2021年全国统考数学三期中试卷（名师编写）

2021年全国统考数学三期中试卷（名师编写）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1。当x∈(-1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1<0，g(2)=ln3-2>0，故方程ln(a+1)=a在(-1，+∞)上只有一个解，即a∈(0，1)。故选B。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则cosC的值为（）A．1/2B．1/3C．1/4D．1/5解析：由余弦定理得cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2。故选A。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值为（）A．15B．31C．63D．127解析：由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2(a_n+1)，即数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故a_n+1=2^n，即a_n=2^n-1。则a_5=2^5-1=31。故选B。4.抛掷两枚质地均匀的骰子，记“两枚骰子的点数之和为5”为事件A，则事件A发生的概率为（）A．1/6B．1/12C．1/18D．5/36解析：两枚骰子的点数之和为5的基本事件有(1，4)、(2，3)、(3，2)、(4，1)，共4个。基本事件总数为6×6=36。故P(A)=4/36=1/9。故选D。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则点P(2，-1)到圆C的距离为（）A．1B．2C．3D．4解析：圆心C(1，-2)，半径r=2。点P到圆心C的距离|PC|=√[(2-1)²+(-1+2)²]=√2。故点P到圆C的距离为r-|PC|=2-√2≈0.586。选项中无正确答案，可能是题目错误，若按最接近选项，应选B。6.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)在区间[-1，3]上的最大值为（）A．0B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故f(x)在[-1，3]上的最大值为2。故选B。7.在等差数列{a_n}中，a_3+a_11=20，则a_7+a_9的值为（）A．10B．12C．16D．18解析：由等差数列性质得a_3+a_11=2a_7，故a_7=10。又a_7+a_9=2a_8，故a_8=8。则a_7+a_9=18。故选D。8.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=x/(√(x²+1))-a。由f'(1)=0得1/(√2)-a=0，即a=√2/2。选项中无正确答案，可能是题目错误，若按最接近选项，应选B。9.已知直线l：y=kx+1与圆C：x²+y²=1相交于A、B两点，且|AB|=√3，则k的值为（）A．±1/2B．±√3/3C．±√3/2D．±2解析：圆心(0，0)，半径r=1。由弦长公式得|AB|=2√(r²-d²)，其中d为圆心到直线的距离。d=|1|/√(1+k²)。故√3=2√(1-(1/(1+k²)))，解得k²=4，即k=±2。故选D。10.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx，则f(x)的最小正周期为（）A．πB．2πC．1/2πD．4π解析：f(x)=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x。故f(x)的最小正周期为π。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若tanα=3/4，且α∈(π/2，π)，则sinα的值为______。参考答案：-3/5解析：由tanα=sinα/cosα=3/4得sinα=-3/5（因α∈(π/2，π)，sinα>0，cosα<0）。2.已知圆C的方程为(x+1)²+(y-2)²=9，则圆C的圆心坐标为______。参考答案：(1，-2)解析：圆C的标准为方程(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心为(a，b)。3.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1处取得极值，且f(1)=-2，则b+c的值为______。参考答案：-4解析：f'(x)=2x+b，由f'(1)=0得b=-2。f(1)=1+b+c=-2，故c=-1。b+c=-3。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_n+1=2a_n，则S_5的值为______。参考答案：62解析：数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列。S_5=2(2^5-1)/2-1=62。5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为______。参考答案：3/5解析：由余弦定理得cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(9+25-16)/(2×3×4)=3/5。6.已知直线l：y=2x+1与圆C：x²+y²=5相交于A、B两点，则|AB|的值为______。参考答案：2√5解析：圆心(0，0)，半径r=√5。圆心到直线的距离d=|1|