除法的双重路径探索-北师大版小学数学三年级下册《买新书》教学设计

除法的双重路径探索——北师大版小学数学三年级下册《买新书》教学设计【基础】一、基于核心素养的课标解读与教材分析本节课《买新书》是北京师范大学出版社出版的义务教育教科书《数学》三年级下册第一单元“除法”中的第六课时，其核心内容是在学生已经掌握了两位数除以一位数、三位数除以一位数的笔算方法，并理解了除法基本意义的基础上，进一步学习用连除和乘除混合运算解决生活中的实际问题。本课时的教学内容，在整套教材体系中处于承上启下的关键位置。它既是对一二年级所学的表内乘除法以及本单元之前所学的除法知识的综合运用与深化，也是后续学习更复杂的混合运算、小数除法以及解决更复杂数量关系问题的重要基石。从知识脉络来看，学生在此之前解决的大多是单一运算的实际问题，而本课时首次引入了需要两个步骤才能完成的数学问题，这是学生解决问题历程中的一个重要转折点。它标志着学生将从对“单一数量关系”的分析，迈向对“复合数量关系”的建构，对思维的系统性和逻辑性提出了更高的要求。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对第二学段提出了明确要求：“能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”，同时强调了“初步建立数感、量感和符号感，经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”。本课时的教学设计，必须紧扣这些核心要求，不仅仅是教会学生“如何算”（掌握运算顺序），更要引导学生理解“为何这样算”（分析数量关系），以及“还可以怎样算”（培养算法思维和创造性）。因此，我们将本课时的教学价值定位为：以“买新书”这一贴近学生生活的真实情境为载体，引导学生在解决“平均每个书架每层放多少本书”这一核心问题的过程中，经历“从现实情境中抽象出数学问题——尝试用多种策略分析数量关系——建立数学模型并列式计算——回归情境解释结果的实际意义”的全过程，从而深刻体会数学建模的思想，发展学生的几何直观、运算能力和逻辑推理意识。这不仅是对知识的习得，更是对数学学科核心素养的全面培育。【重要】二、基于学情起点的精准教学决策教学设计的有效性，很大程度上取决于对学生现实起点的精准把握。三年级的学生，正处于皮亚杰认知发展理论中的“具体运算阶段”，他们的思维仍然在很大程度上依赖于具体事物的支持和直观形象的帮助。在此之前，学生已经积累了丰富的除法学习经验：他们知道除法可以解决“平均分”和“包含除”两类基本问题；他们能够熟练进行表内除法以及两位数、三位数除以一位数的笔算；他们也具备了一定的阅读理解能力，能从简单情境中提取数学信息。然而，这些都是解决“一步计算”问题的基础。面对“买新书”这一需要两步计算的问题，学生可能会遇到以下真实的学习难点：第一，解题策略的单一性与思维定势。由于长期接触一步计算问题，部分学生可能会习惯性地试图找到一个直接的除法算式来解决问题，当发现找不到时，便会产生认知冲突和学习困惑。他们容易忽略问题中的中间量，思维难以从“一步”跨越到“两步”。第二，数量关系分析能力不足。学生虽然能提取出“2个书架”、“每个书架4层”、“360本书”这三个信息，但很难自主地将这些信息通过一种可视化的方式（如图形、线段）进行有机整合，从而理清“书架”、“层”、“书”三者之间的层次关系。这是导致后续列式时“知其然而不知其所以然”的根本原因。第三，对综合算式运算顺序的模糊认识。当学生通过分步列式解决了问题后，尝试将其合并为综合算式时，往往对括号的使用、乘除混合的运算顺序产生混淆。特别是对于“360÷（2×4）”这种需要先算括号内乘法的算式，学生可能会与“360÷2×4”的运算顺序相混淆，不理解括号在这里的作用是“改变运算顺序，以满足先求总层数的解题思路”。基于以上学情分析，我们在教学设计和课堂实施中，必须作出如下精准的教学决策：核心策略是“几何直观先行，算式列式随后”。我们将不再满足于让学生直接列式计算，而是将教学重心前移，给予学生充足的时间和空间，让他们通过画图的方式，将自己对问题的理解“可视化”。这个画图的过程，就是学生主动建构数量关系的过程。具体路径是“从分步到综合，从一般到特殊”。尊重学生的认知规律，允许、鼓励并肯定学生先使用分步算式解决问题，然后再引导他们探索综合算式的表达方式。在讲解运算顺序时，不机械地灌输“从左到右”、“先乘除后加减”的口诀，而是将运算顺序与具体的解题思路（即分步算式中的先后顺序）紧密联系起来，让学生明白顺序的“道理”，而非仅仅记住顺序的“规定”。【热点】三、核心素养导向的教学目标与重难点确立依据课标要求、教材特点和学情分析，本课时确立了以下指向核心素养的教学目标：1.【基础】知识与技能目标：在解决“买新书”的实际问题过程中，理解并掌握连除、乘除混合运算的运算顺序（包括带小括号的情况），能够正确地进行计算，形成初步的运算能力。2.【重要】过程与方法目标：通过观察、分析、独立探究和小组合作等活动，能运用画图、列表等多种策略分析实际问题中的数量关系，并能清晰地表达自己的解题思路，培养几何直观和模型意识。3.【非常重要】情感态度与价值观目标：在探索多种方法解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会解决问题策略的多样性，增强学习数学的兴趣和自信心，养成乐于思考、善于倾听、敢于质疑的良好学习品质。基于教学目标与学生认知基础，我们确定本课时的教学重难点如下：教学重点：掌握连除和乘除混合运算的运算顺序（特别是带小括号的算式），并能正确计算。【高频考点】教学难点：能够运用画图等策略，分析并理解两步除法问题中的数量关系，解释每种解法中每一步的实际意义。【难点】【非常重要】四、指向深度学习的教学过程设计与实施为了突破教学难点，落实核心素养，本课时的教学过程设计为五个层层递进、环环相扣的环节：情境导入，提出问题——画图分析，建构模型——算法交流，探究顺序——巩固应用，深化理解——回顾总结，反思提升。整个教学过程以学生为主体，以问题为驱动，以活动为载体，力求实现“教—学—评”的一致性。（一）情境导入，提出问题上课伊始，教师利用多媒体课件，向学生呈现学校图书室购买新书的真实情境：画面中，一批新书整齐地码放在一旁，旁边是两个空荡荡的、各有4层的书架。教师用充满期待的语气说：“同学们，告诉大家一个好消息，为了丰富大家的课余生活，学校图书室又购买了一批新书，一共是360本。现在，图书管理老师遇到了一个小难题，想请咱们班的小数学家们帮忙解决。你们有信心吗？”（学生齐答：有！）教师接着出示核心问题：“现在只有这两个书架，每个书架有4层，要把这360本书平均放在这两个书架上，而且要让每个书架每层放的书同样多，那么，平均每个书架每层放多少本书呢？”【设计意图】：“问题是数学的心脏”。此环节从学生熟悉的校园生活情境入手，将抽象的数学问题具体化、生活化，迅速拉近了数学与学生的距离，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。教师的语言充满了鼓励和信任，将学生置于“解决问题的小帮手”的主体地位，为后续的自主探究奠定了良好的情感基础。同时，“平均放在两个书架”、“每层同样多”等关键词语的强调，为学生准确理解题意、明确问题指向“两次平均分”提供了语言支架。（二）画图分析，建构模型当学生明确了要解决的问题后，教师并不急于让学生列式，而是抛出一个关键性的引导问题：“这道题的信息比较多，关系也比较复杂，一下子就想出算式可能有点难。大家在以往的数学学习中，当我们遇到数量关系比较复杂的问题时，有什么好办法可以帮助我们理清思路吗？”引导学生回忆起“画图”、“列表”等辅助策略。教师顺势提出核心任务：“请同学们不要急着列算式，先用你喜欢的图形，比如用长方形代表书架，用圆圈代表书，或者用线段，把题目的意思画出来。比一比，看谁画得最清楚，最能让人一眼就看明白这些数量之间的关系。”此时，学生开始独立尝试画图，教师巡视，寻找有代表性的作品。巡视过程中，教师不做过多干预，对于有困难的学生，可以轻声提示：“想一想，先有两个什么？每个里面又有几个什么？总数是多少？”大约5分钟后，教师组织全班进行展示与交流。教师有选择性地展示三种不同层次的图示：1.具象示意图：一个学生用两个大长方形表示两个书架，每个大长方形里画了4条横线表示4层，然后在每一层里点上小圆点，试图表示平均分，最后在边上写上总数360本。教师引导大家评价：“他画得怎么样？能看出意思吗？有没有觉得哪里还可以更简洁？”学生可能会指出，每一层都点很多点太麻烦，看不清楚到底是多少本。教师顺势引导：“看来，我们画图不是为了画出书的数量，而是为了画出它们之间的‘关系’。”2.结构模型图：另一名学生展示他的画法：先画一条线段表示“总数360本”，然后在线段下面用大括号分出两段相等的部分，标注“1个书架？本”。接着，再把这其中的一段，也就是一个书架，平均分成4小段，标注“每层？本”。（如下图所示）【图示描述】：一条较长的线段，上方标有“360本”。线段下方，用一个大括号将整个线段分为均等的两段，大括号下写“1个书架？本”。然后，在这两段中的任意一段下方，再用一个大括号将其均分为4小段，大括号下写“每层？本”。3.抽象线段图：另一名学生展示的画法更为简洁：直接画出两层结构。第一层：360÷2=180，第二层：180÷4=？。或者，他画了一个长方形，里面分成8个相同的小格子，每个格子代表一层，然后标出总数是360。教师组织学生对这三种图示进行比较和讨论：“大家看一看，这三种图，哪一种最清楚地表达了我们解题的思路？为什么？”通过讨论，引导学生发现：第一种图虽然直观，但不利于表示数量；第三种图直接写出了算式，但那是计算结果，而不是对数量关系的分析；第二种图（或类似能体现“两次平均分”结构的图）最好，因为它清晰地揭示了“总数——书架——每层”这种层层递进的包含关系。特别是用线段图表示“先分成2份，再把其中一份分成4份”的过程，非常形象。【设计意图】：此环节是本课时的精髓所在，体现了“几何直观”这一核心素养的真正落地。通过“画图”，我们将隐性的思维路径显性化，将复杂的数量关系结构化。学生画图的过程，就是对问题进行数学建模的初始阶段。通过展示、对比、评价不同层次的作品，让学生在思辨中自主优化图示，逐步从“具象”走向“抽象”，从“描绘实物”走向“表达关系”。这个过程不仅培养了学生的几何直观，更重要的是，它让学生在动手操作和观察比较中，自己悟出了两种最基本的解题思路：一种是“先分书架，再分层”；另一种是“先看一共多少层，再一层一层地分”。数学模型在学生的笔下、眼中、心中悄然建立，为后续的列式计算打下了坚实而深刻的基础。（三）算法交流，探究顺序在学生通过画图理清了数量关系之后，教师话锋一转：“刚才我们通过画图，已经清楚地看到了解决这个问题的两条路径。现在，请大家结合自己的图示，尝试着列出算式，不管是分步算式还是综合算式，只要能表达你的思路就行。”学生开始列式，教师巡视，并邀请不同思路的学生上台板书。预设学生会呈现以下几种算法：思路一（连除）：先算一个书架放多少本，再算一层放多少本。分步：360÷2=180（本）180÷4=45（本）【重要】综合：360÷2÷4=180÷4=45（本）思路二（先乘后除）：先算两个书架一共有多少层，再算一层放多少本。分步：2×4=8（层）360÷8=45（本）【非常重要】综合：360÷（2×4）=360÷8=45（本）此时，教师组织全班对这两种思路进行交流和评议。重点是引导算法的“主人”结合自己刚才画的图，向大家解释每一步算式是在求什么。当学生在讲解“360÷2÷4”时，教师追问：“为什么要连续除以两个数？除以2得到的是什么？再除以4又是在求什么？”让学生明确，连除就是按照“总数——大份（书架）——小份（层）”的顺序依次平均分。当学生在讲解“360÷（2×4）”时，这往往是学生理解的难点和易错点。教师要紧抓不放，深入探究。教师提问：“这位同学列的算式里，为什么要加一个小括号？不加不行吗？我们来看看，如果不加括号，就变成了‘360÷2×4’，按照我们学的运算顺序，应该怎么算？先算什么？再算什么？这样算出的结果还是先求总层数再分吗？”（引导学生计算360÷2×4=180×4=720，结果显然不对。）教师接着问：“那为什么加了括号，就能先算‘2×4’了？”引导学生回顾小括号的作用——“它能改变运算顺序，括号里的算式要优先计算”。教师再结合画图，指着“先求总层数”的那幅图，强调：“因为我们的思路是想先求出‘一共有8层’这个总数，然后一步平均分，所以我们必须用括号把‘2×4’括起来，保证它在除法之前先算出来。这个括号，就是数学里的‘优先符’，它忠实记录了我们的思考过程。”在充分理解算理的基础上，教师引导学生自主归纳总结连除和乘除混合运算的运算顺序：1.在没有括号的算式里，如果只有乘除法，要按从左到右的顺序计算。（如：360÷2÷4）2.在算式里，如果有括号，要先算括号里面的。（如：360÷（2×4））【设计意图】：本环节将运算顺序的教学与解题思路、数量关系的分析紧密结合，让学生不仅知道“怎样算”，更明白“为什么这样算”。特别是对小括号的讲解，不是简单告知规则，而是通过对比计算、结合图示，让学生深刻体会到括号的“工具性价值”——它是我们为了忠实执行某种解题策略而必须使用的数学符号。这样一来，运算顺序不再是枯燥的教条，而成了思维逻辑的自然延伸，有效突破了教学难点，落实了运算能力和逻辑推理的核心素养。（四）巩固应用，深化理解为了检验和巩固所学新知，教师设计了层次分明、形式多样的练习活动。这些练习均取材于教材或学生熟悉的生活情境，旨在让学生在解决问题的过程中，不断加深对连除、乘除混合运算数量关系的理解。1.【基础性练习】看图列式，说清思路：教师出示教材上的“校园图”和“货架图”。先不出示问题，而是让学生先观察情境图，用自己的话说一说图中的信息和问题。然后，要求学生不列式计算，而是先和同桌说一说：“要解决这个问题，我的思路是什么？可以先算什么，再算什么？”同桌交流后，全班汇报，教师根据学生的汇报，抽象出数量关系，最后再让学生独立列式计算。例如，对于“校园图”，学生需要明确“369人，3个年级，每个年级3个班”这个三层结构，其数量关系与“买新书”完全相同，只是情境发生了变化。通过这样的练习，帮助学生实现知识的“去情境化”，把握问题的数学本质——即“连除”或“先乘后除”的模型。2.【重要】辨析练习，深化模型：教师设计一组对比练习，让学生辨析两道题的不同之处。（1）有240个苹果，平均分给2个年级，每个年级有3个班，平均每个班分得多少个苹果？（2）有240个苹果，每个班分30个，可以分给几个班？引导学生讨论：第（1）题是“两次平均分”，要用连除或先乘后除；第（2）题是“包含除”，求240里面有几个30，用一步除法。通过对比，强化学生对“两步除法”问题特征（有两次分配过程）的敏感度，避免与一步除法混淆。3.【拓展性练习】解决问题，选择策略：呈现稍复杂的实际问题，如：“三年级有120名同学参加团体操表演，站成2个方队，每个方队站成5排，平均每排站多少人？”或者“李老师带了300元钱，买了4盒羽毛球，每盒6个，还剩60元，平均每个羽毛球多少元？”后一题多了一个剩余条件，需要学生先算出买羽毛球花了多少钱（30060=240元），再进行连除。这类题目不仅考察了本课时的核心知识，还融入了加减法，考察学生的综合应用能力和信息筛选能力。【设计意图】：通过有层次、有梯度的练习设计，满足不同层次学生的学习需求。基础性练习旨在巩固新知，确保全班学生都能掌握基本解题方法；辨析练习旨在突出概念本质，防止思维定势；拓展性练习则旨在提升学生的综合应用能力和灵活解决问题的能力，让学有余力的学生有更大的发展空间。整个练习过程，教师始终坚持让学生先说思路、再列式计算、最后解释结果，将“思维表达”贯穿始终。（五）回顾总结，反思提升课堂接近尾声，教师引导学生对本课时的学习进行一次全面的回顾与反思。教师用启发性的语言问道：“同学们，今天我们在帮助图书管理老师解决问题的过程中，你有什么收获呢？无论是知识上的、方法上的，还是感受上的，都可以和大家分享。”学生可能会从多个角度进行总结：知识上：学会了用连除和带小括号的乘除混合运算解决两步计算的实际问题；知道了有小括号的要先算小括号里面的。方法上：当问题比较复杂时，可以用画图的方法来分析数量关系；同一个问题可以从不同的角度去想，有不同的解法。感受上：数学很有用，能帮我们解决生活中的问题；画图是学习数学的好帮手；和同学交流能让我学到更多方法。教师在学生总结的基础上，进行提纲挈领的提升：“大家说得都非常好！今天我们不仅学会了‘买新书’的数学问题，更重要的是，我们掌握了一把解决复杂问题的‘金钥匙’——那就是通过画图来理清数量之间的关系。无论是‘连除’还是‘先乘后除’，其实都是我们思考的结果。希望同学们在今后的学习中，也能像今天一样，多动笔、多动脑、多交流，用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界，用数学的语言去表达世界。”【设计意图】：课堂总结不是教师的一言堂，而是学生自我反思、自我建构的宝贵机会。通过引导学生从知识、方法、情感等多个维度进行回顾，帮助学生将本课所学内化为自己的认知结构和学习经验。教师最后的总结性语言，不仅概括了本课的核心内容，更将学习方法（画图分析）提升到了“金钥匙”的高度，并对学生未来的数学学习寄予了厚望，起到了“课已尽而意无穷”的育人效果。【难点】五、创新板书设计，构建知识网络板书是课堂教学的“微型教案”，是学生形成知识结构的重要视觉支撑。本课时的板书设计力求结构清晰、重点突出、逻辑严密，能够动态地反映学生的思维过程和知识的形成过程。黑板左侧中央，用彩色粉笔画出一幅简洁明了的“数量关系分析图”。左侧画一个长方形，里面分成8个小格子，并在旁边标注“2个书架，每个4层→共8层”。右侧画一条线段，将其平均分成两段，下面再将其中的一段平均分成4小段。这幅图直观地展示了两种解题思路的几何模型。黑板中间部分，是本节课的核心——两种解题思路的对比呈现。思路一：先分书架，再分层（对应左侧线段图）分步：360÷2=180（本）……每个书架的本数180÷4=45（本）……每层的本数综合：【重要】360÷2÷4=180÷4=45（本）思路二：先求总层数，再一层分（对应左侧长方形图）分步：2×4=8（层）……两个书架的总层数360÷8=45（本）……每层的本数综合：【非常重要】360÷（2×4）=360÷8=45（本）黑板右侧下方，用红笔醒目标注本节课的核心法则：运算顺序1.从左到右：360÷2÷42.先算（）里：360÷（2×4）【设计意图】：此板书设计具有以下几个优点：第一，可视化，将抽象的数量关系转化为具体的图形，为学生提供思维的“脚手架”。第二，结构化，将两种解题思路并列呈现，清晰地展示了问题解决的多样性，便于学生对比和迁移。第三，重点化，用彩色粉笔标注出综合算式的书写方法和运算顺序，特别是强调了括号的用法，突出了本课时的教学重点和难点。整个板书图文并茂，动静结合，不仅记录了课堂学习的