步对在工程应用中常见的程窄带随机过及其统计特性进

行分析和仿真、正弦信号上叠加高斯型的窄带白噪声进行分析和仿真、带限白噪声进行

分析和仿真；对仿真结果进行分析讨论并比较各类随机过程的特点，据此得出具有一定

创新性的结论°最后针对通信系统中与随机过程有密切关联的应用实例：数字信号的

调制解调过程，运用随机过程理论进行分析并解决相关问题。

关键词：通信系统，随机过程，高斯过程，MATLAB

Abstract

Inscienceresearchandengineeringapplication,stochasticprocessisalmost

everywhere.Fromcommunicationengineeringtobiologicalengineering,fromsocialscience

tofinancialmarket,stochasticprocesstheoryplaysanextremelyimportantroleandisavery

activeandrapidlydevelopingsubjectfield.Onlywhenwearefamiliarwithandmasterthe

basictheoryandanalysismethodofstochasticprocess,canwelearnmodernscienceand

technologybetterandsolvevariousproblemsencounteredinengineeringapplication.Itis

veryimportanttostudyandanalyzestochasticprocesses.

Intheprocessofstochasticprocessanalysis,itoftenrequiresagreatdealofcalculation,

whichrequiresalotoftimeandenergyintheperiodofmanualcalculation.Fortunately,today

wecanusethecomputerforauxiliarycalculationandsimulation,greatlysimplifyingthe

processofanalysisandsimulation,butalsomoreintuitiveperformanceofrandomprocessof

allkindsofproperties.MATLAB,thescientificcomputingsoftwareproducedbyMathWorks,

isapowerfulandconvenientsoftware,whichisverysuitableforsimulationandsimulationof

randomprocesses.

ThispaperusesMATLABtodesignandsimulationofstochasticprocess,including

stationary,non-stationary,gaussianrandomprocess,andstudytheirdistributionfunction,the

numericalcharacteristics,ergodic,autocorrelationfunctionandpowerspectraldensityof

basicparameters,andfurtherrelevantconclusionsofstationaryrandomprocessthrougha

linearsystem,narrowbandstochasticprocessanditsstatisticalproperties,theunascertained

signalwithnarrowbandwhitegaussiannoise,sineband-limitedwhitenoisetocarryonthe

designandsimulation;Theoutcomeareanalyzedanddiscussed,andthefiguresofvarious

randomprocessesarecompared.Intheend,thepaperanalyzesthedigitalsignalmodulation

anddemodulationprocessbasedontherandomprocesstheoryandsolvestherelated

problems.

Keywords：Stochasticprocess,Gaussprocess,Communicationsystem,MATLAB

目录

1绪论...................................................................1

L1论文的研究背景及意义.............................................1

1.2随机过程简介.....................................................1

1.3随机过程理论的发展历程..........................................2

1.4MATLAB软件简介.................................................3

1.5本文的研究内容...................................................4

2随机过程的分类及数字特征.............................................5

2.1随机过程的几种性质.............................................5

2♦1.1I*•••••••••••«•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••5

2.1.2遍历性.....................................................5

2.1.3记忆性.....................................................6

2.2随机过程的数字特征.............................................6

2.2.1数学期望...................................................6

2.2.2方差.......................................................6

2.2.3相关函数...................................................7

2.3随机过程的分类.................................................7

3随机过程在通信系统中的应用............................................8

4各类随机过程分析与仿真................................................9

4.1高斯白噪声的分析与仿真...........................................9

4.1.1均值.......................................................10

4.1.2自相关函数................................................10

4.L3功率谱密度................................................11

4.1.4概率密度函数..............................................12

4.1.5频谱.......................................................13

4.2维纳过程的分析与仿真............................................14

4.2.1维纳过程的介绍与分析......................................14

4.2.2维纳过程的MATALB仿真.....................................15

4.3泊松过程的分析与仿真...........................................1G

4.3.1泊松过程的介绍与分析......................................16

4.3.2泊松过程的matlab仿真.....................................17

4.4平稳随机过程经过线性系统........................................18

4.4.1平稳随机过程经过线性系统的介绍............................18

4.4.2平稳随机过程经过线性系统的分析...........................19

4.5窄带随机过程及其统计特性.......................................20

4.5.1窄带随机过程的介绍.......................................20

4.5.2窄带随机过程的分析.......................................21

4.5.3窄带随机过程的仿真.......................................22

4.6带限白噪声......................................................25

4.6.1带限白噪声的概念与分析..................................25

4.6.2带限白噪声的仿真.........................................26

4.7正弦确知信号加带通高斯白噪声...................................30

4.7.1正弦确知信号加带通高斯白噪声的仿真.......................31

5利用随机过程理论处理通信系统问题的一个实例一DPSK调制解调.......35

5.1DPSK调制原理分析...............................................36

5.2DPSK解调原理分析...............................................36

5.3设计流程.......................................................37

5.4实现方法.......................................................37

5.4.1基带信号的获取...........................................37

5.4.2差分编码..................................................38

5.4.3DPSK调制.................................................38

5.4.4AWGN信道.................................................38

5.4.5限噪处理..................................................39

5.4.6差分相干解调.............................................39

5.5调制解调系统抗噪声性能分析.....................................40

总结与展望..............................................................42

参考文献.........................................................43

致谢..................................................................43

1绪论

1.1论文的研究背景及意义

在自然科学的研究中，人们常常遇到各种“随机现象”，如抛硬币，无法准确预测哪

一面朝上；将来哪一天下雨；某天某时刻的温度等等。产生随机现象的原因在于大量人

们无法准确预测的影响物质运动的因素处于均等的地位，因此现象将表现出明显的不可

预测的随机性。一般来说，对于一个随机现象，我们虽然无法准确预测，但可以知道现

象将发生的若干种可能的结果，和每一种结果的可能性大小。这提供了我们解决随机过

程相关问题的思路：从统计学的角度入手，通过数量上的规律，而不需要分析输入在系

统中的具体作用机制以及输出某结果的原因⑴。

随机过程论是一门应用性很强的学科，在各科学研究随机现象过程中重要的理论根

据，如社会学、工程学等科学领域。同时随机过程与泛函分析、数学分析、群论等其他

数学领域有密不可分的关系。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如统计物理、人

工智能、公共管理、金融科技、大数据、物联网及计算机科学等很多领域的数学模型的

建立都要借助随机过程的理论。在许多实际问题中，在对随机现象做某些时间点上的检

测的基础上,还需要有多次的不间断的观察,每次观察得到一个样本函数，以观察研究对

象以时间为变量的变化过程⑵。

1.2随机过程简介

随机过程是一种以时间为变量，在不同时刻呈现出不同数值的过程，因而这样的过

程没有确定的数学表达式。随机过程可以从两个不同的角度来说明。一个角度是随机过

程可以视为由随机变量概念延伸得来，即把处于不同时刻的随机变量的合集看作是随机

过程。另一个角度是把随机过程看成对应不同随机试验结果的以时间为变量的过程的整

体。从前者出发可以对随机过程理论做出更精确的数学描述⑶。

对于随机过程可以芍如下较为直观的诠释：多次检测随机信号，每一次相当于一次

随机试验，每次都可以得到一个确定的以时间为变量的函数，称为样本函数，随机过程

就是全体的样本函数的集合。研究随机过程可以从研究随机信号的数字特征入手，所谓

数字特征，是指从数学的角度对随机过程进行统计分析，得出与随机信号有关的数值或

函数，主要包括数学期望（即均值）、与一维概率密度函数有关的方差、协方差、衡量

不同时刻上的随机变量之间相关程度的相关函数。

随机过程可以看作拥有两个互相独立的自变量的二维函数，其一为时间t,另一个

为试验次数S,也就是说观测随机过程所得到的值不仅随时间而变化，多次观测也会得

到不同的结果。由此可以得到两种的随机过程的描述：一种每一个时间点的取值看作一

个随机变量，另一种是连续不断的观测随机过程得到一个以时间为变量的困数，这样的

函数称为样本函数⑴⑷。

随机过程的许多特点可以通过随机信号的数字特征表现出来，研究随机过程的数字

特征有助于形象深入地研究随机过程。比如通过数学期望了解随机过程在多次重复下的

平均值，表示为样本函数曲线的摆动中心；可以通过方差了解不同时刻随机变量取值偏

离平均值的程度；可以通过研究随机过程的二阶矩特征例如自相关函数是否与时间有关

来判断随机过程是否平稳等等。

本论文针对各类常见的随机过程进行分析与仿真，包括：平稳、非平稳、高斯等随

机过程，并研究它们的概率密度函数、各项数字特征、自相关函数、功率谱密度、遍历

性等基本参数；进一步还可对具有平稳性的随机过程经过线性系统的有关结论进行设

计和仿真；在分析带限白噪声的基础上对窄带随机过程及其统计特性、正弦信号加高斯

型窄带白噪声、进行设计和仿真；对仿真结果进行分析讨论并比较各类随机过程的特点。

最后在以上分析的基础上，针对通信系统中与随机过程理论关系密切的一类应用一一调

制解调系统进行分析与设计。

1.3随机过程理论的发展历程

随机过程的研究通常认为开始于上世纪三十年代。然而早在1907年前后，俄国数

学家马尔可夫研究过后人称之为马尔可夫链的随矶过程并由此开创了随机过程这个新

的领域，随后随机过程理论已在物理学、生物学和语言学获得广泛的应用，表现出极强

的应用性。十几年后，1923年维纳给出了布朗运动的数学定义，是为维纳过程⑸，也是

马尔可夫过程的一种，直到现在仍是重要的研究木象，在本论文中也会针对维纳过程进

行分析与仿真。二十世纪三十年代，柯尔莫哥洛夫和辛钦两位数学家接过马尔可夫和维

纳的衣钵，在随机过程理论的研究上开疆拓土，分别发表了《概率论的解析方法》和《平

稳过程的相关理论》。有了研究方法和相关理论的支持，马尔可夫过程与平稳过程的研

究由此快速发展。几年之后，法国数学家，现代概率论的开拓者一一P.莱维基于其高超

的概率思想创作了关于布朗运动的著作，概率论中的莱维过程即以其命名的。此外这位

天才数学家还出版了一般关于可加过程的著作，同样有非凡的影响力，推动了随机过程

理论的发展。1951年伊藤清将微分方程和随机过程联系起来，开拓了新的研究马尔可夫

过程的方法；两年后，杜布在莱维等前辈的研究工作基础上，创立了鞅论，并出版了名

著《随机过程论》，该著作对随机过程的基本理论进行了详尽而严谨的阐述。到了60年

代，在对马尔可夫过程和调和函数的研究推动了随机过程的一般理论，包括半群理论的

发展。

1.4MATLAB软件简介

MATLAB是一款功能非常强大的仿真计算软件，在世界范围内获得大量工程师及

科学工作者的亲睐。MATLAB拥为迭代分析和程序设计量身定做的的用户界面与基于

矩阵和数组运算的编程语言，并将二者结合在一起。较之于其他计算机语言，MATLAB

程序语法简洁、执行效率高同时有许多专业工具箱可供选用，在进行工程应用时十分方

便。

MATLAB的算法工具箱十分丰富，可用于数据分析，无线通信，深度学习，信号

处理，量化金融与风险管理等领域。例如在嵌入式领域，该软件可以自动将MATLAB

算法转换为C/C++代码，直接用于单片机系统，抑或者HDL代码可用于进一步编译产

生网表。在信号处理方面，MATLAB信号处理产品有助于分析信号从一个范围的数据

源。我们可以获取、测量、转换、过滤和可视化信号，同时也可以应用信号处理工具在

分析之前进行预处理和过滤信号、探索和提取数据分析和机器学习应用程序的特性、在

信号分析趋势和发现模式、可视化和测量信号的时间和频率特征⑵。

大多数高级程序设计语言，比如C,JAVA等，在应用过程中需要学习大量的语法和

有关算法。不仅如此，编程过程中还需要注意技巧才能减少代码量，提高代日效率。要

做到这两点，往往需要消耗大量的精力和准备时间，进而影响进度还会增加成本。然而

MATLAB在解算问题时，比之其他语言更加便捷，同时语法简单，学习起来方便有效耗时

短。合理有效的使用MATLAB对于研究随机过程有很大的帮助。

本论文使用MATLAB软件对各类随机过程进行分析与仿真。

1.5本文的研究内容

本文前部分简要地介绍随机过程研究的背景和意义，随机过程的相关理论以及在电

子信息系统中的有着重要作用的随机过程。

正文的主要内容针对几类常见的且在科学研究和工程应用中有着较为重要应用的

随机过程进行分析与仿真，包括高斯过程，维纳过程，泊松过程等。先明确各种随机过

程的定义与应用，随后对相关问题进行理论分析与数学推导，最后使用MATLAB软件对

分析结论进行模拟与仿真，验证。此外针对于随机过程理论有密切关联的一些通信系统

相关概念进行分析，包后窄带随机过程，带限白噪声以及平稳随机过程通过线性系统后

的情况，正弦确知信号加带通高斯白噪声的统计特性等等。

在论文的最后，利用上文对各种随机过程的分析并设计完成一项通信系统中重要的

应用一一信号的调制与解调。

2随机过程的分类及数字特征

2.1随机过程的几种性质

2.1.1平稳性

随机过程按照数字特征是否与时间有关，分为平稳随机过程及非平稳随机过程⑻。

在通信系统的研究具有平稳性的随机过程有着及其重要的地位。平稳随机过程的数学期

望和方差无论起始时刻都是相同的，即时间平移不影响任何统计特性，通信系统中许多

信号都有着这样的特性，从数学的角度上可以给由如下的定义：若在时间t的任取n个

值旧2,…，储和所有可能的实数T,X(t)满足下面的式子：

Fn(Xl,X2,...»Xn；tl,t2,...，tn)=

Fn(Xl+jX2+l,…，Xn+l；tl+r,t2+T»...,tn+l)(2.1)

则称X(t)为平稳随机过程。

若某随机过程的分布函数在不同时间的值不同，即不满足上式，则为非平稳随机过

程。事实上，模拟物理现象的多数随机过程是非平稳的。在通信系统中许多随机过程统

计特性与时间t没有显著的依赖关系，比如大多数的信号及噪声。平稳随机过程在实际

应用中非常重要。

2.1.2遍历性

在大多数情况下，往往需要有足够多的样本函数进行统计，即进行大量的观察试验

才能得出随机过程的数字特征。显然，应用这种方法需要的工作量大，处理方法也很复

杂，在实践中往往是困难的。若能通过一次试验得到的样本函数来确定平稳随机过程的

数字特征将大大减少分析处理所需的工作量。对于平稳随机过程，涉足一定的条件，

只需进行一次观测得到一个样本函数，再对样本函数进行统计，得出相关的数字特

征，就可以近似得出相应随机过程的数字特征，这种特性称为随机过程的各态历经性⑼⑼。

具有这种特性的平稳随机过程在计算和测量上，可以减少大量的工作量，这缘于该过程

的各种可能出现的状态，在一次观测中都被记录下来，所有只需一个样本函数就能得到

所有的数字特征。

2.1.3记忆性

随机过程的记忆性定义为：随机过程在某一时刻的取值和以后某一时刻的取值的相

关性。

2.2随机过程的数字特征

在常见的应用环境中，往往需要大量的观测试验才能确定随机过程的分布函数，需

要大量的工作量，经常是不必要的。在许多这样的情况下，只需要随机过程的部分特征

即可，即只需通过统计随机过程的数字特征就可以满足分析与设计的需要皿。随机过程

的数字特征是指能够刻画随机变量某些方面的性质特征的量，其中最常用到的数字特征

是表现平均水平的数学期望、衡量离散程度的方差和衡量不同时刻取值相关性的相关函

数。

2.2.1数学期望

设X⑺是一随机过程，人伉。是X⑴的一维概率密度函数，定义

nix(。=E[X(t)]=/爹xfx(x,t)dx(2.2)

为随机过程X(£)的均值。

数学期望表示取自同一随机过程的全部样本函数在不同时间的值的平均，对于不同

的时刻，平均值通常是不同的，所以数学期望是时间的函数。由此可知，均值的图像为

随机过程在不同时刻的摆动中心。

2.2.2方差

定义随机过程X⑴的方差为

4-⑴]2}

(2.3)

可以看出，方差随时间变化，即不同时刻的方差不同，用来表示随机过程在不同时

刻样本函数的取值对摆动中心的离散程度。

2.2.3相关函数

以上两个数字特征只针对某一特定时刻对应的随机变量。在考察随机过程的时候,

经常需要考虑多个时刻，以二维的情况为例，引入相关函数的概念。若任取两个时刻"

和,7对于随机过程刖，记Xa/）和X（⑵为两个时刻对应的随机变量，/肛不心力）是

相应的二维概率密度，称

Rx（ti"2）=E[X（G）X（£2）]=虞）也小2<2.4）

为X⑴的相关函数，不同时刻的状态的相关程度可以用相关函数表示。

2.3随机过程的分类

随机过程按其统计特性，或者说是有无平稳性可分为两类。一类是平稳随机过程,

这一类过程的特点是数学期望和方差不随时间和位置变化。另一类是非平稳随机过程,

这一类过程的统计特性随时间而变化，时间起点选取不同，数字特征的值也不同。

按有无遍历性，即各态历经性随机过程也分为两类。一类是遍历随机过程，对于这

一类过程，只要进行一次观察试验，得到一个样本函数进行统计，就可以得到相应过程

的各类数字特征。另一类为非遍历随机过程，这一类随机过程无上述特性，需通过多次

观察试验，得到多组样本函数才能统计的出相关的信息。

按记忆性的不同可分为三类：一为纯粹随机过程，如高斯白噪声，二为独立增量过

程如维纳过程和泊松过程以及第三类马尔可夫过程。

此外，根据频谱的特性，将通频带带宽较大的随机过程称为宽带随机过程、谱密度

集中在中心频率附近较窄的频带范围内的，且频带范围远小于通频带的中心频率随机过

程称为窄带随机过程皿，在工程应用中的许多系统：如电子与信息系统、控制工程、自

动化等系统都具有带通的特性，传输的信号和外加的噪声通过系统后，结果只有那些在

系统通频带之内的信号和噪声被输出，在通频带之外的其他频率分量的信号和噪声都被

抑制掉。例如接收系统中的高、中频放大器，就是一个有源带通滤波器。当有用信号和

噪声通过它们后，则在中心频率为附近，通频带Af之内的信号与噪声一起被输出。对

于满足的随机过程，称为窄带随机过程，反之则为宽带随机过程，如没经处理

的白噪声。

3随机过程在通信系统中的应用

随着通信系统和物我网的发展，特别是5G时代的来临，人们的工作方式和生活方

式正迎来史无前例的大变革。与社会进步以及人们日益增长的需求相比，目前的通信系

统还远不够完善，特别是5G时代的来临，建立高速度、大容量、安全可靠、高智能化

的信息系统是通信与信息工程专业人员的奋斗目标。

在通信系统中传输的信息都具有不确定性，即都可看作随机过程。干扰信息传输的

各种噪声也是随机过程，因此对随机过程理论的研究以及对随机过程通过各类系统后的

变化的了解是非常有必要的。只有如此，才能设计出更好的系统，为各类问题提供更好

的解决方案。

通信与信息系统是一个包含对信息的输入、存储、处理、输出和控制的系统。在通

信和信息系统中，存在大量的随机对象和响应的随机问题。因而分析通信系统的相关问

题时，随机过程理论扮演着不可或缺的重要角色。针对通信系统中的信号与噪声都具有

随机性的特点，可以使用随机过程的理论进行描述与分析。在通信系统中传输的有效信

号都具有随机性，确知的信号不携带信息，没有传输的价值。而且影响信号传输的各类

干扰和噪声也具有不可预知性。通信系统中的热噪声就是这样的一个例子，热噪声是由

电阻性元器件中的电子因热扰动引起的无规则运动而产生的，因而具有随机性。另一个

例子是在进行移动通信时，由于设备由于位置的变化连接到不同的基站，电磁波通过不

同基站的传播路径不同，接收信号也是随机变化的。因此可用随机过程理论分析通信与

信息系统中的信号的传输特性以及发射设备与信道中可能存在的噪声对传输性能的影

响。

在当代电子通信中，特别是目前主流的通信技术一一数字通信，所传输的信号多数

是平稳信号，对信道产生影响的噪声也大多是平稳随机过程。比如说，高斯过程是通信

领域中最重要也是最常见的一种过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯型的网。

4各类随机过程分析与仿真

4.1高斯白噪声的分析与仿真

高斯过程在许多领域都普遍存在，诸如机器学习，信号处理等方面，同时它在通信

系统的研究中有着举足轻重的作用。高斯过程是概常见的随机过程，是一系列服从高斯

分布的随机变量在一个参数集(例如某一时间段，以时间为参数)内的组合，

高斯过程有一个重要的特点：符合高斯分布的不同随机变量的通过线性运算得到的

结果都服从高斯分布，且其本身在连续指数集上的概率密度函数即是所有随机变量的高

斯测度，因此被视为联合正态分布的无限维广义延伸。高斯过程的各项数字特征以及统

计特性由其数学期望和协方差函数完全决定，并在很多方面与正态分布有类似的特性。

所谓白噪声，是指频谱宽度很大，涵盖大多数频率的噪声。高斯白噪声是白噪声的

一种，指概率分布符合高斯分别的白噪声，常用于模拟信道加性噪声。这一类噪声的一

个重要特点是在任意两个不同时刻上的取值之间互不相关，且统计独立，由比可知从随

机过程的性质上看，高斯白噪声不仅具有各态历经性而且具有平稳性，同时是一种纯粹

随机过程。

在MATLAB中，分析高斯白噪声。首先使用randn(randomnormaldistribution)函

数产生一组符合标准正态分布的随机数［⑶，这样的一个数列视为高斯白噪声，

4.1.1均值

高斯白噪声波形如下。得到高斯白噪声函数后，使用mean函数可以直接得到平均值,

所得图像如图4.1,图4.2所示。所涉及代码如下：

Fs=100000;Ns=1024;

x=randn(Ns,l);

t=0:Ns-l;

figure(l)

plot(t,x);

gridon

titleC高斯白噪声波形，)

xlabel('t')

图4.1高斯白噪声的波形

图4.2高斯白噪声的均值

由图可得高斯白噪声任意时刻出现的噪声幅值都是随机的，幅值呈正负对称分布,

且数学期望(均值)为0。

4.1.2自相关函数

利用维纳一辛钦公式，对功率谱作傅里叶变换，由此得到白噪声的自相关函数为:

即⑴如=某/曹/3Tda)=^NQ8(T)

(4.1)

使用MATLAB的xcorr函数，计算自相关函数。如图所示。编写代码如下：

[x_c,lags]=xcorr(x,200,'unbiased');%ffl关函数

figure(2)

plot(Iags,x_c);%画出相关函数的图形

title('白噪声的自相关函数’)

gridon

图4.3臼噪声的自相关函数

由图可知当t=0时，白噪声的自相关函数为极大值，当two时，自相关函数约等

于0。由此可得不同时刻下的高斯白噪声对应的随机变量是不相关的，即高斯白噪声是

纯粹随机过程。

41.3功率谱密度

随机过程的功率谱密度区别于前面提到的数学期望和方差，在频域上研究随机过程

的特性，而不是在时域上反映随机过程的性质，是以频率为自变量表示随机过程的平均

功率的函数。将各样本函数在一欧姆电阻上消耗的功率按频率取平均即可得到功率谱密

度。随机过程的功率谱密度计算公式为:

G(x)=E［驰喈3(4.2)

在MATLAB中，不需编辑公式，可以利用periodogram函数进行计算，得图像如图。

代码如下:

nfft=1024;

indcx=():round(nfft/2-1);

k=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(lcngth(x_c));

[Pxx,f]=periodogram(x_c,window,nfft,Fs);

x_Px=Pxx(index+1);

figurc(3)

plot(k,x_Px);

gridon

title。白噪声的功率谱)

xlabel('Frequency/Hz')

白噪声的功率谱

Frequency/Hz

图4.4白噪声的功率谱函数

由上图可以看出，高斯白噪声的功率谱密度落在某区间的概率只与区间长度有关，即

服从均匀分布。

4.1.4概率密度函数

在MATLAB中，可以使用ksdensity函数求随机过程的一维概率密度，所得图像如

图。代码如下：

[x_pdf,x1]=ksdensity(x);

figure(4)

plot(xl,x_pdf);

gridon

title，白噪声的一维概率密度)

图4.5白噪声的一维概率密度函数

显然，高斯过程的概率密度函数符合正态分布，说明高斯过程在任意时刻的取值是

一个正态分布的随机变量。

41.5频谱

对函数做快速傅里叶变换，得出白噪声的频谱，如图所示。代码如下:

f=(O:Ns-l)/Ns*Fs;

X=fft(x);

mag=abs(X);%取信号X的幅度

figure(5)

plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2));%画出白噪声的频谱

gridon

title('白噪声频谱');

xlabcl('Frequency/Hz');

4

Frequency/HzX1O

图4.7白噪声的频谱

由图可知，高斯白噪声具有许多不同的频率分量，从儿乎0Hz到儿十kHz甚至更

高都有分布。

4.2维纳过程的分析与仿真

4.2.1维纳过程的介绍与分析

在19世纪2（）年代，植物学家布朗发现悬浮于液体中的花粉作不规则的紊乱的运动。

很多的工程例子，比如一些随机过程可以类比于这一种不规则运动，这一种在后来的许

多领域中被广泛应用的随机过程被称为布朗运动。1905年物理学家爱因斯坦对这一现象

很感兴趣，并从物理学的角度对这一现象进行理论分析，并做出了物理学解释⑸。后来，

随着数学家对这一类现象的深入研究，数学家维纳使用了不同于其他数学家的研究方法,

从概率论的角度对这一现象进行严格的数学定义。由于维纳是基于随机过程对这一现象

进行建模的，故布朗运动又称为维纳过程。而后维纳过程的理论在许多数学家的推动下，

不断发展，应用也越来越广泛，成为随机过程的数学理论中一个不可或缺的组成部分。

维纳过程的定义如下：对于一个连续变化的随机过程是，若该过程的每次变化量都

互相独立，且变化量服从正态分布。则该随机过程为维纳过程。

由维纳过程的定义可以推得以下特征：

（1）对于任意时间t,一维维纳过程在t时刻是一个随机变量，其概率密度函数是：

加（切=高产鹿（4.3）

在0时刻维纳过程的值为0,可得W（I）的分布：

Wt=(4.3)

(2)它的数学期望是零：E(%)=0,方差是t：

22

Var(但)=E(W/)-f(Vrt)=E(W,)-0=F(lVt)=t(4.3)

在维纳过程的独立增量的定义中，令t2=t,S2=tl=S<t,Sl=0那么做=

%二也「N(0,s)和%-%=%2一嘤2〜N(O，t-s)都是相互独立的随机变量，并且

cov(WSf忆)=E[[WS-£(%)],[%-E(上)]}=s(4.4)

故在两个不同时刻而且时JM与M的协方差和相关系数是：

cov(WstWt)=min^s,t)(4.5)

co斤(吗，匕)=(4.6)

<yWs^wtVst7max(s,t)

时于维纳过程，可以得出以下结论：

1.维纳过程是独立增量过程；

2.增量的分布服从高斯分布；

3.维纳过程是非平稳的高斯过程。

4.2.2维纳过程的MATALB仿真

维纳过程可由零均值平稳高斯白噪声通过理想积分器得到，由下文分析可知：当高

斯过程通过线性系统，输入认为高斯过程。乂囚为积分运算为线性运算，故维纳过程为

高斯过程。

00.8

t

图4.8维纳过程的样本函数

4.3泊松过程的分析与仿真

4.3.1泊松过程的介绍与分析

泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机过程整个学科体系中都有着重要的地

位，特别在运筹学和排队论中有着重要的应用"3在实际中有很多随机现象都可以用泊

松分布或者泊松过程来描述，例如盖木多计数器上的粒子流，呼叫中心收到的呼叫次数，

交通流中的事故数，股票市场中买进和售出的股票次数等。

泊松过程的数学定义如下：

对于一个计数过程{N(t),tNO},具有参数人>0,若它满足下列条件：

(1)N(0)=0：

(2)N(t)是独立增量过程；

(3)在任一长度为t的区间中，事件发生的次数服从参数X>0的泊松分布，即对任

意s,t>09有

P{N(t+s)-N(s)=n}=e~At^-,n=0.1,2.....(4.7)

则称{N(t),tN0}为泊松过程。

同时由定义可以得出泊松过程有如下性质：

1、泊松过程是一种独立增量过程：对于任意E勺止整数n及任意不同的人增量是相

互独立的；

2、泊松过程是一种平稳过程；即在时间间隔(s,t+s]内，事件发生的总次数只与时

间t间隔有关，而与初始时刻s无关。

根据上述泊松过程的定义与性质，分析求解其数字特征。对于数学期望(均值)，

可由公式(4.8)计算得出，过程如下：

E[N(t,0)]=2造。kp/t,0)=£连。k

»v•

=址£连1忆经=?-熊==At(4.8)

可以看出，泊松过程的均值为参数2与时间，的乘积，参数2为单位时间内事件A

发生的次数，故称参数/为泊松过程的强度。

对于均方值，可简单由其计算公式得出，计算过程如下:

2c0)]={[N(t,O)][/V(c0)-1]+N90)}

={WQ,0)][NQ,0)-1]+E[N(£,0)])

=£连0k(k-l)^pe-At+At=(配下+At

K.

(4.9)

计算泊松过程的在不同时刻的随机变量的自相关函数，在时间/上任取两个时刻〃，

⑵并分情况讨论，

当一VZ有

，

即(£1，t2)=£[Af(t1)/V(t2)]

=E{[N«2)-NQ1)+NQi)][N(ti)-N(0)]}

=E{[N(t2)-N(0)][NG)-N(0)]}+-⑺]

2

=E[N«2)—N(ti)]E[N(q)-N(0)]+E[N(t1)]

=A(tz—+(他产

2

=Attt2+(4.10)

同理如果亡2〈七，有

RNQI，£2)=Mtlb+址2(4.11)

可以得出泊松过程的自相关函数与时刻〃，f2中的较小值有关，可以统一记为：

R/V(G"2)=42tl七+4min(t],切(4.11)

对于协方差函数由计算公式得：

-1，切=R(h也)一7九N«l)血Na2)

=Amin{tlft2)+必也—不£也

=J2)(4.12)

其中mN(。表示某时刻「随机变量的数学期望，可知协方差函数与两个时刻的较小

值有关。

4.3.2泊松过程的matlab仿真

由泊松过程的定义易知，泊松过程的样本函数是跃度为1的阶梯函数。泊松过程的

样本函数图形如下图所示。

图4.9泊松过程的样本函数

4.4平稳随机过程经过线性系统

4.4.1平稳随机过程经过线性系统的介绍

通信是为了传输信息，为了提高信道利用率，减少干扰，以便更好的传输，常常需

要对信息进行加工处理，即信号要经过某些特定系统，如调制解调系统，滤波系统等进

行运算。因此在分析通信系统时，了解通过线性系统后随机过程各项特征发生的变化很

有意义。

所谓线性系统，定义如下：

假设王Q)、W⑺是系统的两个输入，若：

“。1必(£)+«2%2(0]=的4%1(。]+劭”工2(£)](4.12)

则称系统〃•]为线性系统。

随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析基础之

上的，线性时不变系统可有其单位冲激响应h⑴或其频率响应H(f)表征。系统输入X⑴

是随机过程，系统输出丫⑴也是随机过程。输入与输出关系可以表示为卷积，对于系统

输入随机过程X⑴的一个样本函数x(t),有

y(t)=匚^h(r)-x(t—T)C/T=/i(t)*x(t)(4.13)

y⑴是系统输出随机过程Y⑴的一个样本函数。

对应的傅里叶变换关系为：

r(60)=〃(3)・X(3)(4.14)

4.4.2平稳随机过程经过线性系统的分析

(1)输出均值

当平稳随机过程通过线性系统，记输入过程的均值E[XQ)]=，则输出过程的均值

my的值为：

叫=E[y(t)]=w九Q)如(4.15)

(2)互相关函数

系统输入与输出间的互相关函数，由下式计算得出：

Rxy(s,t)=E{y(s)E[X(t)]}

=E[f^h(s-a)XWE[X^]du}

h(s-o)Rx(o-t)da

=£^n(u)7?x(T-u)du

=RVX(T)(4.16)

其中记T=S-3Rx“s,£)为输入过程与输出过程的互相关函数，Rx(s，。为输入

信号的自相关函数，Z1Q)为冲激响应。可以得出：互相关函数等于输入过程的自相关

函数与冲激响应的卷积，

(3)系统输出的自相关函数

,+8,+8

Ry(s,t)=IIh(u)•h(v)•Rx(s-u,t-v)dudv

J—8J—8

=/i(s)*/i(t)*Rx(s,t)(4.17)

R“s")为输出过程的自相关函数，Rx(s,£)为瑜入过程的自相关函数，用”为冲激响

应C可以得出：输出过程的自相关函数等干输入过程的自相关函数S/两个时刻的冲激响

应的卷积。

分析可以得出，输入自相关函数与输出自相关函数之间的关系如下图:

反⑴Ryx。）

h(t)E[h(-t)]

图4.10输入自相关函I数与输出自相关困数之间的关系

（4）输出过程的遍历性

若X”）是遍历性过程，则y«）也是遍历性过程，即：

若

E［X（t）］=w，F［X（t）X（t+r）］=Rx（T）（4.18）

则

E卜（t）］=mYt+T）］=（4.19）

（5）功率谱密度

系统输出的功率谱密度，由（4.17）式，有

Ry（T）=/l（s）*/l（t）*/?X（T）

其中T=s-t,乂有功率谱密度函数与自相关函数互为傅里叶变换对，可以得出

r+oo

T

Sy（3）=RY（T）e-^dT

J—8

=旧（3）|2SX（3）（4.20）

对于系统输入与输出的互功率谱密度，由（4.16）式，有

以《）=RxQ）*九⑴

其中T=S-又有功率谱密度函数与自相关函数互为傅里叶变换对，可以得出

Sxy（a）=Sx3），H（3）（4.20）

4.5窄带随机过程及其统计特性

4.5.1窄带随机过程的介绍

从上一节的分析中，可以得知：若一个宽带平稳过程激励一个窄带滤波器，产生一

个窄带随机过程。在实际应用中，许多系统都是带通型的。在工程应用中，假定系统的

输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。实际工程应用中遇到的信号

与噪声大多是窄带随机过程。

窄带随机过程有两种常见的表达方法：莱斯表示法及准正弦振荡表示法。

对于莱斯表示法，任何一个实窄带随机过程都可表示为下式：

X(t)=a(t)cos(a)0t)—/?(t)sin(6o0t)(4.21)

式中a(t),(3(t)都是实随机过程，且看以下性质：

1、=E(Z?(fi)=0o

2、〃(/)与仇。各自广义平稳，联合平稳，且：

22

3、E(a(t))=E(b\t))=E(X(t))f由此可得方差苏。

4、凡必(。)=。，这说明〃⑺与方⑺在同一时刻正交。

5、5.3)=5匕(3)。

对于准正弦振荡表示法，实窄带随机过程X(t)都可表示为下式：

X(t)=i4(t)cos(a)0t)+0(t)(4.22)

4/)与①(/)都是慢变化的随机过程。慢变化是指力⑺与①⑺随时间变化比cos(gf)

随时间的变化要缓慢得多。

其中：称g为载波频率。4。为X")的包络。①⑺为X。)的相位(初相)。

4.5.2窄带随机过程的分析

对于窄带随机过程，要确定对其进行分析，首先要对其包络与相位进行求解।⑵。

(1)先求。⑺与b⑴的联合概率密度。》(4,瓦)

当，确定后，。⑺与仇。都是高斯随机变量，且相互正交，所以有

d+b；

以(4八)exp(4.23)

2m•22b2

(2)求4。)与①⑺的联合概率密度

己知狐(A，9)=⑼(回,〃)，同为雅可比行列式。

由

A(t)=Ja2(t)+b2(t),①⑺=arctg(4.24)

可得

\J\=A⑺(4.25)

所以有

A,A；

420,0W①，42万

人(A"J=2的2*12〃(4.26)

0其它

(3)求力(不)、人(①,)

对Ao(42,)求边缘概率密度，可得以(4)与4(①,)

fA(A)=『人中(A,①,)d©=*ex+/卜CA(>0)

(4.27)

京(①，尸]册(，①,=；，

A(0<0,<2^)(4.28)

4.5.3窄带随机过程的仿真

在4.2高斯白噪声的分析与仿真的基础上，设计一个通频带为10kHz-11kHz的带通

滤波器，使该带通滤波器对高斯白噪声进行滤波处理，得到窄带高斯白噪声，作为窄带

随机过程的典型进行分析与仿真。

使用ellip函数生成通带为10kHz-11kHz的滤波器，并得出滤波器的幅频响应，代码

如下：

Fs=100000

[b,a]=ellip(5,0.5,50,[10000,11000]*2/Fs);

[H,w]=freqz(b,a,512);

figurc(6)

plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));

title。带通滤波幅频响应上

set(gcf,'color','white')

xlabeK'FrequencyHz');

ylabeK'Magoffrequencyresponse');

gridon

带通泄波器的幅频响应

012345

4

FrequencyHzX1O

图4.11带通滤波器的幅频响应

从幅频响应图可以清晰看出，通带为10kHz-llkHz,滤波性能良好。

使用带通滤波器处理白噪声得到窄带高斯白噪声，其各项相关参数均可由MATLAB

自