列方程解决稍复杂的百分数实际问题（一）教学设计

列方程解决稍复杂的百分数实际问题（一）教学设计一、教学内容分析【基础】本节课是苏教版小学数学六年级上册第六单元《百分数》中的第10课时，属于“数与代数”领域的内容。在此之前，学生已经掌握了百分数的意义，能够解决“求一个数是另一个数的百分之几”、“求一个数的百分之几是多少”以及“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”的一步计算实际问题。本节课的教学内容是在学生已有知识经验的基础上，引入用方程解决稍复杂的百分数实际问题，具体情境是“已知一部分数占总数的百分之几和另一部分数，求总数”。这类问题的核心特征是，题目中作为单位“1”的数量是未知的，并且已知的一个部分量与给出的百分数不是直接的对应关系，从而形成了“稍复杂”的结构。【重要】从知识体系来看，本节课是连接整数、分数应用题与百分数应用题的桥梁，更是从算术思维向代数思维过渡的关键节点。它不仅仅是对百分数应用题类型的补充，更重要的是引导学生体会方程在解决逆向思考问题时的优越性，初步建立“建模”思想。通过对数量关系的分析和抽象，学生将经历“找单位‘1’—画线段图—列等量关系式—设未知数—列方程并求解—检验反思”的完整问题解决过程。这种分析问题的方法将在后续学习“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”以及初中的一元一次方程应用题中得到延续和深化，因此本节课具有承上启下的重要作用。【高频考点】从命题趋势来看，“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”是小学高年级数学考查的重点内容，常常以解决问题的主观题形式出现，分值占比较大。题目通常结合生活实际，如粮食调运、水电费计算、商场打折、绿化造林等情境，考查学生提取信息、分析数量关系、选择解题策略（算术或方程）以及规范书写解答过程的能力。其中，准确找到等量关系并正确列出方程是得分的关键，而最后的检验步骤也是体现学生完整解题习惯的重要方面。二、学情分析【基础】六年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，他们能够理解“单位‘1’”、“百分数”等抽象概念，并能解决一些简单的百分数实际问题。在心理特征上，他们正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对新鲜事物充满好奇，喜欢挑战有难度的问题，但遇到复杂问题时，也容易产生畏难情绪，思维的敏捷性和深刻性有待进一步培养。【难点】在学习本节课之前，学生已经熟练掌握了“求一个数的百分之几是多少”用乘法计算，以及“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”可以用除法（或方程）来解。然而，本节课的题目中，已知的“另一部分数”（如剩下的48吨）并不是已知百分数（如60%）所对应的量，这就打破了学生原有的认知平衡。许多学生在面对这类问题时，容易陷入思维定势，试图用算术方法（如48÷（160%））直接列式计算，虽然结果正确，但对于数量关系的理解往往停留在套用公式的层面，一旦情境变化（如已知的是运走的和剩下的差），就容易出错。因此，引导学生从“算术思维”转向“方程思维”，主动寻求用方程刻画等量关系，是本节课需要突破的心理和认知障碍。三、教学目标设计基于对课程标准的解读、教材的深度剖析以及学情的精准把握，本课的教学目标设定如下：1.【基础】知识与技能目标：使学生通过具体情境，理解并掌握“已知一部分数占总数的百分之几和另一部分数，求总数”这类实际问题的数量关系，能熟练地运用方程进行解答，并掌握检验的方法。2.【重要】过程与方法目标：引导学生在解决实际问题的过程中，经历“分析题意—画图理解—找等量关系—列方程求解—检验反思”的探究过程，体会数形结合思想和模型思想，积累解决问题的经验，提升分析问题和解决问题的能力。3.【非常重要】情感态度与价值观目标：让学生感受方程思想的价值，体验用方程解决逆推问题的优越性，培养主动思考、乐于探究的学习品质，增强应用数学的意识。四、教学重难点1.【重点】掌握用方程解决稍复杂的百分数实际问题的一般策略和方法，即找准单位“1”，分析数量关系，并正确地列出方程。2.【难点】准确理解题中百分数的意义，找到题中隐藏的等量关系，特别是理解“已知部分量”与“未知总量”之间的和差关系，并能用含未知数的式子表示出相关的量。五、教学准备多媒体课件（含线段图动态演示）、学习任务单。六、教学过程设计（一）唤醒经验，引入新知上课伊始，教师通过屏幕呈现一组复习题，旨在激活学生已有的知识储备，为新课的学习做好铺垫。首先，出示两道找单位“1”和写等量关系式的练习：（1）一本书已经看了全书的40%。（2）一批货物，运走了30%。学生口答，教师板书出关键句和等量关系式：全书总页数×40%=已看的页数；货物总吨数×30%=运走的吨数。接着，呈现一道一步计算的百分数实际问题：“马山粮库要往外地调运一批粮食，这批粮食一共有120吨，已经运走了60%，还剩多少吨？”学生在练习本上独立完成，并请一位学生板演。板演结束后，该生讲解自己的解题思路：120×60%=72（吨），求出运走的；再用12072=48（吨），求出剩下的。教师引导全班回顾：这里是把谁看作单位“1”？单位“1”的量已知吗？我们是用什么方法计算的？（乘法）在此基础上，教师对原题进行改编，隐去总吨数，增加一个条件：“马山粮库要往外地调运一批粮食，已经运走了60%，还剩48吨。这批粮食一共有多少吨？”【非常重要】教师引导学生对比新旧两题的异同：这两题有什么相同点和不同点？学生通过观察发现，两道题的情境和数量关系相同，但已知条件和所求问题互换了。新问题中，单位“1”（总吨数）变成了未知的。由此，教师顺势揭题：当单位“1”未知时，我们除了可以用除法，还可以用一种更有力的工具——方程来解决问题。这就是我们今天要学习的“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”。（板书课题）（二）自主探究，建构模型1.阅读理解，提取信息出示例10的完整题目（苏教版教材例10）。请学生齐读题目，并思考：你从题中获得了哪些数学信息？要求的是什么问题？学生汇报：已知条件是已经运走了60%，还剩48吨；要求的问题是这批粮食一共有多少吨。2.【重要】画图分析，化抽象为具体教师提问：60%表示什么意思？它是把什么量看作单位“1”？既然单位“1”的总吨数未知，题目中的数量关系不够直观，我们可以用什么方法来帮助我们分析？（引导学生想到画线段图）教师指导学生画线段图：（1）先画一条线段表示单位“1”，即“粮食总吨数”，并在上方标注“？吨”或“x吨”。（2）根据“已经运走了60%”，把这条线段平均分成100份，取其中的60份，表示“运走的吨数”，并在线段下方标注“运走60%”。（3）剩下的部分就是“还剩48吨”，在线段上明确标出“还剩48吨”。学生独立在练习本上画线段图，教师巡视，挑选一份有代表性的作品利用投影仪展示，并请该生说说自己的作图思路。通过动态课件演示规范的画图过程，帮助学生建立清晰的表象结构，直观地看到总量被分成了“运走的60%”和“剩下的48吨”两部分。3.【非常重要】分析关系，寻找等量引导学生观察线段图，同桌之间互相交流，尝试找出题中蕴含的等量关系。学生汇报，教师根据学生的回答板书出主要的等量关系式：预设1：粮食的总吨数×60%=已经运走的吨数预设2：粮食的总吨数—已经运走的吨数=剩下的吨数（48吨）预设3：已经运走的吨数+剩下的吨数=粮食的总吨数教师引导学生比较这几个关系式，并重点聚焦第二个和第三个。提问：在这两个关系式中，哪些量是已知的？哪些量是未知的？（总吨数和运走的吨数未知，但运走的吨数可以用总吨数表示出来）。【热点】这是一个典型的逆向思维问题，用算术方法需要列出48÷（160%），学生虽然能算，但对“160%”的含义理解可能不够透彻。而用方程，我们只需要顺着题意，将未知量设为x，直接按照等量关系“总吨数—运走的吨数=剩下的吨数”来列式。4.【基础】列方程并解答教师引导：当单位“1”未知时，我们通常设单位“1”的量为x。这道题应该设谁为x？（设这批粮食一共有x吨）追问：那么已经运走的吨数可以怎样表示？（因为运走了60%，也就是运走了60%x吨）现在，你能根据我们找到的最关键的等量关系“总吨数—运走的吨数=剩下的吨数”列出方程吗？学生尝试独立列方程，并在小组内交流。教师请一名学生上台板演：解：设这批粮食一共有x吨。x—60%x=48教师带领学生观察方程：方程左边x—60%x表示什么？（表示总吨数减去运走的吨数，就是剩下的吨数。）这样列方程是不是把题中的数量关系原原本本地表达出来了？这比算术方法更直接，更符合我们的思维习惯。接着，引导学生解方程：合并同类项：（1—60%）x=40%x，即40%x=48。教师强调：计算时，可以把百分数化成小数（40%=0.4）或化成分数（40%=2/5）来计算，根据数据特点灵活选择。这里建议转化成0.4，计算更简便。求解：x=48÷0.4=120。5.【难点】回顾反思，多元检验方程解完了，我们怎么知道这个答案对不对呢？引导学生从不同角度进行检验。方法一（代入原题检验）：看运走的吨数和剩下的吨数加起来是否等于总吨数，并且运走的吨数占总吨数的百分比是不是60%。先算出运走的：120×60%=72（吨），再算总吨数：72+48=120（吨），与解出的x相等；最后检验运走的百分比：72÷120=0.6=60%，符合题意。说明解答正确。方法二（代入方程检验）：把x=120代入原方程，左边=120—120×60%=120—72=48，右边=48，左边=右边，所以x=120是原方程的解。学生选择自己喜欢的方法进行检验，并口答。最后，教师引导学生完整回顾解题过程，并小结：【非常重要】解决这类已知一部分量和它对应的百分率（或关系）求总量的实际问题，当单位“1”未知时，列方程解答是一种重要的策略。关键步骤是：一画（画线段图）、二找（找等量关系）、三设（设单位“1”为x）、四列（列方程）、五解（解方程）、六验（检验作答）。（三）分层练习，深化理解1.【基础】基本练习（仿照例10）完成教材第102页的“练一练”第一题：“先把数量关系式填写完整，再列方程解答。”题目：东港小学美术组有42人，比舞蹈组的人数少30%。舞蹈组有多少人？（）人数—（）人数=（）人数学生先独立填写等量关系式（舞蹈组人数—美术组比舞蹈组少的人数=美术组人数，或舞蹈组人数×（130%）=美术组人数），然后列方程解答。指名学生板演，集体订正，强调找准单位“1”和对应的百分率。2.【重要】变式练习（沟通联系）呈现一组对比题，让学生独立解答后，小组内交流讨论两道题的异同。（1）一桶油，用去25%，正好用去2.5千克。这桶油重多少千克？（2）一桶油，用去25%，还剩7.5千克。这桶油重多少千克？学生解答后，组织全班交流。引导学生发现：第（1）题是“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”，可以直接用除法（2.5÷25%）或用方程（25%x=2.5）。第（2）题则是本节课学习的稍复杂类型，因为“用去25%”与“还剩7.5千克”不是直接的对应关系，所以用方程（x—25%x=7.5）或算术（7.5÷（125%））解答。通过对比，使学生更加明确不同题型的数量关系特征，深化对“对应”思想的理解。3.【热点】综合练习（拓展提高）出示一道稍有变化的题目，培养学生灵活运用知识的能力。“一根绳子，第一次剪去全长的20%，第二次剪去余下的25%，还剩18米。这根绳子原来长多少米？”此题难度较大，百分数的单位“1”发生了变化。教师引导学生先画出线段图，分析每一步的单位“1”是谁。先设原长为x米，第一次剪去20%x，剩下80%x米；第二次剪去余下的25%，即剪去80%x的25%，也就是20%x米（80%x×25%=20%x）。等量关系为：原长—第一次剪去的—第二次剪去的=剩下的，即x—20%x—20%x=18。学生尝试解答，教师巡视指导，帮助学困生理解第二次剪去的是“余下的25%”这一关键点。（四）课堂总结，提炼升华1.引导学生回顾本节课的学习历程，畅谈收获：通过今天的学习，你有哪些收获？你掌握了哪些解决问题的方法？你认为用方程解决这类问题的好处是什么？2.学生自由发言，教师根据学生的回答，将本节课的知识点、方法和思想进行系统梳理。重点强调：在面对复杂问题时，不要急于列式，而要通过画图等策略理清数量关系，当单位“1”未知时，要敢于用方程这个顺向思维的工具来解决问题。方程不仅仅是一种计算技巧，更是一种重要的数学模型思想。（五）布置作业，课后延伸1.【基础】完成练习十七第1—3题，要求用方程解答，并写出检验过程。2.【拓展】寻找生活中的百分数问题，尝试用今天所学的方法编一道应用题，并解答。七、板书设计列方程解决稍复杂的百分数实际问题（一）——已知一部分数占总数的百分之几和另一部分数，求总数线段图：等量关系：（此处画出规范的线段图）总吨数—运走的吨数