2026年考研数学线性代数冲刺模拟卷

2026年考研数学线性代数冲刺模拟卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0，则下列命题中正确的是（）A.A一定可逆B.A一定不可逆C.A的特征值均为0D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^kx=λ^kx=0，由x非零可得λ^k=0，即λ=0。因此选项C正确。选项A和B显然错误，因为幂零矩阵一定不可逆。选项D也错误，因为A的伴随矩阵A不一定为0矩阵，例如当A为2阶幂零矩阵时，A可能不为0。2.已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)线性无关，则实数λ的取值范围是（）A.λ=0B.λ=1C.λ=2D.λ≠0且λ≠1解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。选项中只有D符合条件。3.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则下列结论中不一定成立的是（）A.A一定可逆B.A的行列式大于0C.A的特征向量组必正交D.A的平方根矩阵仍为实对称矩阵解析：实对称矩阵的特征值均为实数，且其特征向量组必正交，因此选项C成立。实对称矩阵的特征值均为正数，则其行列式为特征值的乘积，必大于0，因此选项B成立。行列式大于0的矩阵一定可逆，因此选项A成立。实对称矩阵的平方根矩阵仍为实对称矩阵，因此选项D成立。实际上所有选项都成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。4.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且AB=BA，则下列等式不一定成立的是（）A.(AB)^T=B^TA^TB.(A^T)^kB=(BA^T)^kC.A^(-1)B=BA^(-1)D.(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)解析：由AB=BA可得(AB)^T=B^TA^T，因此选项A成立。由AB=BA可得(A^T)^kB=B(A^T)^k，因此选项B成立。由AB=BA可得A^(-1)B=BA^(-1)，因此选项C成立。由AB=BA可得(AB)^(-1)=A^(-1)B^(-1)，因此选项D不一定成立。实际上所有选项都成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。5.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，则下列结论中正确的是（）A.A的特征值与B的特征值相同B.A与B可同时对角化C.A与B的秩相同D.A与B的行列式乘积等于AB的行列式解析：由AB=BA可得A与B可同时对角化，因此选项B正确。对角化后的对角矩阵的特征值即为原矩阵的特征值，因此A与B的特征值相同，因此选项A正确。可逆矩阵的秩为n，因此A与B的秩相同，因此选项C正确。AB的行列式等于A的行列式与B的行列式的乘积，即|AB|=|A||B|，因此选项D正确。实际上所有选项都成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。6.设A为n阶矩阵，且A^2-A=0，则下列结论中不一定成立的是（）A.A的特征值必为0或1B.A的秩为n或0C.A一定可对角化D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：由A^2-A=0可得A(A-1)=0，因此A的特征值必为0或1，因此选项A成立。由A(A-1)=0可得A的秩为n或0，因此选项B成立。特征值0或1的重数之和为n，因此A一定可对角化，因此选项C成立。当A为非零矩阵时，A不为0，因此选项D不一定成立。实际上所有选项都成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。7.设A为n阶矩阵，且A^3=0，则下列结论中正确的是（）A.A的特征值必为0B.A的秩为n或0C.A一定可对角化D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：由A^3=0可得A的特征值必为0，因此选项A正确。由A^3=0可得A的秩为n或0，因此选项B正确。特征值0的重数之和为n，因此A一定可对角化，因此选项C正确。当A为非零矩阵时，A不为0，因此选项D不一定成立。实际上所有选项都成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。8.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则下列结论中正确的是（）A.A的特征值必为1或-1B.A的行列式必为1C.A一定可逆D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：由A^2=I可得A的特征值必为1或-1，因此选项A正确。由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1，因此选项B不一定成立。|A|≠0，因此A一定可逆，因此选项C正确。当A为非零矩阵时，A不为0，因此选项D不一定成立。实际上所有选项成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。9.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则下列结论中正确的是（）A.A的特征值必为1或-1B.A的行列式必为1C.A一定可逆D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：由A^2=I可得A的特征值必为1或-1，因此选项A正确。由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1，因此选项B不一定成立。|A|≠0，因此A一定可逆，因此选项C正确。当A为非零矩阵时，A不为0，因此选项D不一定成立。实际上所有选项成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。10.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则下列结论中正确的是（）A.A的特征值必为1或-1B.A的行列式必为1C.A一定可逆D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：由A^2=I可得A的特征值必为1或-1，因此选项A正确。由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1，因此选项B不一定成立。|A|≠0，因此A一定可逆，因此选项C正确。当A为非零矩阵时，A不为0，因此选项D不一定成立。实际上所有选项成立，但题目要求找不一定成立的选项，因此本题无解。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0，则称A为______矩阵。参考答案：幂零解析：根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^kx=λ^kx=0，由x非零可得λ^k=0，即λ=0。2.设向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)线性无关，则实数λ=______。参考答案：5解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。3.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A的行列式______。参考答案：大于0解析：实对称矩阵的特征值均为实数，且其行列式为特征值的乘积，因此当特征值均为正数时，行列式必大于0。4.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且AB=BA，则(A^T)^kB=______。参考答案：B(A^T)^k解析：由AB=BA可得(A^T)^kB=B(A^T)^k，因为(A^T)^k是实对称矩阵，且实对称矩阵与任何矩阵可交换。5.设A为n阶矩阵，且A^2-A=0，则A的秩______。参考答案：n或0解析：由A^2-A=0可得A(A-1)=0，因此A的秩为n或0，因为A的秩等于其非零特征值的个数。6.设A为n阶矩阵，且A^3=0，则A的特征值______。参考答案：0解析：由A^3=0可得A的特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^3x=λ^3x=0，由x非零可得λ^3=0，即λ=0。7.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则|A|______。参考答案：±1解析：由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1，因为行列式的平方等于1。8.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则A的伴随矩阵A______。参考答案：不为0矩阵解析：当A为非零矩阵时，A不为0矩阵，因为非零矩阵的伴随矩阵不为0。9.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则A的秩______。参考答案：n解析：由A^2=I可得A的秩为n，因为A^2=I说明A是正交矩阵，而正交矩阵的秩为n。10.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则A的特征向量______。参考答案：正交解析：由A^2=I可得A的特征向量正交，因为A是正交矩阵，而正交矩阵的特征向量组必正交。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0，则A一定可逆。（×）解析：由A^k=0可得A的特征值必为0，因此A不可逆，因为行列式为0的矩阵不可逆。2.设向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)线性无关，则实数λ=5。（√）解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。3.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A的行列式大于0。（√）解析：实对称矩阵的特征值均为实数，且其行列式为特征值的乘积，因此当特征值均为正数时，行列式必大于0。4.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且AB=BA，则(A^T)^kB=B(A^T)^k。（√）解析：由AB=BA可得(A^T)^kB=B(A^T)^k，因为(A^T)^k是实对称矩阵，且实对称矩阵与任何矩阵可交换。5.设A为n阶矩阵，且A^2-A=0，则A的秩为n或0。（√）解析：由A^2-A=0可得A(A-1)=0，因此A的秩为n或0，因为A的秩等于其非零特征值的个数。6.设A为n阶矩阵，且A^3=0，则A的特征值必为0。（√）解析：由A^3=0可得A的特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^3x=λ^3x=0，由x非零可得λ^3=0，即λ=0。7.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则|A|=±1。（√）解析：由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1，因为行列式的平方等于1。8.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则A的伴随矩阵A不为0矩阵。（×）解析：当A为非零矩阵时，A不为0矩阵，但当A为0矩阵时，A为0矩阵。9.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则A的秩为n。（√）解析：由A^2=I可得A的秩为n，因为A^2=I说明A是正交矩阵，而正交矩阵的秩为n。10.设A为n阶矩阵，且A^2=I，则A的特征向量正交。（×）解析：由A^2=I可得A的特征向量不一定正交，因为A的特征向量只需满足Ax=λx，而正交性要求特征向量之间两两正交。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.简述矩阵幂零性的定义及其性质。参考答案：矩阵幂零性是指存在正整数k，使得A^k=0。性质包括：幂零矩阵的特征值必为0；幂零矩阵的秩小于其阶数；幂零矩阵一定不可逆。解析：矩阵幂零性是指存在正整数k，使得A^k=0。性质包括：幂零矩阵的特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^kx=λ^kx=0，由x非零可得λ^k=0，即λ=0；幂零矩阵的秩小于其阶数，因为幂零矩阵至少有一个特征值为0；幂零矩阵一定不可逆，因为行列式为0的矩阵不可逆。2.简述向量组线性无关的判定方法。参考答案：向量组线性无关的判定方法包括：行列式法、定义法、秩法等。具体来说，对于n个n维向量，计算其构成的行列式，若行列式不为0，则向量组线性无关；若向量组中存在一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性无关；向量组的秩等于向量个数，则向量组线性无关。解析：向量组线性无关的判定方法包括：行列式法、定义法、秩法等。具体来说，对于n个n维向量，计算其构成的行列式，若行列式不为0，则向量组线性无关；若向量组中存在一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性无关；向量组的秩等于向量个数，则向量组线性无关。3.简述实对称矩阵的性质。参考答案：实对称矩阵的性质包括：特征值为实数；特征向量组正交；一定可对角化；对角化后的对角矩阵的主对角线元素为特征值。解析：实对称矩阵的性质包括：特征值为实数，因为实对称矩阵的特征多项式系数为实数；特征向量组正交，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交；一定可对角化，因为实对称矩阵可被正交矩阵对角化；对角化后的对角矩阵的主对角线元素为特征值。4.简述矩阵可对角化的条件。参考答案：矩阵可对角化的条件包括：矩阵有n个线性无关的特征向量；矩阵的特征值的重数之和等于n。解析：矩阵可对角化的条件包括：矩阵有n个线性无关的特征向量，因为矩阵可对角化当且仅当矩阵有n个线性无关的特征向量；矩阵的特征值的重数之和等于n，因为特征值的重数之和等于矩阵的阶数。5.简述矩阵幂等性的定义及其性质。参考答案：矩阵幂等性是指A^2=A。性质包括：特征值必为0或1；秩等于其非零特征值的个数；一定可对角化。解析：矩阵幂等性是指A^2=A。性质包括：特征值必为0或1，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^2x=Ax=λx，即λ^2x=λx，由x非零可得λ^2=λ，即λ=0或1；秩等于其非零特征值的个数，因为A的秩等于其非零特征值的个数；一定可对角化，因为A的特征值的重数之和等于n。6.简述矩阵零性的定义及其性质。参考答案：矩阵零性是指A=0。性质包括：特征值必为0；秩为0；一定可逆。解析：矩阵零性是指A=0。性质包括：特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而0x=λx，由x非零可得λ=0；秩为0，因为零矩阵的秩为0；一定可逆，因为零矩阵不可逆。7.简述矩阵正交性的定义及其性质。参考答案：矩阵正交性是指A^TA=I。性质包括：特征值的绝对值等于1；特征向量组正交；一定可对角化。解析：矩阵正交性是指A^TA=I。性质包括：特征值的绝对值等于1，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而x^TA^TAx=x^Tλ^2x=λ^2x^Tx，由x非零可得λ^2=1，即λ=±1；特征向量组正交，因为正交矩阵的特征向量组必正交；一定可对角化，因为正交矩阵可被正交矩阵对角化。8.简述矩阵可逆性的定义及其性质。参考答案：矩阵可逆性是指存在矩阵B，使得AB=BA=I。性质包括：行列式不为0；秩等于其阶数；特征值不为0。解析：矩阵可逆性是指存在矩阵B，使得AB=BA=I。性质包括：行列式不为0，因为行列式为0的矩阵不可逆；秩等于其阶数，因为可逆矩阵的秩等于其阶数；特征值不为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^(-1)Ax=A^(-1)λx=λA^(-1)x=x，由x非零可得λ=1，即λ不为0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请结合所学知识解决下列问题。）1.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,3，求A的行列式和A^(-1)的特征值。参考答案：|A|=6，A^(-1)的特征值为1/6,1/3,1/2解析：A的行列式等于其特征值的乘积，即|A|=1×2×3=6。A^(-1)的特征值等于A的特征值的倒数，即A^(-1)的特征值为1/6,1/3,1/2。2.设向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)线性无关，求λ的取值范围，并求该向量组的秩。参考答案：λ≠5，秩为3解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。向量组的秩等于其向量个数，因为向量组线性无关。3.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,3，求A^2的特征值。参考答案：A^2的特征值为1,4,9解析：A^2的特征值等于A的特征值的平方，即A^2的特征值为1^2=1,2^2=4,3^2=9。4.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,3，求A的伴随矩阵A的特征值。参考答案：A的特征值为6,3,2解析：A的特征值等于A的特征值的乘积除以特征值对应的代数余子式，即A的特征值为|A|/1=6,|A|/2=3,|A|/3=2。5.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,3，求A的转置矩阵A^T的特征值。参考答案：A^T的特征值为1,2,3解析：A^T的特征值与A的特征值相同，因为特征值与矩阵的行列式和迹有关，而转置不改变行列式和迹。6.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,3，求A的平方根矩阵A^(1/2)的特征值。参考答案：A^(1/2)的特征值为1,√2,√3解析：A^(1/2)的特征值等于A的特征值的平方根，即A^(1/2)的特征值为√1=1,√2,√3。7.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,3，求A的逆矩阵A^(-1)的特征值。参考答案：A^(-1)的特征值为1/6,1/3,1/2解析：A^(-1)的特征值等于A的特征值的倒数，即A^(-1)的特征值为1/6,1/3,1/2。8.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,3，求A的伴随矩阵A的特征值。参考答案：A的特征值为6,3,2解析：A的特征值等于A的特征值的乘积除以特征值对应的代数余子式，即A的特征值为|A|/1=6,|A|/2=3,|A|/3=2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.D3.D4.D5.B6.D7.A8.B9.B10.B解析：1.幂零矩阵的特征值必为0，因此C正确。2.向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0，因此λ=5。3.实对称矩阵的特征值均为实数，且其行列式为特征值的乘积，因此当特征值均为正数时，行列式必大于0。4.由AB=BA可得(A^T)^kB=B(A^T)^k。5.由AB=BA可得A与B可同时对角化。6.由A^2-A=0可得A的秩为n或0。7.由A^3=0可得A的特征值必为0。8.由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1。9.由A^2=I可得A的秩为n。10.由A^2=I可得A的特征向量不一定正交。二、填空题1.幂零2.53.大于04.B(A^T)^k5.n或06.07.±18.不为0矩阵9.n10.正交解析：1.根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0，则称A为幂零矩阵。2.向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。3.实对称矩阵的特征值均为实数，且其行列式为特征值的乘积，因此当特征值均为正数时，行列式必大于0。4.由AB=BA可得(A^T)^kB=B(A^T)^k。5.由A^2-A=0可得A(A-1)=0，因此A的秩为n或0。6.由A^3=0可得A的特征值必为0。7.由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1。8.当A为非零矩阵时，A不为0矩阵。9.由A^2=I可得A的秩为n。10.由A^2=I可得A的特征向量正交。三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.×解析：1.由A^k=0可得A的特征值必为0，因此A不可逆。2.向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。计算向量组α1,α2,α3构成的行列式：|111||123||13λ|=1×(2λ-9)-1×(λ-3)+1×(3-2)=2λ-9-λ+3+1=λ-5令λ-5≠0，得λ≠5。3.实对称矩阵的特征值均为实数，且其行列式为特征值的乘积，因此当特征值均为正数时，行列式必大于0。4.由AB=BA可得(A^T)^kB=B(A^T)^k。5.由A^2-A=0可得A(A-1)=0，因此A的秩为n或0。6.由A^3=0可得A的特征值必为0。7.由A^2=I可得|A|^2=1，因此|A|=±1。8.当A为非零矩阵时，A不为0矩阵，但当A为0矩阵时，A为0矩阵。9.由A^2=I可得A的秩为n。10.由A^2=I可得A的特征向量不一定正交。四、简答题1.矩阵幂零性是指存在正整数k，使得A^k=0。性质包括：幂零矩阵的特征值必为0；幂零矩阵的秩小于其阶数；幂零矩阵一定不可逆。解析：矩阵幂零性是指存在正整数k，使得A^k=0。性质包括：幂零矩阵的特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^kx=λ^kx=0，由x非零可得λ^k=0，即λ=0；幂零矩阵的秩小于其阶数，因为幂零矩阵至少有一个特征值为0；幂零矩阵一定不可逆，因为行列式为0的矩阵不可逆。2.向量组线性无关的判定方法包括：行列式法、定义法、秩法等。具体来说，对于n个n维向量，计算其构成的行列式，若行列式不为0，则向量组线性无关；若向量组中存在一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性无关；向量组的秩等于向量个数，则向量组线性无关。解析：向量组线性无关的判定方法包括：行列式法、定义法、秩法等。具体来说，对于n个n维向量，计算其构成的行列式，若行列式不为0，则向量组线性无关；若向量组中存在一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性无关；向量组的秩等于向量个数，则向量组线性无关。3.实对称矩阵的性质包括：特征值为实数；特征向量组正交；一定可对角化；对角化后的对角矩阵的主对角线元素为特征值。解析：实对称矩阵的性质包括：特征值为实数，因为实对称矩阵的特征多项式系数为实数；特征向量组正交，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交；一定可对角化，因为实对称矩阵可被正交矩阵对角化；对角化后的对角矩阵的主对角线元素为特征值。4.矩阵可对角化的条件包括：矩阵有n个线性无关的特征向量；矩阵的特征值的重数之和等于n。解析：矩阵可对角化的条件包括：矩阵有n个线性无关的特征向量，因为矩阵可对角化当且仅当矩阵有n个线性无关的特征向量；矩阵的特征值的重数之和等于n，因为特征值的重数之和等于矩阵的阶数。5.矩阵幂等性是指A^2=A。性质包括：特征值必为0或1；秩等于其非零特征值的个数；一定可对角化。解析：矩阵幂等性是指A^2=A。性质包括：特征值必为0或1，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而A^2x=Ax=λx，即λ^2x=λx，由x非零可得λ^2=λ，即λ=0或1；秩等于其非零特征值的个数，因为A的秩等于其非零特征值的个数；一定可对角化，因为A的特征值的重数之和等于n。6.矩阵零性是指A=0。性质包括：特征值必为0；秩为0；一定可逆。解析：矩阵零性是指A=0。性质包括：特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而0x=λx，由x非零可得λ=0；秩为0，因为零矩阵的秩为0；一定可逆，因为零矩阵不可逆。7.矩阵正交性的定义及其性质。参考答案：矩阵正交性是指A^TA=I。性质包括：特征值的绝对值等于1；特征向量组正交；一定可对角化。解析：矩阵正交性是指A^TA=I。性质包括：特征值的绝对值等于1，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，从而x^TA^TAx=x^Tλ^2x=λ^2x^Tx，由x非零可得λ^2=1，即λ=±1；特征向量组正交，因为正交矩阵的特征向量组必正交；一定可对角化，因为正交矩阵可被正交矩阵对角化。8.矩阵可逆性的定义及其性质。参考答案：矩阵可逆性是指存在矩阵B，使得AB=BA=I。性质包括：行列式不为0；秩等于其阶数；特征值不为0。解析：矩阵可逆性是指存在矩阵B，使得AB=BA=I。性质包括：行列式不为0，因为行列式为0的矩阵不可逆；秩等于其阶数，因为可逆矩阵的秩等于其阶数；特征值不为0，因为若λ是A的特征值，则存在非